范志文

【摘要】新課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)空間與圖形教學(xué)要求是學(xué)習(xí)有條理的思考與表達(dá)，感受公理化思想，發(fā)展空間觀念.在多年的一線教學(xué)實(shí)踐中，碰到了許多疑難問題，本文歸納了四種類型并進(jìn)行了反思.

【關(guān)鍵詞】空間與圖形；疑難；反思

使用浙教版數(shù)學(xué)教材已有十余年的時(shí)間了，在經(jīng)歷課改的過程當(dāng)中，教師們的教學(xué)思想和教學(xué)理念發(fā)生了一些實(shí)質(zhì)性的轉(zhuǎn)變，在教學(xué)當(dāng)中有一些新的探索.在這些可喜的變化的同時(shí)，也真切地感受到新理念的實(shí)施的困難，在教學(xué)中碰到了許多新的疑難問題.

在“空間與圖形”這塊內(nèi)容中，知識(shí)的呈現(xiàn)有“雜亂”的感覺，甚至有些不合時(shí)宜；一些知識(shí)點(diǎn)對(duì)學(xué)生要求過高，讓學(xué)生感覺無從下手；數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用訓(xùn)練習(xí)題太少，導(dǎo)致學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言論證時(shí)，條理不清，言不由衷；學(xué)生解題時(shí)，往往找不到突破口，或考慮不全面，欠缺臨門一腳，如同一葉障目.

疑難一：不合時(shí)宜——教材編排順序亂

新教材過早地出現(xiàn)幾何論證推理，只不過把“證明”換成“說明理由”罷了.對(duì)初一學(xué)生來說，要求其規(guī)范縝密推理難度太大，但若不要求其規(guī)范縝密推理，會(huì)給后續(xù)學(xué)習(xí)造成隱患，因?yàn)榱?xí)慣一旦養(yǎng)成很難改正；教材中有許多知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在習(xí)題之后的現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)還沒學(xué)習(xí)，而習(xí)題中有相關(guān)要求.

案例1在七年級(jí)上冊(cè)第七章和下冊(cè)第一章中的課內(nèi)練習(xí)和作業(yè)題就大量出現(xiàn)幾何說理題，有的習(xí)題還有一定難度，如，七年級(jí)上冊(cè)第七章第五節(jié)作業(yè)題第5題：如圖，E是直線AC上的一點(diǎn)，EF，EG分別是∠AEB，∠BEC的平分線，求∠GEF的度數(shù).然而，要在八年級(jí)下冊(cè)才能學(xué)習(xí)證明的方法、步驟和推理過程，現(xiàn)卻要求剛開始接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來說理，會(huì)不會(huì)過高一點(diǎn)呢？所以，從這一點(diǎn)上講，說理過程成了七年級(jí)學(xué)生的難點(diǎn).

案例2七年級(jí)下冊(cè)在“三角形全等的條件”一節(jié)時(shí)，教材安排了充分的實(shí)踐、探索和交流的活動(dòng)，要求學(xué)生分別畫出符合條件的三角形后，經(jīng)過比較分析，再歸納出三角形全等的條件，這就需要“作三角形”的知識(shí)，才能進(jìn)行一系列的實(shí)踐活動(dòng)，而“作三角形”的知識(shí)則是下一節(jié)的內(nèi)容，如果按照教材的教學(xué)思路去教學(xué)時(shí)，學(xué)生顯得茫然，不知所措.本節(jié)課的重點(diǎn)則發(fā)生遷移，轉(zhuǎn)移到如何畫三角形.這樣學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解呈現(xiàn)出一種“雜亂”的感覺，效果欠佳.此外，例2是學(xué)生第一次遇到的規(guī)范尺規(guī)作圖題，等學(xué)生畫好圖后，也不知道這就是尺規(guī)作圖法.因?yàn)槌咭?guī)作圖法的概念卻在下一節(jié)“作三角形”才予以闡述，其編排順序有點(diǎn)亂.

反思新教材編寫時(shí)考慮了很多新課程的理念，如，探索圖形的基本性質(zhì)，豐富對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和感受，與他人合作交流等活動(dòng)過程中，發(fā)展合情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理地思考與表達(dá)，然而，教材中很多知識(shí)點(diǎn)、很多習(xí)題出現(xiàn)的時(shí)機(jī)不當(dāng)，給人一種雜亂的感覺，教材的編排順序欠妥，筆者建議有必要做一些調(diào)整.除去教材中的客觀問題外，也從另一層面上對(duì)教師提出了更高要求，只有教師練好內(nèi)功，提升自身素質(zhì)，才能在碰到類似問題時(shí)，給學(xué)生一個(gè)合理的解釋，對(duì)學(xué)生提出一個(gè)適當(dāng)?shù)囊?，指引學(xué)生走向正確的方向，避免學(xué)生只知其然，不知其所以然的現(xiàn)象發(fā)生.

