梁 斌， 陳金曉， 李 戎， 徐紅玉

(1. 河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院, 河南 洛陽(yáng) 471023； 2. 九州工業(yè)大學(xué) 機(jī)械系， 日本 北九州 804-8550)

水下環(huán)肋功能梯度材料圓柱殼穩(wěn)定性研究

梁 斌1， 陳金曉1， 李 戎2， 徐紅玉1

(1. 河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院, 河南 洛陽(yáng) 471023； 2. 九州工業(yè)大學(xué) 機(jī)械系， 日本 北九州 804-8550)

研究了水下環(huán)肋功能梯度材料圓柱殼的穩(wěn)定性。根據(jù)Flügge理論和正交各向異性板殼理論，采用波動(dòng)法推導(dǎo)出靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合振動(dòng)特征方程，運(yùn)用牛頓迭代法得到靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼的固有頻率值，并通過(guò)線性擬合得到靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼的臨界壓力。通過(guò)計(jì)算對(duì)比分析，驗(yàn)證了方法的正確性和有效性。通過(guò)算例，分析了靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼在不同材料組分、體積分?jǐn)?shù)、殼體尺寸、肋條尺寸和數(shù)目等情況下臨界壓力的變化規(guī)律。

靜水壓力； 環(huán)肋； 功能梯度材料； 圓柱殼； 線性擬合； 臨界壓力

環(huán)肋圓柱殼在靜水壓力下的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，采用新型功能梯度材料的環(huán)肋圓柱殼的動(dòng)力學(xué)行為分析是當(dāng)前研究的主要方向之一。因此，研究環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性對(duì)于圓柱殼結(jié)構(gòu)在靜水壓力下的應(yīng)用具有非常重要的意義。目前，關(guān)于功能梯度材料、環(huán)肋或水下圓柱殼的力學(xué)行為特性研究已取得一些研究成果。Loy等[1]在經(jīng)典薄殼理論的基礎(chǔ)上，利用Rayleigh法建立FGM(Functionally Graded Material)圓柱殼自由振動(dòng)的特征方程，并根據(jù)特征方程求出FGM圓柱殼的固有頻率，分析了邊界條件、體積分?jǐn)?shù)、材料組分等因素對(duì)FGM圓柱殼自由振動(dòng)的影響。李戎等[2]利用波動(dòng)法，研究了水下功能梯度材料圓柱殼的振動(dòng)特性，并對(duì)圓柱殼固有頻率的影響因素進(jìn)行分析。Zhou[3]研究了充液環(huán)肋薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性，并對(duì)充液環(huán)肋圓柱殼的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。王小明等[4-5]研究了肋條間距和環(huán)肋圓柱殼的幾何參數(shù)對(duì)環(huán)肋圓柱殼穩(wěn)定性的影響。李天勻等[6]基于波動(dòng)法研究了靜水壓力對(duì)圓柱殼耦合頻率的影響。LIU等[7]運(yùn)用Flügge方程和Helmholtz波動(dòng)方程，把靜水壓力當(dāng)做額外應(yīng)力考慮到振動(dòng)方程中，研究了靜水壓力對(duì)環(huán)肋圓柱殼輸入功率流的影響。陳忱等[8]建立了一種關(guān)于求解水下圓柱殼臨界載荷彈性理論解的新方法，并通過(guò)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性。梁斌等[9]分析了水下環(huán)肋圓柱殼耦合頻率的影響因素。Zhu等[10]利用波動(dòng)法研究了水下圓柱殼的彈性臨界壓力，并討論了水下圓柱殼的固有頻率與靜水壓力的關(guān)系。但是，關(guān)于綜合考慮功能梯度材料、環(huán)肋形式和靜水壓力等組合因素下，環(huán)肋圓柱殼穩(wěn)定性方面的研究還存在著大量的空白。

