山東省單縣第一中學(xué) (郵編：274300)

錯解，是真的嗎

山東省單縣第一中學(xué)衛(wèi)小國(郵編：274300)

題目已知拋物線x2=4y，過直線x-y-4=0上任一點A(x0,y0)作拋物線的切線，切點分別為M、N;證明：直線MN過定點.

該題為省名校調(diào)研測試壓軸題其中一問，背景知識為阿基米德三角形；有考生解答如下，聯(lián)合閱評為零分，且多位教師合議也贊同.筆者意見正好相反，認(rèn)為應(yīng)贊賞該生的思維靈活；現(xiàn)簡錄與解讀如下，權(quán)作拋磚引玉.

解設(shè)切點為(x,y)，易知有

故MN過定點(2,4).

解讀解答設(shè)切點的意圖，是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；建立關(guān)于切點橫、縱坐標(biāo)的等式，即所在的曲線方程.結(jié)合切點在曲線上，化簡得關(guān)于x、y的二元一次方程，即是所有滿足條件的切點所在的曲線；根據(jù)變形后的直線方程，易得動直線過定點.

提供的參考答案，如下：

設(shè)y=kx+b,M(xM,yM),N(xN,yN)，與拋物線聯(lián)立可得x2-4kx-4b=0.

可得2k+b-4=0?y=kx-2k+4=k(x-2)+4.

筆者以為對比參考答案，該生的解答簡潔而精巧；理由如下：

1 思路切入新

參考答案是從直線過定點的一般處理方法，即建立直線方程中斜率與截距間的明確的等式關(guān)系；媒介是韋達(dá)定理與切線的交點在直線x-y-4=0上.而該生提供的解法是直接從切點入手，直接獲取滿足的方程；給人一種“直搗黃龍”的新穎感.

2 運(yùn)算處理巧

3 思維水平高

學(xué)生的解答，從曲線方程的概念入手，用化歸的數(shù)學(xué)思想；將特殊問題一般化，從更高的思維層面上解題.解答者是從表面不同的現(xiàn)象中，找到本質(zhì)的東西，學(xué)會透過問題的表象看清問題的本質(zhì)；達(dá)到既見樹木又見森林的高度，能注重用普遍聯(lián)系的觀點看問題，展示發(fā)展思維的深刻性.

2017-04-11)