疑難二：無從下手——尺規(guī)作圖難操作

新課程標(biāo)準(zhǔn)中要求能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等方法獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步給出證明或舉出反例.在實(shí)際教學(xué)中，為了提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，經(jīng)常讓學(xué)生動(dòng)手操作，但學(xué)生操作往往需要較多的時(shí)間，其他的教學(xué)內(nèi)容有時(shí)就完成不了，而且許多學(xué)生根本就不會(huì)操作.尺規(guī)作圖中，標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一、作圖工具的選擇，也會(huì)讓學(xué)生無所適從.

案例1“勾股定理（2）”中，畫三個(gè)邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm；5 cm，12 cm，13 cm；8 cm，15 cm，17 cm的三角形，學(xué)生在實(shí)際畫圖中畫邊長為8 cm，15 cm，17 cm的三角形許多學(xué)生有困難，同時(shí)，也不容易操作.

案例2“等腰三角形的判定”中，先讓學(xué)生畫一個(gè)有兩個(gè)角相等的三角形，沒有要求用什么工具，學(xué)生也會(huì)有疑惑.

案例3作一個(gè)直角邊長為a，斜邊長為c的直角三角形中的直角應(yīng)怎樣作，教材也沒有明確的要求，而參考答案中的作法是先作AC⊥BC，但作垂線不屬于基本作圖.

反思針對(duì)上述問題，教師在設(shè)計(jì)操作題時(shí)要充分考慮可操作性，讓學(xué)生課前準(zhǔn)備相關(guān)材料來節(jié)省時(shí)間；課堂教學(xué)中采取分組學(xué)習(xí)的形式，小組成員互幫互學(xué)；有些只有數(shù)據(jù)不同的操作題，讓學(xué)生分組操作得出結(jié)論，共享學(xué)習(xí)成果.在尺規(guī)作圖中，教師要著眼于讓學(xué)生積累一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并在掌握了一定圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，從幾個(gè)基本的事實(shí)出發(fā)，探究一些有關(guān)三角形、四邊形的基本性質(zhì)，不要過分地在意一些細(xì)節(jié).

疑難三：言不由衷——語言敘述不嚴(yán)謹(jǐn)

七、八年級(jí)數(shù)學(xué)教材和作業(yè)的設(shè)計(jì)中對(duì)簡單推理的訓(xùn)練不多，導(dǎo)致許多學(xué)生的條理性不清楚，在使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述論證的過程中，感到言不由衷，表達(dá)不準(zhǔn)確.

案例1結(jié)論“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”用幾何語言敘述時(shí)，很多學(xué)生敘述成“因?yàn)镃D是△ABC的中線，所以CD等于AB的一半”，漏了直角的條件.

案例2已知：如圖1，∠A=∠CDF，∠C=∠E，且AD=BF，請(qǐng)說明AE=DC.很顯然這里要先說明△AEF≌△DCB，學(xué)生在敘述兩個(gè)三角形全等時(shí)，會(huì)把AD+DF=BF+DF作為全等的條件，表述上欠規(guī)范.

案例3證明“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”時(shí)，如，已知：如圖2，在△ABC中，∠C=∠B.求證：AB=AC.學(xué)生已學(xué)過等腰三角形的三線合一，因此，作輔助線時(shí)學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)過點(diǎn)A作BC的中垂線AD，垂足為D.又如，已知：如圖3，AB=AC，∠C=∠B，則BD=CD，請(qǐng)說明理由.有許多學(xué)生這樣作輔助線：連接AD使AD平分∠BAC.學(xué)生在敘述輔助線時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)不規(guī)范，這樣的例子舉不勝舉.

反思新課標(biāo)指出讓學(xué)生體會(huì)證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想.顯而易見，數(shù)學(xué)語言的熟練準(zhǔn)確運(yùn)用是對(duì)學(xué)生的基本要求.數(shù)學(xué)語言有自身的簡潔之美，能充分訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，因此，教師要重視學(xué)生敘述證明過程的練習(xí)，加強(qiáng)對(duì)圖形性質(zhì)的格式化訓(xùn)練，如，運(yùn)用性質(zhì)說明理由時(shí)，一定先弄清條件；強(qiáng)調(diào)說理過程中的每一步都有理有據(jù)；熟記性質(zhì)定理等等.為了讓學(xué)生在證明過程中能完整地有條理地表述，教師要多嘗試.