臨界壓力的大小能夠直觀反映出圓柱殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。本文運(yùn)用波動(dòng)法建立FGM圓柱殼耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，利用牛頓迭代法求解方程得到固有頻率，最后通過(guò)線性擬合方法獲得水下環(huán)肋FGM圓柱殼的臨界壓力。通過(guò)計(jì)算分析了不同周向模態(tài)情況下，材料組分、體積分?jǐn)?shù)、環(huán)肋形式等因素對(duì)水下環(huán)肋FGM圓柱殼穩(wěn)定性的影響。

1 力學(xué)模型

假定水下環(huán)肋(內(nèi)加肋)圓柱殼力學(xué)模型如圖1所示，R為平均半徑，L為圓柱殼長(zhǎng)度，h為圓柱殼壁厚，hr為肋條截面高度，br為肋條截面寬度，d2為肋條間距，e2為環(huán)肋的偏心距，本文在圓柱殼的中面上建立正交坐標(biāo)系(x,θ,z)，其中x，θ和z分別為圓柱殼的軸向、環(huán)向和徑向坐標(biāo)。

(b)

圓柱殼殼體和環(huán)肋均采用功能梯度材料，它的材料特性P受組成材料的體積分?jǐn)?shù)影響，P的表達(dá)式是一個(gè)關(guān)于溫度和體積分?jǐn)?shù)的函數(shù)

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(1)

式中，系數(shù)P0、P-1、P1、P2和P3與溫度T(K)的大小有關(guān)。假設(shè)圓柱殼沿厚度方向的彈性模量與材料組分的百分比有關(guān)，則其函數(shù)表達(dá)式為

(2)

E=E1V1+E2V2=(E2-E1)V2+E1

(3)

式中：V1和V2分別為圓柱殼內(nèi)、外表面材料的體積百分比；p為冪率指數(shù)，其取值范圍為0≤p≤∞。

當(dāng)圓柱殼的組分材料為兩種時(shí)，假定內(nèi)、外表面材料參數(shù)分別為彈性模量E1,E2、質(zhì)量密度ρ1,ρ2和泊松比υ1,υ2，環(huán)肋FGM圓柱殼的等效彈性模量E，泊松比υ，材料密度ρ表示如下

(4)

2 理論推導(dǎo)

根據(jù)Flügge理論和正交各向異性理論[11]，靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程式為

(5)

其中，內(nèi)力與位移的關(guān)系表達(dá)式為

內(nèi)力與位移關(guān)系表達(dá)式中參數(shù)表示為

用波動(dòng)法表示的圓柱殼振動(dòng)位移方程如下

(6)

式中：Um,Vm,Wm分別為x,θ,z方向的波幅；ω為固有角頻率；km的大小與邊界條件有關(guān)。

計(jì)算中需要考慮流體與圓柱殼結(jié)構(gòu)的耦合效應(yīng)，在流體中用柱坐標(biāo)表示的聲壓場(chǎng)為

ψ=ψmcos(nθ)Jn(krr)eiωt-ikm

(7)

式中：Jn()為n階Bessel函數(shù)；軸向波數(shù)km和徑向波數(shù)kr滿足的關(guān)系表達(dá)式為

(krR)2=Ω2(CL/CF)2-(kmR)2

(8)

-{1/(iωρf)}(?ψ/?r)|r=R=(?w/?t)|r=R

(9)

(10)

(11)

式中，F(xiàn)L為流體聲場(chǎng)作用所產(chǎn)生的流體荷載項(xiàng)。

(12)

將式(12)代入式(11)中求解方程，可以得到

P1(ω)-P2(ω)FL=0

(13)

式中，P1(ω)和P2(ω)均為關(guān)于ω的多項(xiàng)式，式(13)是一個(gè)超越方程，運(yùn)用牛頓迭代法求解水下環(huán)肋FGM圓柱殼的固有頻率。

3 算例與討論

表1計(jì)算了兩端簡(jiǎn)支條件下功能梯度材料圓柱殼的固有頻率，通過(guò)與已有文獻(xiàn)[12]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文關(guān)于功能梯度材料圓柱殼固有頻率的計(jì)算方法的正確性和有效性。

