巧用數(shù)列模型解決銀行貸款問題

許惠芳

【摘要】分期付款在今天的生活中，應(yīng)用日趨普遍，關(guān)于分期付款及其相關(guān)的知識觸及社會的方方面面，有銀行、購房、保險、基金等.可見，花明天的錢來圓今天的夢，已經(jīng)是一種相當(dāng)普遍的生活方式了.那么對于貸款的利息、還貸期限、還款金額等又是如何計算的？通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠了解銀行還款中的有關(guān)知識，能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決還款中的有關(guān)問題.

【關(guān)鍵詞】模型；分期；貸款；利息

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日月之繁，無處不用數(shù)學(xué).”這是對生活與數(shù)學(xué)關(guān)系的精彩描述.

當(dāng)今，隨著人們生活水平的提高，大家的消費(fèi)觀念也發(fā)生了轉(zhuǎn)變，分期付款、貸款購物已深入我們的生活中，不再生疏.分期付款方式在今天的商業(yè)活動中應(yīng)用日趨廣泛，你可以貸款買房，貸款買車，貸款創(chuàng)業(yè)；助學(xué)貸款，旅游貸款，甚至還可以貸款買手機(jī)、電視、電腦等小物件.可見，花明天的錢來圓今天的夢，已經(jīng)是一種相當(dāng)普遍的生活方式了.那么對于貸款的利息、還貸期限、還款金額等又是如何計算的？筆者通過一節(jié)“等比數(shù)列應(yīng)用舉例”（高等教育出版社出版的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊第六章第三節(jié)課內(nèi)容）中的一個實(shí)例研究一下分期付款中的有關(guān)計算，建立數(shù)列模型，從而解決實(shí)際問題.

一、經(jīng)歷建模過程，感悟數(shù)學(xué)模型

（一）創(chuàng)設(shè)問題感悟模型

例：銀行貸款一般采用“復(fù)利計息法”計算利息.小王從銀行貸款20萬元，年利率為5.76%，

貸款期限為5年.

（1）如果要求5年后一次性還款，那么小王應(yīng)償還銀行多少錢（精確到0.000 001萬元）？

（2）如果要求以每年為一期，共分5期等額本息還款（即每期以相等的額度平均償還本息），那么小王每年應(yīng)償還銀行多少錢？

生1：什么是復(fù)利計息法？

師：復(fù)利計息法是指將前一期的本金與利息的和（也叫本利和）作為后一期的本金來計算利息的方法，俗稱“利滾利”.但民間借貸“利滾利”是不受法律保護(hù)的.

下面先一起來完成第（1）小題.

師：貸款第1年后的本利和是多少？

生2：20+20×5.76%=20（1+0.0 576）=20×1.0 576.

師：很好！第2年開始的本金是多少？

生3：20×1.0 576.

師：第2年后的本利和是多少？

生4：20×1.0 576+20×1.0 576×5.76%=20×10 5762.

師：請大家認(rèn)真觀察第1年后和第2年后的本利和，并以此類推第3年后，第4年后，第5年后的本利和各是多少？

生5：20×1.0 5763，20×1.0 5764，20×1.0 5765.

師：回答得真棒！

師：觀察以上每年后的本利和，它們可以組成什么數(shù)列？

生6：等比數(shù)列.

師：其通項(xiàng)公式是什么？

生7：通項(xiàng)公式為20×1.0 576n.

師：那本小題的最后結(jié)果是什么？

生8：由以上可得5年后一次性還款時小王應(yīng)償還銀行的款數(shù)為26.462 886（萬元）.

師：真棒！

師：下面請大家回顧一下在上學(xué)期學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)模塊上冊第四章學(xué)習(xí)過的指數(shù)模型.

生9：y=c·ax.其中c>0為常數(shù)，底a>0且當(dāng)a>1時，叫作指數(shù)增長模型；當(dāng)0

師：若令上題中的c=20萬元，a=1+5.76%=1.0 576，x=5年，觀察對比指數(shù)模型與剛才一次性還款的式子之間有關(guān)聯(lián)嗎？

學(xué)生通過觀察對比驚喜地發(fā)現(xiàn)兩者的結(jié)果一樣.

