戴振宇

【摘要】空間觀念是《課標(biāo)（2011年版）》提出的核心詞之一.投影與視圖是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要內(nèi)容.本章主要研究了中心投影、平行投影和物體的三視圖的有關(guān)知識。內(nèi)容的呈現(xiàn)注重從生活實際取材，重視了知識的形成過程，把空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行研究.教學(xué)時應(yīng)充分借助于學(xué)習(xí)平面幾何的經(jīng)驗，淡化形式，注重實質(zhì)，重視空間觀念的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】空間觀念；轉(zhuǎn)化思想；生活經(jīng)驗

“投影與視圖”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）界定的“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容.本章是青島版教科書的最后一章，主要研究投影的基礎(chǔ)知識和物體的三視圖.投影是將空間圖形變化為平面圖形，研究不同投影方式下投影的變化規(guī)律，是用平面圖形刻劃空間圖形的重要方法和途徑，投影是視圖的基礎(chǔ)；三視圖是本章的核心內(nèi)容，在生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用.是數(shù)學(xué)學(xué)科的任務(wù)之一.

本章內(nèi)容與空間圖形有著密切的聯(lián)系，對于初、高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接起著承上啟下的作用，是后繼高中階段學(xué)習(xí)空間圖形知識的基礎(chǔ)，對于學(xué)生順利過渡到高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著十分重要的意義.

1教材分析

1.1知識結(jié)構(gòu)（如圖1所示）

1.2內(nèi)容概述

本章內(nèi)容包括中心投影、平行投影和物體的三視圖三節(jié)內(nèi)容.

第1節(jié)“中心投影”1課時.教科書首先從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)，通過手影、投影儀、幻燈機(jī)等生活實例，引出投影、投射線、投影面以及中心投影的概念.然后利用“實驗與探究”提出四個問題，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗觀察和借助生活經(jīng)驗，依次探究細(xì)竹簽、平行四邊形紙片在燈光下落在水平桌面上的影子.再把這一現(xiàn)象抽象為在中心投影下，點、線段、平行四邊形在水平平面內(nèi)的投影，并且分線段、平行四邊形與投影面的幾種不同位置，分別探索投影的形狀和大小，從而發(fā)現(xiàn)中心投影的一般規(guī)律.并且探索得到線段和平行四邊形在中心投影下的性質(zhì).進(jìn)一步探索在燈光下平行四邊形紙片與桌面平行時紙片在桌面上的影子，概括出平面圖形與投影面平行時中心投影的特征，由此說明了幻燈機(jī)的工作原理.

第2節(jié)“平行投影”3課時，學(xué)習(xí)平行投影的概念和簡單的性質(zhì)、探索特殊的平行投影——正投影的概念和簡單的性質(zhì)、討論簡單幾何體在水平投影面和豎直投影面內(nèi)的正投影.

第1課時教科書從陽光下物體的影子的生活情境出發(fā)，引出平行投影的概念，然后在“實驗與探究”中，通過問題（1）（2）（3）設(shè)計的教學(xué)活動依次探索點、細(xì)竹竿和矩形紙片的平行投影現(xiàn)象，從而歸納出點、線段、矩形的平行投影的規(guī)律.

第2課時教科書首先給出正投影的概念，然后按照線段、平面圖形、長方體的順序從一維、二維到三維依次探索了正投影的規(guī)律.對線段的正投影結(jié)果分線段平行于投影面、傾斜于投影面和垂直于投影面三種情況進(jìn)行了分析.

第3課時教科書安排了兩個例題，目的是鞏固幾何體正投影的規(guī)律，利用這一規(guī)律會畫簡單幾何體的正投影，并引出“視圖”的概念，為下一節(jié)學(xué)習(xí)三視圖做好鋪墊.

第3節(jié)“物體的三視圖”3課時.主要研究三視圖的概念和簡單幾何體三視圖的畫法、根據(jù)視圖描述簡單幾何體，以及簡單幾何體的組合體三視圖的畫法、綜合運用本章及上一章（空間圖形的初步認(rèn)識）的知識，根據(jù)視圖和表面展開圖，想象和制作實物模型.

