平面向量運(yùn)算的幾何意義在解題中的應(yīng)用

薛紅利

【摘要】平面向量作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往也能避繁就簡(jiǎn)，事半功倍.本文主要研究用平面向量加減法和數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行解題.

【關(guān)鍵詞】平面向量；幾何意義；解題

平面向量作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，既有坐標(biāo)表示，又有幾何表示.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)平面向量的坐標(biāo)表示更容易接受和理解，但對(duì)平面向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用往往感到比較生疏，而幾何意義又是平面向量的精華之處，它包括平面向量加減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義，所以，若能合理靈活地運(yùn)用向量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則，以及平面向量數(shù)量積的幾何意義，解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往也能避繁就簡(jiǎn)，事半功倍.

一、用平面向量加減法的幾何意義解題

平面向量加減法的幾何意義就是指平行四邊形法則（或三角形法則）：向量a+b和a-b就是以向量a和b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線.

案例1若非零向量a，b滿足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，則a與b的夾角為（）.

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

解方法（一）

設(shè)a與b夾角為θ，（2a+b）·b=2a·b+b2=2|a||b|cosθ+|b|2=（2cosθ+1）|a|2=0cosθ=-12.

∵0≤θ≤π∴θ=2π3，故選C.

方法（二）

如圖，

OA=2a，OB=b，OC=2a+b.

∵|a|=|b|，

∴|AC|=|OB|=|b|，|OA|=2|a|=2|b|.

∵（2a+b）·b=0，∴∠BOC=90°，

∴Rt△BOC中，∠OCB=30°∴∠COA=30°，

∴∠BOA=90°+30°=120°.

評(píng)析：方法一是基于代數(shù)意義，方法二是借助圖形，通過(guò)兩種方法的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，利用向量問(wèn)題考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，不是簡(jiǎn)單的“繁”、“難”運(yùn)算，而是通過(guò)試題巧妙地設(shè)計(jì)考查考生利用數(shù)學(xué)思維方法推理運(yùn)算的能力，考生需要利用向量的數(shù)與形特征，再根據(jù)試題的具體條件，合理確定運(yùn)算目標(biāo)、設(shè)計(jì)運(yùn)算途徑.通過(guò)以上例題使學(xué)生充分體會(huì)到向量幾何意義的運(yùn)用，特別是向量與平行四邊形、三角形等幾何圖形相結(jié)合會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.同時(shí)，方法二也能使學(xué)生更深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想.

二、用平面向量數(shù)量積的幾何意義

評(píng)析：如果不用向量數(shù)量積的幾何意義同樣也可以得到正解，但可能稍顯麻煩，用幾何意義來(lái)解則更加簡(jiǎn)捷，求兩向量數(shù)量積時(shí)，利用其幾何意義是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共線向量的數(shù)量積，只需計(jì)算長(zhǎng)度即可，達(dá)到事半功倍的效果.

正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)，“形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)難直觀”，在解題過(guò)程中，通過(guò)應(yīng)用平面向量的幾何意義，不僅能發(fā)現(xiàn)新的解題思路，而且能提高學(xué)生的思維能力.新課程高考逐漸從“平穩(wěn)過(guò)渡”變到“平穩(wěn)發(fā)展”，要想讓學(xué)生適應(yīng)新課程下的高考，需要在平時(shí)教學(xué)中重視學(xué)生基本能力的培養(yǎng)、思維深刻性和敏捷性的訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合的解題思想，幫助學(xué)生樹(shù)立解決向量問(wèn)題的信心.

【參考文獻(xiàn)】

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