蔣旭凱

摘要：數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)教學(xué)是指改變由局部到整體，將數(shù)學(xué)知識列為一個個知識點進(jìn)行教學(xué)，依據(jù)數(shù)學(xué)知識之間的本質(zhì)聯(lián)系和內(nèi)在結(jié)構(gòu)，以知識理解和存儲結(jié)構(gòu)的特點進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)教學(xué)，在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)部進(jìn)行操作，強(qiáng)化通過一個既定的認(rèn)知發(fā)展階段吸收新的知識的過程，使學(xué)生熟悉這些結(jié)構(gòu)，并更好地掌握它們的復(fù)雜性，反過來又促進(jìn)新知識的獲得，如此循環(huán)往復(fù)直至學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)取得一致。在此，筆者歸納了幾種常見的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；整體性教學(xué)；策略

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）03-0101

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是建立和完善個體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來的。如何通過數(shù)學(xué)識識結(jié)構(gòu)的深度加工和數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)教學(xué)來改變教學(xué)內(nèi)容點狀割裂狀態(tài)，揭示數(shù)學(xué)知識內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系與結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，通過整體結(jié)構(gòu)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，發(fā)展能力，靈活運用結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化思維，從而促進(jìn)學(xué)生形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培育主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的心向，提高自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的能力。數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)教學(xué)是指改變由局部到整體，將數(shù)學(xué)知識列為一個個知識點進(jìn)行教學(xué)，依據(jù)數(shù)學(xué)知識之間的本質(zhì)聯(lián)系和內(nèi)在結(jié)構(gòu)，以知識理解和存儲結(jié)構(gòu)的特點進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)教學(xué)，在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)部進(jìn)行操作，強(qiáng)化通過既定的認(rèn)知發(fā)展階段吸收新的知識的過程，使學(xué)生熟悉這些結(jié)構(gòu)，并更好地掌握它們的復(fù)雜性，反過來又促進(jìn)新知識的獲得，如此循環(huán)往復(fù)直至學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)取得一致。在此，筆者歸納了以下幾種常見的教學(xué)策略：

一、“結(jié)構(gòu)遷移”的教學(xué)策略

“結(jié)構(gòu)遷移”是指將數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)分為“結(jié)構(gòu)”的認(rèn)識與“結(jié)構(gòu)”的應(yīng)用兩個階段，這兩個階段不僅體現(xiàn)在不同單元知識的學(xué)習(xí)。也體現(xiàn)在同一單元知識學(xué)習(xí)以及同一節(jié)課內(nèi)知識的學(xué)習(xí)。在“結(jié)構(gòu)”認(rèn)識階段，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的存在，充分感悟和體驗知識之間關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)。在“結(jié)構(gòu)”運用階段，要引導(dǎo)學(xué)生靈活運用“結(jié)構(gòu)”主動學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)類似的相關(guān)知識，在結(jié)構(gòu)運用過程中進(jìn)一步完善對結(jié)構(gòu)的理解和修正。例如，在函數(shù)知識模塊中，一次函數(shù)的學(xué)習(xí)是“結(jié)構(gòu)”認(rèn)識階段，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是“結(jié)構(gòu)”應(yīng)用階段，在一次函數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成函數(shù)解析式與函數(shù)圖像“數(shù)與形”兩個維度之間的相互依存的方法結(jié)構(gòu)（如右上圖），在后繼函數(shù)知識的學(xué)習(xí)中就可運用這一結(jié)構(gòu)主動也進(jìn)行類似研究活動。以二次函數(shù)為例作進(jìn)一步說明，二次函數(shù)教材是按認(rèn)識二次函數(shù)解析式，再認(rèn)識二次函數(shù)圖像編排，而圖像又是按頂點在原點，頂點在y軸上，頂點在x軸上，再按一般二次函數(shù)圖像的順序安排，教學(xué)中若教師缺乏對各知識點之間關(guān)系的關(guān)注意識，易造成學(xué)生如“盲人摸象”式被動地學(xué)習(xí)，如果引導(dǎo)學(xué)生運用一次函數(shù)圖像與解析式相互依存這一結(jié)構(gòu)關(guān)系進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)生就能想到二次函數(shù)圖像與其解析式相互依存，明確研究二次函數(shù)圖像的具體思路：

二、“自上而下”的教學(xué)策略

基于基本的簡單技能能被逐步組合為更加復(fù)雜的技能的立場，傳統(tǒng)教學(xué)將知識進(jìn)行分割，以從局部入手累積為整體的自下而上的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。“自上而下”教學(xué)策略是指按照人類認(rèn)識事物由整體到局部的自然順序開展教學(xué)，使知識的獲得與知識的組織與儲存相吻合，促進(jìn)高層次思維水平的形成。自上而下的教學(xué)策略與自下而上的教學(xué)策略是相反的，但不應(yīng)視它們?yōu)閮煞N對立沖突的教學(xué)策略，而應(yīng)當(dāng)看做是在不同的時期為了不同的目的所運用的互補(bǔ)策略，前者著眼于技能的掌握，而后者適合于高層次思維的形成。“自上而下”教學(xué)策略的操作方式：

從整體背景入手到局部知識的結(jié)構(gòu)教學(xué)