表1 兩端簡(jiǎn)支條件下FGM圓柱殼固有頻率的對(duì)比分析

表2計(jì)算了兩端簡(jiǎn)支條件下，水下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率及固有頻率的平方，通過(guò)與陳忱等的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文關(guān)于水下環(huán)肋圓柱殼固有頻率的研究方法的正確性和有效性。表中計(jì)算參數(shù)均采用參考文獻(xiàn)[13]中的計(jì)算參數(shù)。

表2 兩端簡(jiǎn)支條件下水下環(huán)肋圓柱殼固有頻率的對(duì)比分析

Tab.2 Comparison of the results of calculation of the natural frequencies of submerged stiffened cylindrical for SS-SS

Q/MPa固有頻率/Hzn=2n=3本文文獻(xiàn)[13]本文文獻(xiàn)[13]0180.64177.12219.63216.843174.27170.93204.51201.236167.91164.49187.49184.249160.75157.78167.43165.4712153.58150.75146.9144.2115146.42143.37120.96119.1418138.465135.5789.9287.02

根據(jù)表2中數(shù)據(jù)，圖2給出了模態(tài)(1,2)和模態(tài)(1,3)條件下，環(huán)肋圓柱殼的固有頻率的平方與靜水壓力的關(guān)系曲線，從圖2中可以看出，固有頻率的平方與靜水壓力近似成線性關(guān)系，這與文獻(xiàn)[14-15]的結(jié)論一致。通過(guò)線性擬合得到水下環(huán)肋圓柱殼的臨界壓力為： 43.616 MPa(n=2)，21.581 MPa(n=3)。與陳忱等研究的結(jié)果吻合度較高。當(dāng)n=2時(shí)，將表2中的計(jì)算參數(shù)代入式(14)中得到臨界壓力的理論值43.092 MPa，與本文的線性擬合結(jié)果43.616 MPa相對(duì)誤差為1.207%，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文研究方法的正確性和有效性。

圖2 不同靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率的平方變化曲線

Fig.2 The square of natural frequency of submerged cylindrical shell under different hydrostatic pressure

兩端簡(jiǎn)支邊界條件下，環(huán)肋圓柱殼在靜水壓力下的彈性屈曲臨界壓力公式[16]

(14)

式中：a1=πR/L為殼體的長(zhǎng)度參數(shù)；J為肋骨截面與附連扳對(duì)其中性軸的慣性矩。

本文算例中，圓柱殼的功能梯度材料組分規(guī)定為:外表面不銹鋼(金屬材料)、內(nèi)表面氧化鋯(陶瓷材料)，文中所用到的組分材料參數(shù)見表2。通過(guò)算例分析了水下環(huán)肋FGM圓柱殼的臨界壓力在不同邊界條件、材料組分、體積分?jǐn)?shù)、殼體尺寸和環(huán)肋形式等條件下的變化規(guī)律，計(jì)算結(jié)果見圖3～圖10。本文殼體的計(jì)算參數(shù)為：L/R=20,R=1,hr=0.005 82 m,br=0.002 18 m,p=1,m=1，肋條數(shù)目Nr=19。

表3 材料參數(shù)表

圖3～圖7中取h/R=0.01。圖3給出了不同材料組分下，水下環(huán)肋FGM圓柱殼的臨界壓力在不同周向模態(tài)下的變化規(guī)律?？梢钥闯觯谕恢芟蚰B(tài)下，不同材料組分的環(huán)肋圓柱殼臨界壓力不同；四種材料組分下的臨界壓力均隨著n值的增大而增大，且增大幅度比較均勻。

圖4和圖5中取n=2。圖4給出了不同材料組分下，水下環(huán)肋FGM圓柱殼的臨界壓力隨著冪率指數(shù)p的變化規(guī)律曲線?？梢钥闯?，隨著p值增大，四種材料組分的臨界壓力最終都趨于平穩(wěn)，p值較小時(shí)對(duì)臨界壓力影響比較大。計(jì)算結(jié)果表明，無(wú)論臨界壓力隨著p值增大而增大或是減小，臨界壓力都介于純金屬圓柱殼結(jié)構(gòu)和純陶瓷圓柱殼結(jié)構(gòu)的臨界壓力之間。