三視圖是本章的核心內(nèi)容.教科書首先利用“交流與發(fā)現(xiàn)”欄目結(jié)合圖2引出了主視圖、俯視圖、左視圖以及三視圖的概念，了解主視圖是在豎直投影面的正投影.

進(jìn)而教科書把這三個視圖都展開到主視圖所在的平面內(nèi)，結(jié)合圖3說明了三個視圖之間的位置關(guān)系，所標(biāo)出的上、下、左、右、前、后，是指在識圖時，主視圖反映實際物體的左、右、上、下關(guān)系，俯視圖反映實際物體的左、右、前、后關(guān)系，左視圖反映實際物體的上、下、前、后關(guān)系.從而主視圖反映物體的長和高，俯視圖反映物體的長和寬，當(dāng)主視圖的位置確定后，俯視圖在主視圖的正下方，主、俯視圖都反映物體的長，所以畫圖時應(yīng)“上主下俯長對正”.同樣地可以解釋“主、左視圖高平齊”.

為幫助學(xué)生正確認(rèn)識三視圖，理解并利用上述規(guī)律，然后教科書給出了四個例題，例1是畫三視圖，通過這個題目，讓學(xué)生認(rèn)識到畫三視圖時不僅整體上要做到“長對正，高平齊，寬相等”，而且它的局部也要符合這一規(guī)律.

例2是告訴學(xué)生三視圖，讓學(xué)生描述出幾何體的形狀.

例3要求畫出一個簡單組合體的三視圖.給出幾何體，讓學(xué)生畫出這個幾何體的三視圖.為了明確哪是主視圖，哪是俯視圖和左視圖，教科書在實體圖中標(biāo)出了三個投射方向.

例4是一個由三視圖制作幾何體模型的全過程.設(shè)計本例的目的是為了加深學(xué)生對空間圖形相關(guān)知識內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識，感悟平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，同時進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀.

1.3教學(xué)目標(biāo)

本章是從以下四個方面落實課程目標(biāo)的：

（1）知識與技能

①通過背景豐富的實例，了解中心投影和平行投影.

②會畫基本幾何體的三視圖，會判斷簡單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?

③了解基本幾何體與其三視圖之間的關(guān)系，通過典型實例，知道這種關(guān)系在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用.

（2）數(shù)學(xué)思考

①探索物體的三視圖，強(qiáng)化平面圖形與空間幾何體的相互轉(zhuǎn)換過程，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和幾何直觀.

②體會幾何體與平面圖形之間的相互聯(lián)系，感悟轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展合情推理能力.

③在繪制物體的三視圖時，能對繪制出的圖形進(jìn)行驗證.

（3）解決問題

①嘗試評價中心投影和平行投影間的差異.評價三視圖之間的聯(lián)系.

②畫出三視圖后，能解釋畫法的合理性，能根據(jù)三視圖，準(zhǔn)確地識別相應(yīng)的簡單幾何體.

③體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性，形成合作交流的自覺意識.

（4）情感與態(tài)度

①對投影與視圖的學(xué)習(xí)有濃厚的興趣，能夠在數(shù)學(xué)活動中發(fā)揮積極作用.

②通過視圖、投影的學(xué)習(xí)，體驗到數(shù)字、符號和圖形都是有效的描述現(xiàn)實世界的重要手段.

③從視圖、投影的應(yīng)用中，認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實際問題和進(jìn)行交流的重要工具，增強(qiáng)應(yīng)用意識.

由此可見，教科書對課程目標(biāo)的要求不只停留在知識技能方面，而且還特別注重了讓學(xué)生參入數(shù)學(xué)活動的過程性方面，上述要求涵蓋了數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的各個緯度，體現(xiàn)了《課標(biāo)（2011年版）》的“課程目標(biāo)”和價值追求.2編寫時重點考慮的問題

為了落實上述目標(biāo)，編寫人員以《課標(biāo)（2011年版）》為依據(jù)，除了選用合適的素材（如圖片、情境、實例）外，還精心設(shè)計了一些符合“數(shù)學(xué)學(xué)科特征”及“學(xué)生認(rèn)知規(guī)律”的探究、實驗、思考、交流等活動，以期把教學(xué)活動設(shè)計成“師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程”.

