山東省淄博市周村區(qū)王村中學(xué) (郵編：255300)山東省淄博市周村區(qū)第三中學(xué) (郵編：255300)

一道中考模擬題的錯(cuò)解分析 糾正和改編

山東省淄博市周村區(qū)王村中學(xué)鄭學(xué)濤(郵編：255300)山東省淄博市周村區(qū)第三中學(xué)李慶生(郵編：255300)

1 問(wèn)題提出

1.1 題目呈現(xiàn)

圖1

1.2 選題背景

鑒于對(duì)近年來(lái)淄博市中考數(shù)學(xué)17題的難度感知，我區(qū)縣在命制畢業(yè)班中考模擬試題時(shí)特選取一些設(shè)計(jì)新穎，能夠體現(xiàn)出學(xué)生核心素養(yǎng)，對(duì)優(yōu)秀和良好的學(xué)生具有明顯區(qū)分度的題目，上題即是其中一例.

2 經(jīng)驗(yàn)驅(qū)使 悄入誤區(qū)

圖2

3 知識(shí)溯源，破解迷局

在進(jìn)行試題講解前的備課時(shí)，從整體上比較了一下幾種解法的優(yōu)劣，覺得上面的解法比較接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，于是決定首先這種解法.但授課實(shí)際操作中，學(xué)生提出質(zhì)疑：本解法中O到C點(diǎn)的距離最小是根據(jù)那條數(shù)學(xué)定理或者基本事實(shí)？這使筆者陷入深思和溯源，初中階段設(shè)計(jì)線段最小值的題目有很多，但是幾乎無(wú)一例外用到這樣幾條數(shù)學(xué)定理或事實(shí)：(1)兩點(diǎn)之間線段最短；(2)直線外一點(diǎn)到直線上的所有點(diǎn)的線段中，垂線段最短；(3)三角形兩邊之和大于第三邊；(4)線段長(zhǎng)度是某個(gè)自變量的函數(shù)，最小值是通過(guò)函數(shù)的極值求得.那么上面所述線段OC最小成立的依據(jù)是哪一條呢？通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)O是定點(diǎn)，但是O點(diǎn)所在的線段AD只是長(zhǎng)度確定，位置并不確定，它會(huì)隨A、B位置的變化而變化，這與(2)中直線位置確定有明顯區(qū)別，且對(duì)于(2)，產(chǎn)生最小距離的直線上的點(diǎn)就是過(guò)直線外的那一點(diǎn)向直線作垂線之后的垂足，而本題未作垂直之前O點(diǎn)已赫然存在于線段AD上，在上課講解的過(guò)程中教師未經(jīng)深度思考就默認(rèn)了依據(jù)(2)，這樣的觀點(diǎn)站不住腳的，那么接踵而至的問(wèn)題還有如果依據(jù)不成立為什么還會(huì)解出正確結(jié)果？正確的解題方法和解題依據(jù)又是什么？上述解題方法能不能經(jīng)過(guò)修改成為正確的解答？

4 解決疑惑，突出重圍

圖3

首先可直接排除選擇(4)解決本題的可能，而要確定是依據(jù)(1)、(2)、(3)中的哪一個(gè)不妨研究一下這三個(gè)定理或事實(shí)的使用前提條件：對(duì)于(1)使用的前提是有兩定點(diǎn)存在，那么這兩定點(diǎn)之間的距離最小值，即是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度；而對(duì)于(2)當(dāng)直線外一點(diǎn)為定點(diǎn)，直線為定直線(定位置)才能利用此定理；對(duì)于(3)只有滿足兩線段長(zhǎng)度固定，且第三條線段與前兩條線段恰好構(gòu)成三角形時(shí)才能使用，而構(gòu)成的三角形兩邊長(zhǎng)度固定所有情況恰好也是三角形有兩個(gè)頂點(diǎn)的位置是固定的，第三點(diǎn)繞其中一個(gè)頂點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)如下圖3.上述解法中只確定了O是定點(diǎn)就選擇了依據(jù)(2)解決問(wèn)題，是邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?至于會(huì)得到正確答案，是因?yàn)榇朔m不能證明此時(shí)OC最短，但卻是OC最短時(shí)的精準(zhǔn)圖形，這一點(diǎn)從通過(guò)其它方法解答的過(guò)程中得到驗(yàn)證.因此只要在原解法上補(bǔ)充證明，就可以獲得本題一種完整的解法，經(jīng)過(guò)上述討論還可確定在補(bǔ)充證明的過(guò)程中無(wú)論是選擇那一條依據(jù)(除(4)外)，都要研究C點(diǎn)的位置.

