趙建平

摘要：我國著名教育家陶行知說過：“行是知之路，學(xué)非問不明?！笨梢?，“問”是何等重要，問題是數(shù)學(xué)的心臟，因為數(shù)學(xué)本身就是一個不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程。以數(shù)學(xué)問題為主線，創(chuàng)設(shè)多個教學(xué)情境，設(shè)置一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的思考題形成探究鏈，引導(dǎo)學(xué)生合作探究獲得新知，進(jìn)而提高綜合探究能力和學(xué)科素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；問題；高效課堂

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）03-0025

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還必須倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，力求發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造過程”。可是，在當(dāng)今高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，一些違背新課程理念的現(xiàn)象依然很普遍，造成這種現(xiàn)象有很多原因。那么，在課堂中，怎樣組織教學(xué)既能體現(xiàn)“學(xué)生主體，教師主導(dǎo)”的新課程理念，又能提高課堂效率、促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展呢？在日常教學(xué)中，筆者切實體會到以“問題”為主線來組織課堂教學(xué)是不錯的選擇。

下面，筆者結(jié)合《正弦函數(shù)余弦函數(shù)的周期性》的教學(xué)設(shè)計，談?wù)勔詥栴}為主線的課堂教學(xué)如何走進(jìn)高中數(shù)學(xué)新課堂。

一、背景分析

1. 教材分析

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)是三角函數(shù)的核心部分。本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的有關(guān)概念和公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像之后，對三角函數(shù)的又一深入探討。其中，周期性既是對必修一函數(shù)性質(zhì)的重要補(bǔ)充，也是研究三角函數(shù)其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容至關(guān)重要，起到了承上啟下的作用。

2. 學(xué)情分析

（1）優(yōu)勢：知識上已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的有關(guān)概念和公式以及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像；能力上具有一定的形象思維與抽象思維能力；思想方法上已經(jīng)具有一定的數(shù)形結(jié)合能力、類比、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想。

（2）不足：對于高一學(xué)生而言，函數(shù)本身就是學(xué)習(xí)的難點，而函數(shù)的周期性學(xué)生首次接觸且概念較為抽象，因此容易出現(xiàn)對概念的理解不夠深刻，運(yùn)用概念解決實際問題的能力相對薄弱的情況。

二、教學(xué)目標(biāo)

1. 知識目標(biāo)：理解周期函數(shù)的定義，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，能求出正弦型、余弦型函數(shù)的周期。

2. 能力目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷周期函數(shù)概念的形成過程，體驗數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生類比、歸納的能力。

3. 情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注生活，熱愛數(shù)學(xué)的情感和探究、鉆研的學(xué)習(xí)精神。

鑒于以上分析，筆者確定本節(jié)課的重點、難點如下：

重點：周期函數(shù)的定義和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性。

難點：對周期函數(shù)的理解及運(yùn)用定義求函數(shù)的周期。

三、教法、學(xué)法分析

本節(jié)課筆者采用啟發(fā)探究式教學(xué)，遵循因材施教、循序漸進(jìn)的原則，設(shè)置了從生活走進(jìn)數(shù)學(xué)，從特殊到一般的探究過程，努力創(chuàng)設(shè)教師引導(dǎo)下的學(xué)生自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式。為了增大課堂容量，增強(qiáng)圖像的直觀性，筆者采用多媒體輔助教學(xué)。

四、案例過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1：詩句《賦得古原草離別》天體的運(yùn)行，四季的更替反映了一種什么自然規(guī)律？

你還能舉出類似的例子嗎？

設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的實際生活入手，讓學(xué)生感受周期現(xiàn)象豐富的實際背景，體會數(shù)學(xué)來源于生活，并且服務(wù)于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拉近了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的距離，同時引出了本節(jié)課的內(nèi)容。

2. 提出問題，分析探究

問題2：在我們學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)中，哪一類函數(shù)可以刻畫周期性變化規(guī)律？

【設(shè)計意圖】 問題2體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想，反映出研究三角函數(shù)的現(xiàn)實意義，使學(xué)生從開始就把三角函數(shù)作為刻畫周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值。

為了給新知的學(xué)習(xí)提供知識準(zhǔn)備，筆者與學(xué)生共同回顧誘導(dǎo)公式一及正弦函數(shù)的圖像，并在此基礎(chǔ)上提出問題3。

問題3：正弦函數(shù)圖像的周期性變化規(guī)律如何用數(shù)學(xué)語言表示？

由于學(xué)生對周期性的理解僅僅停留在對圖像的直觀認(rèn)識上，對于形到數(shù)的轉(zhuǎn)化有一定的困難，筆者通過動畫演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖像平移過程中點的橫縱坐標(biāo)的變化規(guī)律，并追問：如何從自變量、函數(shù)值兩個方面用文字語言來描述這種變化規(guī)律？學(xué)生不難回答：自變量增加，函數(shù)值不變，此時進(jìn)一步要求學(xué)生將這種變化規(guī)律的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言并將此規(guī)律推廣到一般函數(shù)。

【設(shè)計意圖】通過對正弦函數(shù)圖像的觀察分析，結(jié)合誘導(dǎo)公式，構(gòu)建出周期性變化規(guī)律，主要是立足于從學(xué)生的最近思維區(qū)入手，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和抽象概括能力，并為概念的生成做好鋪墊。