疑難四：一葉障目——解題思路不清晰

在空間幾何圖形中，需要一定空間想象能力，具備圖形間的相互轉(zhuǎn)化能力，而在實(shí)際教學(xué)中會(huì)發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生在分析的過程中局限于現(xiàn)實(shí)生活，受困于經(jīng)驗(yàn)不夠，能力不足.常常被遮擋了雙眼，影響了解答的準(zhǔn)確性和全面性.

案例1一個(gè)臺(tái)階如圖所示，階梯每一層高20 cm，寬40 cm，長50 cm，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，最短的路程是多少？

解按照直棱柱的表面展開圖知識(shí)，最短距離為

AB=502+（20+40+20+40）2=130（cm），

但在作業(yè)中卻出現(xiàn)了

AB=50+（40+40）2+（20+20）2=50+405（cm）.

事后，我問了這名學(xué)生，他說：“是沿著側(cè)面走過來的.”

案例2（1）有一個(gè)立方體紙盒，立方體的棱長為2 cm，在A處有一只螞蟻，在B處有一粒蜜糖，螞蟻想吃到蜜糖，所走的最短路程是多少？

解只要將1平面和3平面展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知從A到B最短路程就是線段AB=25 cm.

（2）有一個(gè)長方體紙盒，長方體的長為2 cm，寬為3 cm，高為1 cm，在A處有一只螞蟻，在B處有一粒蜜糖，螞蟻想吃到蜜糖，所走的最短路程是多少？

解分為3種情況討論知：

將1平面和2平面展開，可知從A到B路程是線段AB=20 cm；

將1平面和3平面展開，可知從A到B路程是線段AB=26 cm；

將2平面和5平面展開，可知從A到B路程是線段AB=18 cm.

兩道題都屬于螞蟻爬的問題，都是通過直棱柱的表面展開圖來求最短路程.在教學(xué)立方體時(shí)，由于六個(gè)面都是正方形，所以就把三種情況歸結(jié)為一種情況，并未做分類討論，從而導(dǎo)致了將立方體改為長方體時(shí)，學(xué)生也未進(jìn)行分類討論，學(xué)生還是想當(dāng)然地認(rèn)為最短路程還是將1平面和2平面展開.

案例3如圖，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=6 cm，點(diǎn)E為AB邊上的任意一點(diǎn)，四邊形EFGB也是矩形，且EF=2BE，則S△AFC=cm2.

剛開始我認(rèn)為用直接法來完成，可發(fā)現(xiàn)用直接法完成，學(xué)生在計(jì)算上存在著很大的困難.于是我想到了代數(shù)中有特殊值代入法，那么幾何中是否也可以有這種特殊點(diǎn)代入法呢？

由于點(diǎn)E為AB邊上的任意一點(diǎn)，所以將點(diǎn)E轉(zhuǎn)化為特殊的點(diǎn)，即AB邊上的中點(diǎn)或運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)或B點(diǎn)，這時(shí)問題就容易解決了，學(xué)生也容易理解.

反思新課標(biāo)中要求學(xué)生學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱的性質(zhì)，學(xué)會(huì)分類、轉(zhuǎn)化、歸納，欣賞體驗(yàn)變換在生活中的應(yīng)用，學(xué)習(xí)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置的方法，發(fā)展空間觀念.這就要求教師具備處理教材的能力：適當(dāng)?shù)卦鲅a(bǔ)說明，如，案例1中要對(duì)圖形做一個(gè)補(bǔ)充規(guī)定，不考慮從側(cè)面的路徑；內(nèi)容的補(bǔ)充擴(kuò)展，如，案例2中，就要補(bǔ)充長方體的題型，利用第二節(jié)課進(jìn)行實(shí)物演示，讓學(xué)生體會(huì)到不管是立方體還是長方體，都是三種情況，必須先做分類討論，再進(jìn)行選擇；解題技巧的歸納，如，案例3中，常規(guī)解法存在運(yùn)算量大、運(yùn)算復(fù)雜、學(xué)生難掌握的問題，采取特殊法，問題就迎刃而解了，但需用強(qiáng)調(diào)的是此種解法只適用于選擇題和填空題中，而不適用于解答題.

新課程改革具有長期性、復(fù)雜性和艱巨性，因而，在教學(xué)中我們碰到疑難問題遠(yuǎn)不止這些，需要大家的共同努力.只要全身心地投入，正視問題，研討解決疑難問題的方法，辦法總比困難多.