師：對.若要算一次性還款數(shù)就可以用指數(shù)模型或等比數(shù)列通項(xiàng)公式模型進(jìn)行計算.

師：其實(shí)在生活中應(yīng)用較多的可能是分期付款還貸.分期付款還貸的模式基本有兩種：一種是等額本金還款.即將本金分別攤派到每個月內(nèi)，同時，付清上一個交易日至本次還款日之間的利息；另一種是等額本息還款.即按月等額歸還貸款本息的方法.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是每個月還款的數(shù)額是固定的，借款人可以準(zhǔn)確掌握每月的還款額，在消費(fèi)收入固定的情況下，一般不會因?yàn)檫€款而感到過多壓力，便于生活資金的安排，因而，得到廣泛的應(yīng)用.下面請一名同學(xué)上臺板演第（2）小題.

生10：設(shè)小王每次應(yīng)償還銀行a萬元，則

第1次還款a萬元，已還款數(shù)為a（萬元）；

第2次還款a萬元，已還款數(shù)為a+a（1+5.76%）（萬元）；

第3次還款a萬元，已還款數(shù)為a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2（萬元）；

第4次還款a萬元，已還款數(shù)為a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2+a（1+5.76%）3（萬元）；

第5次還款a萬元，已還款數(shù)為a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2+a（1+5.76%）3+a（1+5.76%）4（萬元）.

（此時學(xué)生卡在這，無法算出a.）

師：由于第5次將款還清，貸款總額本息=每期所還款本息的總和，所以為20×1.0 5765（萬元），a=4.716 971（萬元）.

師：以上這類問題為等額本息分期付款模型，若設(shè)貸款本金為A，等額本息還款中每期還款金額為a，還款期數(shù)為n，每期利率為i，則能否得出貸款本息分期付款中每期償還本息的公式？

生11：a=Ai（1+i）n（1+i）n-1.

師：真棒！本例中采用等額本息分期付款的方式總共應(yīng)付銀行多少錢？

生12：4.716 975×5=23.5 849（萬元）.

師：對比一次性還款，哪種更省錢？省多少錢？

生：分期付款比到期一次性付款更省錢，節(jié)省了約2898萬元.

師：若上例中小王采用每月為一期的等額本息還款方式，則月利率和還款期數(shù)各為多少？

生13：月利率=年利率÷12=0.48%，還款期數(shù)為60.

師：很好！請大家利用上述的模型，算下小王每月需要還款的金額數(shù).

生14：a=0.384 428（萬元）.

師：真棒！

（二）鞏固模型拓展延伸

問題1：小馬購買一個售價為5 600元的手機(jī)，先付2 600元，剩余的3 000元，采用分期付款的辦法，即購買后一個月第1次付款，再過一個月第2次付款，以此類推，需共付款6次后還清且每期付款數(shù)一樣，如果按月利率048%，每月利息按復(fù)利計算（上月利息要計入下月本金），那么每期應(yīng)付款多少？（精確到0.1元）

思考1：小馬每次付款額會是3 000÷6=500（元）嗎？

生15：顯然不是，而會偏高.

師：那么分期付款總額就會高于手機(jī)售價，是什么引起的呢？

生16：利息.

思考2：小馬每次付款額會是3 000（1+0.48%）6÷6嗎？

生17：不是，而會偏低.

生18：由等額本息分期付款模型可得，每期應(yīng)付款a=508.4（元）.

問題2：小李計劃采用等額本息分期付款的方式購買一臺售價為4 000元的筆記本電腦，年利率為5.76%，三年還清貸款，問每月需要付多少貸款？

生：由已知，月利率i=5.76%÷12=0.48%，還款期數(shù)n=3×12=36.

由等額本息分期付款模型可得，每月需要還款a=1213（元）.

