王宇

【摘要】從哲學(xué)角度更加全面地給出數(shù)學(xué)的定義和定理的分類.文中給出數(shù)學(xué)研究與哲學(xué)方法論的聯(lián)系，并給出發(fā)現(xiàn)問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中的重要性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)哲學(xué)；真理；發(fā)現(xiàn)問題；直覺

哲學(xué)給人的總體感覺是很難看懂其真正含義，哲學(xué)教材中大量的邏輯運(yùn)算、數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)模型，使非哲學(xué)專業(yè)的人士見而生畏，認(rèn)為這些成果僅局限于哲學(xué)領(lǐng)域與自然科學(xué)沒有關(guān)聯(lián)，尤其與數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究更是風(fēng)馬牛不相及.作為一名數(shù)學(xué)專業(yè)教師，以前從未真正考慮過應(yīng)如何研究數(shù)學(xué)，什么樣的研究方法最合理？因此在具體的研究教學(xué)工作中常會(huì)走一些彎路，甚至舉步維艱.在認(rèn)真拜讀了許多哲學(xué)專著后，我對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí)有了質(zhì)的飛躍，意識(shí)到哲學(xué)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)研究和教學(xué)才是真正應(yīng)該秉承的方法，以下是本人對(duì)哲學(xué)和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系做出的一些思考和總結(jié)。

一、數(shù)學(xué)的定義和真理

由于數(shù)學(xué)的定義是數(shù)學(xué)學(xué)科作為整體對(duì)象引入的問題，任何一門科學(xué)都不可能以自身為研究對(duì)象，所以這個(gè)問題需要從哲學(xué)的角度回答，但單純以哲學(xué)的角度給出定義也不全面，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)科與哲學(xué)學(xué)科畢竟在研究對(duì)象、研究方法上都不相同，因而還要結(jié)合數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)給出定義.從哲學(xué)的角度回答我贊同以下兩種答案：1.林泉水在《數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)》中稱數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)；2.羅竹鳳在《漢語大詞典》中稱數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和量的關(guān)系的科學(xué).從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度回答我贊同王青建在《數(shù)學(xué)是什么？》中稱數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué).因此我認(rèn)為數(shù)學(xué)的定義是一門演算的科學(xué)，是研究數(shù)與形的科學(xué)，特別是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和量的關(guān)系的科學(xué)。

有關(guān)數(shù)學(xué)真理的探究應(yīng)該從數(shù)學(xué)起源開始，以希爾伯特為代表的新康德主義過分強(qiáng)調(diào)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的唯一源泉，他肯定地說：“每個(gè)數(shù)學(xué)分支中那些最原始、最古老的問題肯定起源于經(jīng)驗(yàn)，是由外部現(xiàn)象所引起的.”坎貝爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)理論假說的每一個(gè)重要術(shù)語，都直接地、分別地與經(jīng)驗(yàn)確定的量值相關(guān)，數(shù)學(xué)理論的提出不只是實(shí)驗(yàn)定律的外延，理論家必須在可供選擇的數(shù)學(xué)關(guān)系中挑選，這些可供選擇的數(shù)學(xué)關(guān)系既蘊(yùn)涵著定律，又呈現(xiàn)出與定律有某種類似的數(shù)學(xué)形式，”杜威認(rèn)為：“主觀經(jīng)驗(yàn)是一切認(rèn)識(shí)的本源，客觀世界和主觀世界不過是經(jīng)驗(yàn)的不同表現(xiàn)而已.”我認(rèn)為數(shù)學(xué)的來源，一部分來源于經(jīng)驗(yàn)，主要是古代數(shù)學(xué)所研究的大部分內(nèi)容，而另一部分高于經(jīng)驗(yàn)，很難在自然界找到原形，現(xiàn)代數(shù)學(xué)大多數(shù)屬于此類.如果經(jīng)驗(yàn)真的是一切數(shù)學(xué)來源的話，數(shù)學(xué)也就失去了旺盛的生命力.由此可知，數(shù)學(xué)的真理可分為兩種：一種真理的證明必須以經(jīng)驗(yàn)事實(shí)為根據(jù)，而另外一種完全不需要來源于經(jīng)驗(yàn)，可以純粹從邏輯規(guī)律出發(fā)運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思維方式得到，故數(shù)學(xué)中的真命題可分為分析命題和綜合命題，前者不需用經(jīng)驗(yàn)材料證明真?zhèn)危瑑H靠邏輯方法即可證明其真假，而后者只能依靠經(jīng)驗(yàn)材料證明真?zhèn)巍?/p>

二、數(shù)學(xué)研究與哲學(xué)方法論的聯(lián)系

盡管哲學(xué)與數(shù)學(xué)是兩門不同的學(xué)科，它們的研究對(duì)象、研究目的、研究方法都大不相同，很多哲學(xué)家都明確指出“哲學(xué)不是數(shù)學(xué)，若用研究數(shù)學(xué)的方式去研究哲學(xué)將是非?？膳碌?，會(huì)導(dǎo)致哲學(xué)家們陷入迷途”，維特根斯坦在《哲學(xué)研究》中指出：“哲學(xué)不是理論，哲學(xué)的任務(wù)在于描述，即使思想在邏輯上變得明晰起來的學(xué)問，哲學(xué)的思考不同于科學(xué)的思考，哲學(xué)不提出任何理論，在哲學(xué)思考中不應(yīng)有任何假設(shè)性的東西，因此哲學(xué)的任務(wù)不是得出結(jié)論，而是陳述眾所公認(rèn)的事?！?/p>

數(shù)學(xué)研究最重要的應(yīng)該是如何發(fā)現(xiàn)問題，它不僅是研究數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，也是研究數(shù)學(xué)的一條生命線，希爾伯特指出：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題的匱乏則預(yù)示著它發(fā)展的衰亡和中止”，由于數(shù)學(xué)也屬于一門科學(xué)分支，顯然提出問題在數(shù)學(xué)中的地位可見一斑.希爾伯特還提出數(shù)學(xué)問題應(yīng)具備的三個(gè)特點(diǎn)：

1.清晰性和易懂性.清晰性確?？梢杂星逦乃悸?、具體的步驟解決它；易懂性，使得所得的結(jié)果真實(shí)有意義。

2.困難而又不是無從下手.所選問題的難度應(yīng)當(dāng)能夠使科學(xué)研究者看得見方向但又必須始于足下的努力才能接近。

3.意義重大

深悟這三個(gè)重要特點(diǎn)，在以后的數(shù)學(xué)研究中尋找問題時(shí)能夠更加精確地把握問題的重要性和可行性，另外，在選題過程中要避免盲目的“直覺”，邦格指出：“直覺的幾種嚴(yán)重的局限性，首先，直覺要在一定的條件下才能呈現(xiàn)；其次，直覺有易謬性，因?yàn)樗膩砺凡皇呛芎虾跬评沓Ｒ?guī)，所以易錯(cuò)；再次，直覺只能起啟發(fā)作用，沒有證實(shí)功能；最后，直覺往往是粗糙的。”

綜上所述，在哲學(xué)方法論的指導(dǎo)下，今后的工作中要以哲學(xué)方法論為指導(dǎo)，找出有意義、更加可行的課題繼續(xù)深入研究，在教學(xué)中也適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)哲學(xué)方法論、數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)哲學(xué)等有益于拓展學(xué)習(xí)研究能力的內(nèi)容。