就本章而言，教科書編寫的指導(dǎo)思想是：從生活實際出發(fā)，精心創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生通過實驗與探究，觀察與思考、交流與發(fā)現(xiàn)等系列活動，經(jīng)歷觀察、比較、識別、抽象的過程，從而了解投影和平行投影的定義、掌握三視圖的知識；通過動手操作會畫簡單幾何體的三視圖，能根據(jù)三視圖說出簡單幾何體的形狀；設(shè)置恰當(dāng)?shù)乃伎紗栴}，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)三視圖制作幾何模型的全過程.

2.1貼近學(xué)生的生活實際

《課標(biāo)（2011年版）》提出了六條針對教材編寫的建議，其中之一為“現(xiàn)實性”，并且進(jìn)一步指出“素材的選用應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和活動經(jīng)驗.這些素材應(yīng)當(dāng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能貼近學(xué)生的現(xiàn)實，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)知識與方法的過程.”本章內(nèi)容充分利用現(xiàn)實生活中的素材，使學(xué)生在觀察、實驗的基礎(chǔ)上，抽象出空間圖形，歸納出它們的幾何特征，發(fā)現(xiàn)它們的數(shù)學(xué)規(guī)律.在例題、習(xí)題的設(shè)計與選擇上我們也注意了與生產(chǎn)生活的聯(lián)系.

例如，教科書從人們非常熟悉的生活中的影子、手影引出了投影的概念，從燈泡發(fā)出的光線、幻燈機(jī)等實例中，引出了中心投影的概念，在探索中心投影和平行投影時，教科書結(jié)合細(xì)竹簽、平行四邊形紙片和正方體模型的例子，討論當(dāng)它們與投影面成不同位置關(guān)系時的投影，探索和發(fā)現(xiàn)出其中蘊含的規(guī)律；在“物體的三視圖”一節(jié)，以一個常見的機(jī)器部件在三個投影面的正投影，引出三視圖的概念與畫法.這些內(nèi)容都體現(xiàn)了從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)知識與方法，然后又利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的編寫教材特點.

這些素材的選取一方面有利于學(xué)生學(xué)習(xí)本章的數(shù)學(xué)知識，另一方面使學(xué)生體會到“數(shù)學(xué)學(xué)來源于生活實際，產(chǎn)生于現(xiàn)實需要，又服務(wù)于我們的生活實際”，加深了對“生活即數(shù)學(xué)”的認(rèn)識和理解.通過本章知識的學(xué)習(xí)，不僅可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，而且還有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高.

2.2重視數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程

按照《課標(biāo)（2011年版）》提出的“過程性”要求，我們結(jié)合具體課程內(nèi)容，設(shè)計了一些必要的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生通過觀察、實驗、猜測、繪圖、計算、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應(yīng)用過程.例如，一方面讓學(xué)生認(rèn)識生活中的投影現(xiàn)象，感受中心投影和平行投影的不同，同時讓學(xué)生通過在燈光下和陽光下進(jìn)行操作、實驗和觀察，體會影子的變化規(guī)律，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)對于同一物體，由于與投影面的相對位置不同，影子的大小、形狀也會不同，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并由此總結(jié)出投影的基本性質(zhì)，以增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念，為學(xué)習(xí)正投影和三視圖打下基礎(chǔ).另一方面，學(xué)習(xí)了投影和三視圖的知識后，都設(shè)計了相應(yīng)的問題，讓學(xué)生利用所學(xué)知識加以解決，這個過程既可以加深對所學(xué)知識的理解和掌握，又可以培養(yǎng)他們問題解決的能力，有利于應(yīng)用意識的培養(yǎng).

2.3注重對數(shù)學(xué)思想的滲透和應(yīng)用

從數(shù)學(xué)思想方法來看，轉(zhuǎn)化是本章最重要的數(shù)學(xué)思想，物體的各種投影都是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形；由簡單幾何體畫出它的三視圖，由三視圖想象出幾何體的形狀，都反映了立體圖形與平面圖形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，這對于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是非常重要的，同時也發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀.在探索中心投影、平行投影以及三視圖的投影規(guī)律的過程中，還滲透了抽象、分類和歸納的數(shù)學(xué)思想.