5 完善解答 終得正果

圖4

6 借題發(fā)揮 一題一課

在上述完整的解法中，所利用的定理，方法雖都是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，但是由于本題的邏輯密度較大，轉(zhuǎn)折性強(qiáng)，“蘋果”位置太高，學(xué)生跳一跳夠不著或者夠著吃力，亦會(huì)體現(xiàn)不出題目的價(jià)值和功能，那么學(xué)生產(chǎn)生解題畏難情緒也是可以理解的.為讓題目貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，經(jīng)過(guò)我區(qū)數(shù)學(xué)老師的進(jìn)一步商討，本題還可以有兩種改編方案，初步形成一個(gè)有效的一題一課的微專題：

6.1 引導(dǎo)學(xué)生利用手拉手旋轉(zhuǎn)相似解決本題，要把旋轉(zhuǎn)的路鋪好，在原題中加入利用旋轉(zhuǎn)相似解題時(shí)所用得到的三角形，便于解題思路的自然生產(chǎn)，于是題目變?yōu)椋?/p>

(1)求D、C之間的距離；

(2)求OC的最小值.

圖5

圖6

(2)求線段DF的最小值；

(3)求F點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng).

圖7

7 反思解題 改善教學(xué)

高效課堂常見于課堂容量大，教師分析、講解高位切入、云端行走，把學(xué)生的質(zhì)疑、分析、修改、反思寄希望于課下或者同一節(jié)課輾轉(zhuǎn)題目之間時(shí)的時(shí)間縫隙，這樣的做法恰恰忽視了數(shù)學(xué)“邏輯關(guān)聯(lián)、前后一致”的本質(zhì).久而久之，學(xué)生的深層次的邏輯思維能力、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性沒有培養(yǎng)起來(lái)，解題總是停留在刻意模仿的階段(形式運(yùn)算階段)，與“培養(yǎng)學(xué)生走上社會(huì)所需要的各種能力”的數(shù)學(xué)教育理念大相徑庭.通過(guò)研究以上變式題目，使筆者深深體會(huì)到欲通過(guò)一道“孤立”的難題培養(yǎng)學(xué)生的各方面的能力不可小覷，教師的引導(dǎo)要腳踏實(shí)地，一步一個(gè)腳印，幫助學(xué)生按照知識(shí)源、方法論與解題需求關(guān)聯(lián)性的遠(yuǎn)近程度排列并串聯(lián)起來(lái)，方是題目解法的自然生成，也能夠體現(xiàn)題目在培育人的邏輯思維完善性、嚴(yán)謹(jǐn)性等方面的重要價(jià)值.此外，教學(xué)時(shí)可詳盡剖析各知識(shí)源的異同點(diǎn)和使用條件、特征與范圍，以提高學(xué)生的辨析與應(yīng)用能力[1].

總之，尊重教學(xué)規(guī)律、尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、尊重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，步步為營(yíng)、環(huán)環(huán)相扣才能夠釋放出解題的精彩，流露出切實(shí)的學(xué)生本位，讓學(xué)生獲得對(duì)于他生命成長(zhǎng)有意義的東西.

1 劉華為.從教“怎樣做”到教“怎樣想”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2016(6):26-28

2017-04-13)