圖3 不同材料組分下水下環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力變化曲線

Fig.3 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with various material components

圖4 不同冪率指數(shù)下水下環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力變化曲線

Fig.4 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different volume fraction

圖5給出了不同邊界條件下，水下環(huán)肋FGM圓柱殼的臨界壓力在不同h/R下的變化規(guī)律?？梢钥闯?，四種邊界條件下，臨界壓力均隨著h/R的不斷增大而增大；兩端固支條件下，臨界壓力最大，一端固支、一端自由條件下，臨界壓力最小。

圖5 不同h/R下水下環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力變化曲線

Fig.5 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different thickness-radius ratio

圖6給出了不同邊界條件下，水下環(huán)肋FGM圓柱殼的臨界壓力在不同L/R下的變化規(guī)律?？梢钥闯?，臨界壓力隨著L/R的不斷增大而連續(xù)下降，當(dāng)L/R=2～5時(shí)，臨界壓力隨著L/R的增大而急劇下降；當(dāng)L/R=5～10時(shí)，下降速度變慢；當(dāng)L/R>10時(shí)，臨界壓力的下降速度越來(lái)越緩慢，當(dāng)L/R增大到一定程度時(shí)，L/R對(duì)臨界壓力的影響可以忽略不計(jì)。

圖6 不同L/R下水下環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力變化曲線

Fig.6 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different length-radius ratio

圖7和圖8給出了兩種圓柱殼厚徑比下，水下FGM圓柱殼臨界壓力在不同環(huán)肋形式下的變化規(guī)律?？梢钥闯?，當(dāng)h/R=0.01時(shí)，兩種形式的圓柱殼的臨界壓力均隨著n的增大而增大，n=2時(shí)，臨界壓力最??；環(huán)肋的存在對(duì)臨界壓力的影響并不明顯，兩種環(huán)肋形式的圓柱殼臨界壓力近似相等。當(dāng)h/R=0.002時(shí)，兩種形式的圓柱殼的臨界壓力均隨著n的增大先減小后增大，n=3時(shí)，臨界壓力最小，環(huán)肋圓柱殼的臨界壓力明顯大于不加肋圓柱殼的臨界壓力。這是由于，圓柱殼的厚度不同時(shí),耦合頻率對(duì)靜水壓力的變化的敏感度不同，而臨界壓力是根據(jù)耦合頻率為0時(shí)的靜水壓力取值的，因此圓柱殼的厚度不同時(shí)，臨界壓力隨著n值表現(xiàn)出不同的變化趨勢(shì)。文獻(xiàn)[17-18]中，隨著n值的增大，失穩(wěn)壓力的變化也比較復(fù)雜，而本文此處的結(jié)論與文獻(xiàn)[17-18]的結(jié)論有相似之處。

圖7 不同環(huán)肋形式下水下FGM圓柱殼臨界壓力變化曲線(h/R=0.01)

Fig.7 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different stiffening form(h/R=0.01)

Fig.8 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different stiffening form (h/R=0.002)

根據(jù)以上結(jié)論，以下取h/R=0.002。圖9給出了不同Nr下水下環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力變化規(guī)律?？梢钥闯觯R界壓力隨著Nr的增大而增大；當(dāng)n較小時(shí)，Nr對(duì)臨界壓力的影響較??；隨著n值的增大，Nr對(duì)臨界壓力的影響越來(lái)越明顯。n=3時(shí)，臨界壓力最小。

圖9 不同Nr下水下環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力變化曲線

Fig.9 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different number of ring ribs

圖10給出了不同hr/br下水下環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力的變化規(guī)律?？梢钥闯?，隨著hr/br的增大，臨界壓力不斷增大，且增大幅度越來(lái)越明顯。隨著n的增大，臨界壓力先減小后增大，n=3時(shí)，臨界壓力最小。

