李昊冉

摘要：均值不等式在諸多領(lǐng)域都投入了應(yīng)用，并且占據(jù)了重要的地位，同時(shí)，均值不等式的應(yīng)用無(wú)論是在初中高中階段，還是在高等數(shù)學(xué)階段，應(yīng)用都是難點(diǎn)問(wèn)題，并且在實(shí)際生活中的數(shù)量關(guān)系也更為普遍。不等式與方程、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)密切相關(guān)，在研究函數(shù)的值域、定義域、最大值最小值、單調(diào)性方面發(fā)揮著重要的作用。本文將著重探討均值不等式的應(yīng)用，從值域、定義域等方面入手。

關(guān)鍵詞：數(shù)量關(guān)系；均值不等式；應(yīng)用

在實(shí)際的生活中，不等式中的數(shù)量關(guān)系比相等關(guān)系更為普遍。可以說(shuō)成：相等是相對(duì)關(guān)系，而不等式是絕對(duì)的關(guān)系。不等式與各類數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都有密切的關(guān)聯(lián)，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，占據(jù)著重要的地位，我認(rèn)為均值不等式在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起到了十分關(guān)鍵的作用。通過(guò)均值不等式的學(xué)習(xí)，我認(rèn)為均值不等式在解決疑難問(wèn)題上面發(fā)揮著重要作用，我將根據(jù)學(xué)習(xí)中均值不等式的應(yīng)用，從函數(shù)的值域、定義域、最值、單調(diào)性等方面舉實(shí)例進(jìn)行分析。

一、均值不等式定理

均值的定理即是：如果a、b∈R+，則有（a+b）/2≥√ab，同時(shí)當(dāng)a=b時(shí)，則等號(hào)成立。由此可知，兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或者等于其幾何平均值；或者可以說(shuō)成是兩個(gè)正實(shí)數(shù)的等差中項(xiàng)大于或等于其等比中項(xiàng)，就幾何意義來(lái)說(shuō)可以說(shuō)成是半徑大于等于半弦。可以看出最值的定理是：a>0，b>0，當(dāng)a+b=S時(shí)，S為定值，則在a=b時(shí)，ab存在最大值，最大值是S2/4；ab=S時(shí)，S為定值，則在a=b、a+b時(shí)存在最小值，最小值為2√S。從定理可以得出，均值不等式的應(yīng)用需要三個(gè)必備條件：一正、二定、三相等，則要求在應(yīng)用均值不等式時(shí)必須要保證數(shù)、和式子是正數(shù)，并且滿足大于零的條件，才不會(huì)出現(xiàn)誤解的問(wèn)題[1]。

二、均值不等式的應(yīng)用例題

1、求最值。我認(rèn)為應(yīng)用均值不等式求最值在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中屬于重點(diǎn)內(nèi)容，在上文中詳細(xì)敘述了均值不等式的應(yīng)用條件，因此，在求最值中應(yīng)用均值不等式主要會(huì)使用以下三種方式：巧妙變形求最值法、直接求最值法、結(jié)合待定系數(shù)求最值法。以下則通過(guò)實(shí)際例題進(jìn)行說(shuō)明：

例題1：已知2b2-a2= 1，求y=∣a-2b∣的最小值。

綜上例題所述，在均值不等式的應(yīng)用中，首先我們要了解其幾何原理，并且對(duì)其理論要有詳細(xì)的理解，才能夠使得解題的方式更加通透，能夠更加直觀的看到結(jié)果，以此更快更好的掌握題型。同時(shí)，可以加強(qiáng)相應(yīng)的探究空間，將思考集中起來(lái)，變得更加細(xì)致縝密，才能夠準(zhǔn)確的得出答案。其次，在學(xué)習(xí)過(guò)程中我們要重視均值不等式的應(yīng)用，增加獨(dú)自解題的次數(shù)，才能夠?qū)Ω黝愵}型有所掌握，更好的解決問(wèn)題，才能夠通過(guò)加強(qiáng)學(xué)習(xí)來(lái)鍛煉我們解決問(wèn)題的能力[2]。

例題2：求解函數(shù)y=sinX+（4/ sinX），X∈（0，π/2]的最小值。

分析：我認(rèn)為在應(yīng)用均值不等式求解題目時(shí)，對(duì)于不同的題型是有不同的解題方法的，所以在解題之前必須要清楚提醒是否能夠滿足均值不等式的使用條件，再來(lái)選擇解題方法，才能夠有效避免解題誤區(qū)。

錯(cuò)解：因?yàn)閄∈（0，π/2]，所以sinX>0，4/sinX>0。

則有y=sinX+（4/sinX）≥√sinX×4/ sinX=4，所以sinX=2.

