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      立體幾何中求體積問(wèn)題的通法研究

      2017-04-18 10:40:58李旭
      關(guān)鍵詞:通法體積

      李旭

      【摘要】本文主要結(jié)合案例解析一下關(guān)于立體幾何中求體積問(wèn)題的幾種方法,試圖探索求空間幾何體的體積問(wèn)題的通法.

      【關(guān)鍵詞】體積;通法;割補(bǔ)法

      數(shù)學(xué)解題通法是解決一類問(wèn)題時(shí)可以采用的共同方法,高考在立體幾何知識(shí)的考查中,常常涉及求空間幾何體的體積問(wèn)題,對(duì)這類問(wèn)題求解方法較多,現(xiàn)結(jié)合案例解析一下關(guān)于立體幾何中求體積問(wèn)題的幾種方法.

      案例如圖,在多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,EF∥AB,EF=32,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積為().

      A.92

      B.5

      C.6

      D.152

      (一)分割法

      根據(jù)該幾何體自身不是常規(guī)柱、錐、臺(tái)體的現(xiàn)象,考慮使用分割的辦法將這個(gè)多面體分割成常規(guī)幾何體.結(jié)合已知條件,考慮利用EF∥AB,及EF與面AC的距離為2,連接EB,EC,那么多面體ABCDEF就轉(zhuǎn)化成了四棱錐E-ABCD和三棱錐F-EBC的組合體.再通過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)化即可求出體積了.

      如圖,連接EB,EC,則四棱錐E-ABCD體積VE-ABCD=13×32×2=6.

      ∵AB=2EF,EF∥AB,

      ∴S△EAB=2S△BEF,

      ∴VF-EBC=VC-EBF=12VC-ABE=12VE-ABC

      =12×12VE-ABCD=32,

      ∴V=VE-ABCD+VF-EBC=6+32=152.

      注:當(dāng)然,分割多面體ABCDEF的方式不止這一種,僅利用這個(gè)方式說(shuō)明可以使用分割法求幾何體體積.大家不妨嘗試一下,還可以怎樣分割呢?

      事實(shí)上,根據(jù)剛才方法一的前半段計(jì)算,再結(jié)合這個(gè)題目是選擇題,可以使用下面的估算法.

      (二)估算法

      由方法(一),該多面體體積一定大于6,根據(jù)選項(xiàng),只能選D.

      有了方法一的引導(dǎo),在分割多面體ABCDEF為常規(guī)幾何體的過(guò)程中,還可以嘗試下面的分割方法.

      (三)分割法

      設(shè)G,H分別為AB,CD的中點(diǎn),連接EG,GH,EH,則EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得棱柱EGH-FBC.

      由題意得,VE-AGHD=13SAGHD×2=13×3×3×12×2=3,

      VEGH-FBC=3VB-EGH=3VE-BGH=3×12VE-GBCH

      =32VE-AGHD=32×3=92.

      ∴V=VE-AGHD+VEGH-FBC=3+92=152.

      除了對(duì)幾何體進(jìn)行分割外,還可以嘗試將這個(gè)不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體,比如,下面這個(gè)方法.

      (四)補(bǔ)形法

      延長(zhǎng)EF至G,使FG=AB=3,連接AG,DG,EC,EB,則多面體BCF-ADG為斜三棱柱,其直截面面積

      S=12×2×3=3,則

      VBCF-ADG=S·AB=9.

      又∵面BCF∥面ADG,E為FG中點(diǎn),

      ∴2VE-ADG+VE-ABCD=VBCF-ADG,

      即2VE-ADG=9-13×3×3×2=3,

      ∴VE-ADG=32,

      ∴V=VBCF-ADG-VE-ADG=9-32=152.

      通法具有發(fā)展性、概括性和多樣性,本題是一道非典型多面體,主要考查對(duì)圖形的分解、組合與變形的能力,是一道考查創(chuàng)新意識(shí)的有效題型;求解有關(guān)體積問(wèn)題時(shí),可以參考一下策略:① 等體積變換;② 分割求和;③ 補(bǔ)體(補(bǔ)形);④ 還臺(tái)為錐.此題還可以使用估算法或特殊化法.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M].南寧:廣西教育出版社,2009.

      [2]秦德生.高考與大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)考點(diǎn)大全與真題解析[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,2014.

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