圖10 不同hr/br下水下環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力變化曲線

Fig.10 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with differenthr/br

4 結(jié) 論

(1) 環(huán)肋圓柱殼中采用不同材料組分和不同體積分?jǐn)?shù)，所形成的材料特性也不同。因此，不同材料組分和不同體積分?jǐn)?shù)的環(huán)肋圓柱殼，所能承受的臨界壓力不同，但任何材料組分的FGM圓柱殼的臨界壓力值，都介于所選用的兩種單一材料的圓柱殼臨界壓力值之間；隨著n值的增大，不同材料組分下環(huán)肋圓柱殼的臨界壓力均變大。

(2) 環(huán)肋FGM圓柱殼的殼體尺寸對(duì)臨界壓力影響比較明顯：當(dāng)h/R≥0.002,L/R≥2時(shí),臨界壓力隨著h/R的增大、L/R的減小而增大，L/R對(duì)臨界壓力的影響主要表現(xiàn)在L/R較小的情況下。

(3) 邊界條件對(duì)環(huán)肋FGM圓柱殼臨界壓力的影響顯著：四種邊界條件下，兩端固支臨界壓力最大；一端固支一端自由臨界壓力最小。由此也可得出結(jié)論，邊界條件的約束越強(qiáng)，圓柱殼所能承受的臨界壓力越大，即圓柱殼的穩(wěn)定性越好。

(4) 環(huán)肋對(duì)圓柱殼臨界壓力的影響程度與圓柱殼的殼體厚徑比有關(guān)：當(dāng)h/R=0.002時(shí)，環(huán)肋圓柱殼的臨界壓力顯著大于不加肋圓柱殼的臨界壓力；當(dāng)h/R=0.01時(shí)，環(huán)肋對(duì)臨界壓力的影響較小，在一定程度上可以忽略不計(jì)。

(5) 圓柱殼的厚徑比不同時(shí)，環(huán)肋FGM圓柱殼的臨界壓力隨n值增大的變化規(guī)律亦不同：當(dāng)h/R=0.002時(shí)，臨界壓力隨著n值的增大先減小后增大，n=3時(shí)，臨界壓力最??；當(dāng)h/R=0.01時(shí)，臨界壓力隨著n值的增大而增大，n=2時(shí)，臨界壓力最小。

(6) 在h/R=0.002時(shí)，環(huán)肋尺寸和環(huán)肋數(shù)目對(duì)圓柱殼臨界壓力的影響比較明顯：臨界壓力隨著Nr和hr/br的增大而增大，且隨著n值的增大，增大幅度均變大。

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Stability of a submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell

LIANG Bin1, CHEN Jinxiao1, LI Rong2, XU Hongyu1

(1. College of Civil Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471023, China; 2. Department of Mechanical Engineering, Kyushu Institute of Technology, Kitakyushu-city 804-8550, Japan)

The stability of a submerged ring-stiffened cylindrical shell made of functionally graded material (FGM) was studied here. According to Flügge theory and the orthotropic plate and shell theory, the coupled vibration characteristic equations of the submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell under hydrostatic pressure were derived with the wave method. The natural frequencies of the submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell under hydrostatic pressure were obtained with Newton iteration method. Finally, the critical pressure of the submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell under hydrostatic pressure was gained with the linear fitting method. Through the comparative analysis of computations, the correctness and effectiveness of the proposed method was validated. Through numerical examples, the effects of material component, volume fraction, shell size, and ring size and number on the critical pressure of the submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell under hydrostatic pressure were analyzed.

hydrostatic pressure, ring-stiffened, functionally graded material, cylindrical shell, linear fitting, critical pressure

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(51105132；11402077)； 河南省自然科學(xué)基金(122300410112)

2016-02-02 修改稿收到日期：2016-04-22

梁斌 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生

TB535+.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.012