湖北省麻城實(shí)驗(yàn)高中 (郵編：438300)

利用“棱法向量”求二面角

湖北省麻城實(shí)驗(yàn)高中余志(郵編：438300)

二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角是“相等”還是“互補(bǔ)”的問題，一直困擾著大家. 本文從二面角的定義出發(fā)，利用“棱法向量”求二面角，有效地解決了這個(gè)問題.

二面角；棱法向量；高考試題別解

向量法求解二面角，將面與面的平面角轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角，回避了復(fù)雜程度高的幾何技能. 但是，二面角的大小與法向量的夾角是“相等”還是“互補(bǔ)”的問題，一直困擾著大家. 本文立足二面角的定義，利用棱法向量，給出一種簡(jiǎn)捷、有效的方法.

我們把二面角的半平面內(nèi)與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的向量，稱為二面角的棱法向量.

圖1

圖2

例1如圖2，在四棱錐A-EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O為EF的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：AO⊥BE；

(Ⅱ)求二面角F-AE-B的余弦值.

(2015年北京卷·理19(節(jié)選))

解(Ⅰ)略；

圖3

例2如圖3，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

(Ⅰ)證明：平面ABEF⊥平面EFDC;

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.

(2016年全國(guó)卷Ⅰ·理18)

解(Ⅰ)略；

(Ⅱ)過D作DG⊥EF于G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF,以G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，令GF=1.

因?yàn)锳B∥EF,所以AB∥平面EFDC.

作EH⊥CB于H，AH′⊥CB于H′.設(shè)H(x,y,z)，由C、H、B共線可設(shè)

平面的法向量，通過兩對(duì)向量的垂直求得；而棱法向量利用一對(duì)向量的共線與一對(duì)向量的垂直求出.雖然后者的計(jì)算量略大，但是這種利用棱法向量求二面角的方法，再也沒有判斷二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角是“相等”還是“互補(bǔ)”的煩惱了.

1 吳建明，顧雪. 空間角求解策略的比較研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上)，2015(8)

2 王偉華.用向量法求二角面的大小及其角度關(guān)系的確定[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版)，2010(1-2)

3 呂昕. 利用法向量求二角大小的一個(gè)判定方法[J].數(shù)學(xué)通訊，2007(19)

2017-03-23)