問題3：某人想每月從自己的工資中拿出一筆固定的錢存入銀行，作為自己3年后的創(chuàng)業(yè)基金，共需8萬元，則他從現(xiàn)在起每月應(yīng)存多少錢才能達(dá)到自己目標(biāo)呢？

設(shè)計意圖：問題1和問題2是鞏固例題所學(xué)的內(nèi)容，學(xué)以致用.問題3作為延伸題，不僅加深了學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模過程的理解與掌握，而且讓其感受到了積跬步至千里的強(qiáng)大魅力，鼓勵我們職高學(xué)子應(yīng)有屬于自己的目標(biāo)并堅(jiān)持不懈地努力，相信總有一天會有屬于自己的成功.

自2015年10月24日央行降息后，人民幣貸款基準(zhǔn)利率執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)為下表.

貸款期限年利率

六個月以內(nèi)（含6個月）

貸款4.35

公積金2.75

六個月至一年（含1年）

貸款4.35

公積金2.75

一至三年（含3年）

貸款4.75

公積金2.75

三至五年（含5年）

貸款4.75

公積金2.75

五年以上貸款

貸款4.90

公積金3.25

師：隨著中央財政政策的積極推行，購置房地產(chǎn)按揭貸款（公積金貸款）制度的推出，極大地刺激了人們的消費(fèi)欲望，而按揭貸款（公積金貸款）中都實(shí)行按月等額還本付息，這個等額數(shù)就可以應(yīng)用今天所學(xué)習(xí)的等額本息分期付款模型進(jìn)行解決.當(dāng)然，如今銀行為方便客戶，一般都有詳細(xì)的按揭還款額的清單，若哪位同學(xué)家中有分期付款或?qū)砜赡軙J款的，可以用今天所學(xué)的知識對應(yīng)進(jìn)行校對或參考.

二、課后反思

分期付款在今天的生活中，應(yīng)用日趨普遍，關(guān)于分期付款及其相關(guān)的知識觸及社會的方方面面，有銀行、購房、保險、基金等.本節(jié)課首先從貸款問題入手，從學(xué)生的生活實(shí)踐中提取問題背景，使問題更生活化，充分調(diào)動學(xué)生參與、探求的學(xué)習(xí)欲望.在例題中先理解“復(fù)利計息法”，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，采用數(shù)列建模，通過逐年計算還款數(shù)來理解，這是學(xué)生容易接受的，數(shù)學(xué)具有“從具體情境上升為一般的概念和結(jié)論，又從一般返回到具體情形加以印證和應(yīng)用”的特性.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠了解銀行還款中的有關(guān)知識，能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決還款中的有關(guān)問題，提高學(xué)生解決問題能力，同時，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模過程，應(yīng)用模型解決實(shí)際問題，通過對方法的總結(jié)、歸納，讓學(xué)生感知、體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷氲倪^程，從中感受生活中的數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用.使學(xué)生在解決問題的過程中得到用數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際體驗(yàn)，加深對知識的掌握和理解，感受到生活中處處都有數(shù)學(xué)，離不開數(shù)學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.

雖然中職生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較為薄弱，數(shù)學(xué)興趣不濃，計算能力較弱，獨(dú)立分析、解決能力有限，但這節(jié)課內(nèi)容學(xué)生感覺就是自己生活中的例子，與自己息息相關(guān)，多數(shù)學(xué)生都愿意積極參與，積極思考表現(xiàn)自我，本節(jié)課筆者的授課對象分別為機(jī)電和計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)專業(yè)的學(xué)生，例題中的計算讓學(xué)生采用計算器進(jìn)行運(yùn)算，因此，在課堂上絕大部分學(xué)生的興趣都很高昂，整節(jié)課課堂氣氛活躍，還有個別學(xué)生用課堂上的還款模型算出自己家里的按揭月供，并回家和父母進(jìn)行校對，讓學(xué)生經(jīng)歷借、貸款問題的計算過程，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，形成對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生處理數(shù)據(jù)技能和分析、解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李廣全，李尚志.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊·下冊·修訂版[M].北京：高等教育出版社，2013：17-19.