3. 抽象概括，形成概念

此時，學(xué)生已經(jīng)用符號語言描述出了周期性變化規(guī)律，把具有這種變化規(guī)律的函數(shù)叫做周期函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試著給周期函數(shù)下一個定義。

【活動】在這一環(huán)節(jié)中，筆者組織學(xué)生分組討論，請小組代表匯報討論結(jié)果，學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c撥，引導(dǎo)學(xué)生敘述準(zhǔn)確，之后進(jìn)一步明晰定義，并針對定義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕忉?，加深學(xué)生對定義的理解。這樣設(shè)計將發(fā)現(xiàn)概念的主動權(quán)交給了學(xué)生，在突出重點的同時也培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性與創(chuàng)造性，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

為了使學(xué)生正確理解定義中關(guān)鍵詞的含義，筆者設(shè)計了如下辨析題：

問題4：判斷題下列說法的正誤，并解釋理由。

因為 所以 是y=sinx的周期。

問題5：因為 所以 的周期是2π。

在師生互動中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對自變量任意性的理解較好，對周期是自變量的增加值理解有偏差，筆者及時引導(dǎo)學(xué)生回歸定義，并在問題4中進(jìn)一步追問：

（1）該函數(shù)的自變量是什么？

（2）2π是誰的增加值？

在師生對話中引導(dǎo)學(xué)生逐漸形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深了學(xué)生對難點的理解。然后，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步求出該函數(shù)的周期，使學(xué)生的認(rèn)識得以升華。

問題6：若函數(shù)f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，且周期為T，試問2T、3T是它的周期嗎？由此你能歸納出什么結(jié)論？

【設(shè)計意圖】強(qiáng)調(diào)周期函數(shù)周期的不唯一性，同時自然地引出最小正周期。

問題7：f（x）=a（為常數(shù)）是周期函數(shù)嗎？最小正周期是多少？

【設(shè)計意圖】通過實例說明了周期函數(shù)不一定存在最小正周期，深化了學(xué)生對最小正周期的理解。

4. 循序漸進(jìn)，完善新知

引導(dǎo)學(xué)生利用定義并結(jié)合誘導(dǎo)公式探究正弦函數(shù)的周期性，借助動畫演示直觀感知正弦函數(shù)的最小正周期，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力。為了培養(yǎng)學(xué)生的類比思想，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，對于余弦函數(shù)的周期性要求學(xué)生獨立完成，教師補(bǔ)充完善。

5. 新知演練，及時反饋

為了讓學(xué)生鞏固新知，筆者設(shè)計了例題：

例1. 求下列函數(shù)的最小正周期。

【設(shè)計意圖】 引導(dǎo)學(xué)生緊扣周期函數(shù)的定義，結(jié)合正余弦函數(shù)周期，使學(xué)生形成求正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的函數(shù)周期的方法。強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用定義解決問題的能力，突破了本節(jié)課的一個難點。

其中例一的1、2題師生共同完成，第3個題由個別學(xué)生口答，教師板書，以規(guī)范總結(jié)解題步驟，彌補(bǔ)了多媒體一閃而過的不足，為學(xué)生解答例2提供參考。

例2. 求下列函數(shù)的周期。

第一組：

第二組：

在解答例2之前，筆者提示學(xué)生注意觀察、分析這類函數(shù)的周期與解析式中的哪些量有關(guān)，并將學(xué)生分成兩組，每個小組分別完成不同的任務(wù)。之后，各組之間對比討論，小組代表展示討論結(jié)果，教師評價并對學(xué)生的研究成果給予肯定和贊揚(yáng)，最后達(dá)成共識，歸納出y=Asin（ωx+Φ）與y=Acos（ωx+Φ）（其中A≠0，ω≠0）的周期公式為“T=”。

周期公式的得出不僅使學(xué)生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性有了系統(tǒng)的認(rèn)識，也為1.5函數(shù)y=Asin（ωx+Φ）學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。為了讓學(xué)生及時鞏固周期公式，筆者設(shè)置了這樣的口答題：

1. 下列函數(shù)中周期為 的是（ ）

2. 求下列函數(shù)的周期.

3. 函數(shù) （的最小正周期為4π，求ω的值。

6. 回顧反思，總結(jié)提練

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

【設(shè)計意圖】 學(xué)生通過回憶、歸納、總結(jié)把孤立的知識點變成了知識體系。

五、教學(xué)反思

本節(jié)課以問題為主線展開教學(xué)，做到以提出問題為起點，解決問題為終點，學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，思考多，討論多，合作多，質(zhì)疑多，在問題解決過程中不僅逐步加深了對周期函數(shù)概念的理解，而且更重要的是獲得了探索問題的思想方法和能力，使學(xué)生的綜合素質(zhì)得到全面發(fā)展。在問題式教學(xué)中，教師應(yīng)注重對學(xué)生創(chuàng)新教育的滲透，設(shè)置開放性問題，以此激活學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，真正實現(xiàn)課堂的高效性。

（作者單位：河南省三門峽市第一高級中學(xué) 472000）