趙娜

【摘要】定積分是一元函數(shù)微積分學(xué)的重點(diǎn)，在生產(chǎn)生活、經(jīng)濟(jì)金融中的應(yīng)用廣泛.元素法將定積分復(fù)雜煩瑣的定義簡化，使之在處理實(shí)際問題時(shí)更為簡單明了.在課堂教學(xué)過程中，輔助以多媒體，通過生動(dòng)的動(dòng)畫展示，使學(xué)生深刻理解掌握定積分的元素法.

【關(guān)鍵詞】元素法；定積分；教法

一、引言

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)公共基礎(chǔ)課，是理工類、經(jīng)濟(jì)類各學(xué)科各專業(yè)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課，是學(xué)好后續(xù)各門專業(yè)課的基石.俗話說：地基不牢，何以蓋高樓.由此可知，要想學(xué)好自己的專業(yè)，高等數(shù)學(xué)必須學(xué)好.通常情況下，高等數(shù)學(xué)分上、下兩個(gè)學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí)，每學(xué)期每周六課時(shí)，上學(xué)期講完前六章，一元函數(shù)的微積分學(xué)介紹完.我通過日常的教學(xué)情況發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對微分或者求導(dǎo)容易理解，原因很簡單，高中時(shí)講過.但是對于不定積分、定積分理解起來相當(dāng)困難.而定積分作為前六章的集大成者，地位之重可見一斑.首先，定積分是在生產(chǎn)、生活、經(jīng)濟(jì)、航空航天中應(yīng)用最廣泛的，其次，定積分定義的理解、變上限積分、微積分基本公式，是整個(gè)一元函數(shù)積分學(xué)的核心，再次，也是考研時(shí)的重點(diǎn).所以，定積分重要，而定積分的應(yīng)用更加重要.元素法作為定積分應(yīng)用的有效方法，作用不言而喻.但是，多年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，元素法是深?yuàn)W的，學(xué)生理解起來是很難的，那如何讓學(xué)生理解定積分的元素法是本文所要探討的.我通過自身的實(shí)際教學(xué)，結(jié)合多媒體，探索出了一套多媒體環(huán)境下教授定積分元素法的方法，與大家分享交流.

二、運(yùn)用多媒體，對比分析，啟發(fā)引導(dǎo)，引出元素法

1.問題的提出

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上非負(fù)、連續(xù).由直線x=a，x=b，y=0及曲線y=f（x）所圍成的圖形稱為曲邊梯形.如何求曲邊梯形的面積？

根據(jù)定積分的幾何意義可知，曲邊梯形的面積A= ∫baf（x）dx.

2.簡要回顧定積分的定義（分割，近似代替，求和，取極限）

上述方法即為元素法.

三、歸納總結(jié)，得出元素法解題的一般步驟

1.根據(jù)具體問題，選取一個(gè)變量.

2.把相應(yīng)的小區(qū)間上的部分量表示出來，稱為元素，然后積分即得所求量.

四、由線及面，由面及體，引出元素法在幾何中的應(yīng)用

1.平面圖形的面積

（1）由上下兩條曲線y=f（x），y=g（x），（f（x）≥g（x））及x=a，x=b，所圍成的圖形的面積為A=

（上接21頁）

例2求橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解如圖，根據(jù)對稱性，可先求橢圓右半部的體積，右半部是曲邊梯形OAB繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的.曲邊AB的方程為y=baa2-x2.

選x為積分變量，積分區(qū)間為[0，a].

所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

Vx=2π∫a0b2a2（a2-x2）dx=2πb2a2∫a0（a2-x2）dx

=2πb2a2a2x-x33a0=2πb2a2a2-a33=43πab2.

五、由幾何發(fā)散至物理，舉例說明元素法在物理學(xué)中的應(yīng)用

例3一容器盛有一定量的氦氣，在等溫條件下，氣體膨脹推動(dòng)容器內(nèi)的活塞從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，計(jì)算在此過程中氣體所做的功.

解由物理學(xué)知識(shí)p=kV，V=xS，可知p=kxS，

于是作用在活塞上的力F=p·S=kxS·S=kx，

找出功元素dW=kxdx，則所求的功為W=∫bakxdx=k[lnx]ba=klnba.

例4一圓柱形的水桶高為4米，底面半徑為2米，桶內(nèi)盛滿了水，問把桶內(nèi)的水全部吸出需要多大的功？

解由題意可知，取深度x為積分變量，它的變化區(qū)間為[0，4].相應(yīng)于[0，4]上任一小區(qū)間[x，x+dx]的一層薄水的高度為dx，若重力加速度g取9.8 m/s2，則這層薄水的重力為9.8π·22dx，把這層薄水吸出桶外所做的功近似為dW=39.2πxdx，

于是所求的功為W=∫4039.2πxdx=313.6π≈984.7（kJ）.

六、總結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生們懂得，定積分元素法的本質(zhì)是，一個(gè)問題如果能用它的元素累加得到結(jié)果，那么這個(gè)問題就可以用定積分進(jìn)行求解.一取其元素，二定積分.定積分的元素法可以應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科、各個(gè)領(lǐng)域，其理論之精妙，計(jì)算之簡單，恰恰反映了數(shù)學(xué)的精髓，數(shù)學(xué)之美，大家課下一定要認(rèn)真揣摩，勤加練習(xí).

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