從整體背景入手到局部知識的結(jié)構(gòu)教學(xué)適用于單元知識起始的教學(xué)，可在單元之間學(xué)習(xí)一周前在教室公布單元知識的概念地圖（知識結(jié)構(gòu)圖），讓學(xué)生整體認(rèn)知單元知識背景，并作必要的背景知識準(zhǔn)備，下面以旋轉(zhuǎn)的引入為例：

問題1：你能將下列的兩個全等三角形按運動類型分類嗎？

問題2：說說你分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

問題3：各種運動類型有什么特征？

設(shè)計意圖分析：圖形按運動類型分類讓學(xué)生對圖形的常見運動有整體的感知，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圖形的平移、軸對稱（即翻折），就更加自然地將旋轉(zhuǎn)的學(xué)習(xí)與原有的圖形運動相結(jié)合起來，對學(xué)習(xí)的內(nèi)容整體感知后能整體把握，充分感悟和體驗知識之間關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)。這樣，學(xué)生容易將原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移到新的學(xué)習(xí)知識上來，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展。

三、“自下而上”的教學(xué)策略

該教學(xué)策略是指下位學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)教學(xué)，下位學(xué)習(xí)是指學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識在包攝性和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識，下位學(xué)習(xí)比上位學(xué)習(xí)更容易實現(xiàn)知識的同位與遷移。因此，在教學(xué)中先呈現(xiàn)最一般的、包攝性最廣的概念，然后逐漸呈現(xiàn)越來越具體的概念。

例如，在學(xué)習(xí)了相似圖形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)相似三角形的定義時：

問題1：請結(jié)合右圖說說什么是相似圖形？

問題2：在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形，請結(jié)合下圖說說什么是相似三角形？

設(shè)計意圖分析：學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識相似圖形的概念，在包攝性和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識相似三角形的概念，在學(xué)習(xí)時學(xué)生容易實現(xiàn)原有知識向新知識的同位與遷移。因此，教學(xué)中先呈現(xiàn)最一般的、包攝性最廣的概念，然后呈現(xiàn)具體的概念。這樣，既有利于相似三角形概念的掌握，也有利于知識結(jié)構(gòu)的發(fā)展。

四、“復(fù)合結(jié)構(gòu)”的教學(xué)策略

“復(fù)合結(jié)構(gòu)”是從復(fù)雜問題解決中發(fā)現(xiàn)技能的結(jié)構(gòu)教學(xué)，讓學(xué)生首先從復(fù)雜的問題入手，借助高級思維活動來學(xué)習(xí)，通過獨立探索（包括同伴互助和教師幫助）找到或發(fā)現(xiàn)所需要的基本技能。

下面以圓錐側(cè)面積公式教學(xué)作簡要說明：傳統(tǒng)圓錐側(cè)面積公式的教學(xué)，學(xué)生先由教師的簡單講解獲得公式，然后在反復(fù)練習(xí)中運用公式。我們以從復(fù)雜問題入手發(fā)現(xiàn)技能的結(jié)構(gòu)教學(xué)作如下改進(jìn)：

問題1：我們已經(jīng)知道圓柱的側(cè)面積公式為（其中r是底面半徑，h是母線長），今天我們探討如何計算圓錐的側(cè)面積（提供圓錐模型），這次由你們自己去做，你們可獨立探索，也可互助研究，你們不僅要得到圓錐的側(cè)面積公式，還要準(zhǔn)確解釋公式是如何推導(dǎo)出來的。

問題2：如何制作一個與它相同的圓錐（出示圓錐模型）。

問題3：若位于A點的小蟲沿圓錐（母線長為6，底面半徑為3）的

側(cè)面爬行一周到A點，求爬行路線的長。

設(shè)計意圖分析：問題1以類比思想提出研究圓錐側(cè)面積計算公式，讓學(xué)生從解決復(fù)雜問題入手，在解決問題中獲得圓錐的側(cè)面積算公式，在公式的獲取中發(fā)展了學(xué)生高層次思維能力。問題2以逆向思維提出富有現(xiàn)實意義的問題——制作圓錐，讓學(xué)生在解決問題過程中發(fā)現(xiàn)圓錐側(cè)面展開扇形與圓錐底面半徑和母線長的關(guān)系。問題三是綜合運用前面獲得的數(shù)學(xué)知識和解題策略，進(jìn)一步提高學(xué)生的思維水平。通過這樣的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生獲得的不只是孤立的認(rèn)知和對圓錐側(cè)面積公式簡單運用的技能，而是把握住了解決問題的核心策略，也就是平面圖形與立體圖形之間的相互轉(zhuǎn)化以及轉(zhuǎn)換中數(shù)量的不變性，促進(jìn)學(xué)生形成良好的問題解決認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展既關(guān)系到學(xué)生能否順利完成后續(xù)學(xué)習(xí)，也關(guān)系到學(xué)生能否牢固掌握和深度理解原有知識。揭示知識的本質(zhì)和知識間的內(nèi)在聯(lián)系，用知識結(jié)構(gòu)來發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，用認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)一步鞏固知識結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變得更加輕松、更加美妙。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳亞萍.“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2009.

（作者單位：浙江省仙居縣新生中學(xué) 317300）