函數(shù)解析式的求法

安徽省廬江中學(xué)(231500) 王能華●

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函數(shù)解析式的求法

安徽省廬江中學(xué)(231500)
王能華●

函數(shù)解析式是用來表示兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式.它具有簡明、全面地概括變量間關(guān)系的特點，并且通過它能夠求出定義域內(nèi)任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值等優(yōu)點.限于篇幅，本文僅討論非應(yīng)用題型函數(shù)解析式的幾種求法.

一、待定系數(shù)法求解析式

分析 本例中已經(jīng)明確告訴我們f(x)是一個一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的定義，它一定是形如f(x)=kx+b(k≠0)的函數(shù)，所以只要能根據(jù)條件求系數(shù)k,b即可(解略)

從本例可以看出待定系數(shù)法主要應(yīng)用于條件中已確定需要求解的函數(shù)的類型，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等.這時可根據(jù)條件設(shè)出函數(shù)的解析式，再根據(jù)條件將相關(guān)系數(shù)求出即可.

二、根據(jù)所給條件構(gòu)造方程組求解

分析 條件中給了一個等式含有f(x)、g(x)兩個函數(shù)解析式，設(shè)想如果能夠再構(gòu)造一個含有f(x)、g(x)的等式即可解出f(x)、g(x)．(解略)

三、利用換元法求解析式

分析 條件中已經(jīng)給了f(x2-3)的表達(dá)式，而要求f(x)的解析式，只需要把x2-3作為一個整體替換為一個字母t，而等式右邊也化成t的表達(dá)式即可.(解略)

四、配湊法

配湊法與換元法相比較主要運用于當(dāng)采用換元法令f[g(x)]中t=g(x)不方便求出x，但等式右邊容易配成g(x)的表達(dá)式時采用配湊法較簡單；求出函數(shù)解析式要注意根據(jù)原始條件求出函數(shù)定義域.

五、賦值法

例6 已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x,y滿足：f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，且f(0)=1，求f(x)的解析式．

分析 由于條件中已經(jīng)出現(xiàn)了f(x)，而且x,y可以取一切實數(shù)，完全可以根據(jù)需要給它們?nèi)我赓x值，如令y=x即可.(解略)

從上面的例子可以看出，賦值法通常用于抽象函數(shù)中通過對某個字母進(jìn)行賦值減少變量后能求出需要的函數(shù)解析式時，如例6的條件中已有f(x)，但還多了字母y，這時只要對字母x,y進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值就可以求出函數(shù)解析式.

六、遞推法

例7 設(shè)f(x)是定義在N+上的函數(shù)，滿足f(1)=1，對于任意a,b∈N+，f(a)+f(b)=f(a+b)-ab恒成立，求f(x)解析式．

分析 在本例的條件中給出了a,b∈N+時，f(a)+f(b)=f(a+b)-ab總是成立，如果令a,b中一個為x另一個為1，這樣就多出了一個f(x+1)，只要我們反復(fù)運用這個等式最終肯定可以得到f(1)的等式進(jìn)行求解即可.(解略)

分析 在本例的條件中已經(jīng)給了f(x)與f(x-1)之間的關(guān)系式，可以逐次用x-1替代x，并且每相鄰f(x)與f(x-1)的比值是可以表示的，這樣一直遞推下去，總可以得到f(2)與f(1)的關(guān)系式，最終利用條件中f(1)的值達(dá)到求f(x)解析式的目的.(解略)

從上面兩例可以看出遞推法用在自變量在自然數(shù)集范圍內(nèi)取值時，通過對自變量進(jìn)行逐次減小直到條件中給出的初始值(如上面兩例中的f(1))，再把所得等式兩邊進(jìn)行相加或相乘.所以遞推法主要運用于定義在自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)解析式的求解.

七、奇、偶函數(shù)解析式求法

例9 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x2+1，求f(x)解析式．

分析 條件中給出了f(x)是奇函數(shù)并且給出了它定義域一部分的解析式，而要求定義域中其他部分的解析式，可以利用奇函數(shù)的定義來求解.(解略)

例10 已知f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x2+2x，求f(x)解析式．

分析 利用類似于奇函數(shù)時的過程來求定義域中剩余部分的解析式.(解略)

對于已知函數(shù)的奇偶性和其定義域內(nèi)一部分解析式而要求定義域內(nèi)另一部分解析式時均可按照上述兩例方法求解，應(yīng)特別注意若奇函數(shù)的定義域中含有“0”時，f(0)=0的情況不要丟了.

八、圖象關(guān)于點對稱及關(guān)于垂直于x軸的直線對稱時函數(shù)解析式求法

例11 已知f(x)定義域為R，f(x)的圖象關(guān)于點(3,10)對稱，且當(dāng)x≥3時，f(x)=x2+1，求f(x)解析式．

分析 已知f(x)的一部分解析式求另一部分解析式就是求這部分圖象上任意一點(x,y)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間的關(guān)系式，而整個圖象關(guān)于點(3,10)對稱，所以(x,y)關(guān)于(3,10)的對稱點(x1,y1)一定在所給解析式對應(yīng)圖象上.根據(jù)中心對稱的定義可知點(x,y)與(x1,y1)的中點為(3,10)，為此只要用x,y分別表示x1,y1代入原解析式變形即可求得.(解略)

例12 已知f(x)的定義域為R，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x≥1時，f(x)=x2-4x，求f(x)解析式．

分析 根據(jù)條件中關(guān)于直線x=1對稱，可知f(1+x)=f(1-x)也即f(x)=f(2-x)對x∈R時都成立，這時只要將需要求解析式的那部分自變量的范圍通過關(guān)系式2-x轉(zhuǎn)化到已給的范圍內(nèi)即可求解.(解略)

奇、偶函數(shù)解析式求法是圖象關(guān)于點和直線對稱的特殊情況，即當(dāng)對稱點和對稱軸分別是(0,0)和x=0的情況.類似過程也可用于兩個不同的函數(shù)圖象關(guān)于點或直線對稱時解析式的求解(也可用于兩個不同的曲線關(guān)于點或直線對稱時曲線方程的求解).

九、周期函數(shù)解析式求法

分析 因為f(x)是周期為4的函數(shù)，而且也已經(jīng)正好給了一個周期內(nèi)的函數(shù)解析式，而要求的是當(dāng)x∈[2n,2n+4)(n∈Z)時的解析式，在本例中還需注意自然數(shù)n可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，所以還需要對其進(jìn)行分類討論，將要求范圍內(nèi)的部分通過減去周期的整數(shù)倍轉(zhuǎn)化到已給范圍內(nèi)就可以運用條件中解析式進(jìn)行解題.(解略)

利用函數(shù)的周期性求解析式時，把自變量不在所給范圍內(nèi)的那部分通過加或減周期的整數(shù)倍轉(zhuǎn)化到條件所給的范圍內(nèi)再利用周期函數(shù)定義進(jìn)行求解.

不管用上述哪一種方法求函數(shù)解析式，都有一個共同的問題大家需要注意，也就是函數(shù)的定義域要以原始條件為依據(jù)，不能擴(kuò)大也不能縮小.在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時只要能夠理解每一種方法的適用情況，遇到相關(guān)問題時基本就可以快速選擇出正確方法了！

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