從解題中可以知道，當(dāng)sinX=2時(shí)，不等式是不成立的，因此該題不能適用均值不等式解題，正確的解題方式應(yīng)該是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解答。

正解：因?yàn)閄∈（0，π/2]，所以0

所以0

又因?yàn)閥'=1-4/T2，0

所以y=T+4/T，在（0，1]區(qū)間上是單調(diào)遞減的函數(shù)，ymin=5，則有T=1，即是sinX=1，X=π/2.

2、求值域。

例題3：求函數(shù)y=x+1/x，（x≠0）的值域。

錯(cuò)解：y=x+1/x≥2√x·1/x=2，因此函數(shù)的值域是（2，+∞）

分析：出現(xiàn)錯(cuò)解的問(wèn)題是非常普遍的，所以在運(yùn)用均值不等式時(shí)必須要注重解題條件，該題必須要將當(dāng)x<0轉(zhuǎn)變成x>0。

正解：當(dāng)x>0，y=x+1/x≥2√x·1/ x=2，x<0，則-x>0，

所以y = x + 1 / x =（- x + 1 / - x）≤-2√-x·1/-x=-2.綜上所述，即是函數(shù) y=x+1/x，（x≠0）的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞）。

由此可見(jiàn)，在應(yīng)用均值不等式時(shí)成立條件是必備的解題因素。

三、均值不等式的應(yīng)用注意事項(xiàng)

在均值不等式的應(yīng)用中，由于不同的均值不等式對(duì)于實(shí)數(shù)的取值范圍不同，所以在應(yīng)用中要求也不同，比如說(shuō)當(dāng)實(shí)數(shù)處于二次根號(hào)以下，則要求實(shí)數(shù)是大于或等于零的。其次均值不等式的使用目標(biāo)是針對(duì)帶有等號(hào)的不等式，并且在解答問(wèn)題時(shí)，需要滿足均值不等式的三個(gè)成立條件，才能夠順利的完成解題。然后，作為學(xué)生，需要掌握解題方法、解題技巧，才能在解題過(guò)程中如魚(yú)得水更好的完成作業(yè)，同時(shí)，我在學(xué)習(xí)過(guò)程中，為了能夠更快掌握學(xué)習(xí)技巧會(huì)使用如下方式代替數(shù)值：用符號(hào)、圖形、生活相關(guān)的用語(yǔ)等。將語(yǔ)言用符號(hào)代替，可以更加明確的展現(xiàn)出數(shù)、式與均值不等式的關(guān)聯(lián)

[3]。同時(shí)在比較圓的直徑和弦長(zhǎng)時(shí)，也可以使用均值不等式求解，將均值不等式的幾何意義表達(dá)出來(lái)，在數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。最后，在所有周長(zhǎng)相同的全部矩形中，面積最大的那個(gè)即是正方形。而在所有面積相同的全部矩形中，周長(zhǎng)最小的那個(gè)即是正方形。由此可知，數(shù)學(xué)需要我們不斷的分析和論證，才能夠幫助我們更快更準(zhǔn)確的解答問(wèn)題。

四、結(jié)語(yǔ)

均值不等式在中學(xué)的學(xué)習(xí)中，不僅是重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)，但是它的應(yīng)用范圍廣泛，尤其是在函數(shù)的最值求值上。在利用均值不等式求值時(shí)，其成立條件：“一正、二定、三相等”具有重要作用。雖說(shuō)如此，但是在實(shí)際的解題應(yīng)用過(guò)程中，依然會(huì)隨時(shí)出現(xiàn)問(wèn)題，此時(shí)便要針對(duì)題目進(jìn)行分析，找出合適的解題方法，來(lái)提高自身對(duì)于均值不等式的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，要根據(jù)自身的學(xué)習(xí)情況，根據(jù)自身對(duì)均值不等式的理解，學(xué)習(xí)舉一反三的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用，不斷提高自身學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 王冬梅. 淺談均值不等式的應(yīng)用[J]. 科教導(dǎo)刊（上旬刊），2014，04：64-65.

[2] 王琳，楊秀. 廣義均值不等式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用[J]. 四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，03：96-100.

[3] 潘偉云. 均值不等式的探討[J]. 呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，01：96-97.