3教學(xué)建議

3.1充分利用學(xué)生已有的活動經(jīng)驗

在我們生活的客觀世界中，物體的形狀都是立體圖形，而它們的影子則是平面圖形，物體在光源下形成影子是將立體圖形變化為平面圖形的過程.在本章內(nèi)容的教學(xué)中，涉及到空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（相交、垂直和平行）等知識，由于這些內(nèi)容屬于高中學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)本章前缺乏對這些知識的學(xué)習(xí).

為了解決這一問題，引導(dǎo)學(xué)生順利學(xué)好本章內(nèi)容，教師應(yīng)從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)，利用學(xué)生直觀的、感性的經(jīng)驗，使學(xué)生能結(jié)合熟悉的生活實例，通過與平面圖形相關(guān)知識的類比，感受這些位置關(guān)系.教學(xué)時，可以利用模型、教具或課件動態(tài)地直觀地演示，獲取對這些空間位置關(guān)系的感性認(rèn)識.例如，通過教室的天花板與地面平行、墻壁面與地面垂直、兩個相鄰的墻壁面也互相垂直、兩相鄰墻壁面的交線與地面垂直、墻壁面與地面的交線與天花板平行、一個墻壁面和與它相鄰的兩個墻壁面的交線互相平行等實例，幫助學(xué)生感受空間位置關(guān)系，克服學(xué)生知識結(jié)構(gòu)中缺乏立體幾何知識的現(xiàn)象.

3.2加強(qiáng)空間觀念的教學(xué)

《課標(biāo)（2011年版）》提出了十大核心概念，其中之一是“空間觀念”.空間觀念是本章的核心，也是本章教學(xué)的主線.教學(xué)中，應(yīng)注意突出培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念這一重點.

例如，在教學(xué)中心投影和平行投影時，應(yīng)首先讓學(xué)生理解點、線段、三角形、平行四邊形等基本幾何圖形在投影面的投影，然后逐步過渡到研究簡單幾何體的投影.研究簡單幾何體的正投影時，應(yīng)分別考慮簡單幾何體各個面在同一投影面上投影的形狀.最后考慮幾何體在三個兩兩垂直的投影面上的形狀，得到三視圖的概念.反過來能根據(jù)這三個投影想象出被投影的幾何體的形狀.教學(xué)時，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷以上過程，體現(xiàn)其中的邏輯順序和轉(zhuǎn)化思想，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念.

3.3注重實質(zhì)，淡化形式

由于初中學(xué)生的思維水平有限，對于一些抽象的概念難以達(dá)到深刻理解的程度.對于這樣的一些概念，我們要求學(xué)生了解即可，不要過分強(qiáng)調(diào)對其的理解.例如，對中心投影和平行投影這兩個概念的教學(xué)，只要求學(xué)生通過實例了解這兩種現(xiàn)象即可，不要求學(xué)生從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上去理解與把握，把教學(xué)重點放在讓學(xué)生了解它們的簡單規(guī)律和區(qū)別上.具體教學(xué)時，可以充分展示生活中的事例，也可讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗去舉例，經(jīng)過相互交流，形成正確的認(rèn)識.有條件的話盡可能地使用模型、教具和課件展示投影現(xiàn)象，豐富學(xué)生的認(rèn)識和體驗，增強(qiáng)幾何直觀，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好地認(rèn)識投射線、幾何體、投影面之間的位置關(guān)系，想象出投影的形狀，促進(jìn)對知識的理解.

3.4嚴(yán)格控制教學(xué)難度

讓學(xué)生根據(jù)要求畫出給定幾何體的三視圖是本章的一個重要教學(xué)目標(biāo).教科書給出了畫三視圖的原則，如“長對正，高平齊，寬相等”，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的右邊，看得見部分的輪廓線畫粗實線，看不見部分的輪廓線畫虛線等，這些是畫三視圖必須遵循的規(guī)定.在畫三視圖之前應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察，認(rèn)清幾何體的基本特征后，再動手畫圖.

教學(xué)中，教師要認(rèn)真研讀《課標(biāo)（2011年版）》提出的“能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體”的要求，準(zhǔn)確把握其教學(xué)要求的意義，控制畫三視圖的難度，要求學(xué)生會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，以及常見的幾種簡單幾何體及其簡單組合體的三視圖為主，不要求畫復(fù)雜幾何體的三視圖.