江蘇省無(wú)錫市太湖格致中學(xué) (郵編：214125)江蘇省無(wú)錫市水秀中學(xué) (郵編：214125)

拉長(zhǎng)知識(shí)探究過(guò)程 注重?cái)?shù)學(xué)思維感悟

江蘇省無(wú)錫市太湖格致中學(xué)陳鋒(郵編：214125)江蘇省無(wú)錫市水秀中學(xué)張杭嫣(郵編：214125)

1 問(wèn)題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的主要變化是從“雙基”到“四基”，突出了對(duì)數(shù)學(xué)“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的相關(guān)要求.這就要求我們教師在課堂教學(xué)中要放慢教學(xué)節(jié)奏，舍得花時(shí)間讓學(xué)生體驗(yàn)探究知識(shí)的形成過(guò)程；讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，逐步積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想、形成思維能力．下面，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，來(lái)談一點(diǎn)自己對(duì)通過(guò)拉長(zhǎng)知識(shí)探究過(guò)程促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的體會(huì)．

2 基于拉長(zhǎng)知識(shí)探究過(guò)程的操作策略

2.1 概念、定義的探究——放慢節(jié)奏，感悟本質(zhì)屬性

李邦河院士的“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念的”，說(shuō)明概念對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性.在概念教學(xué)中，有部分教師只是簡(jiǎn)單直接地將有些概念、定義告知學(xué)生的，讓學(xué)生強(qiáng)化記憶，然后就可以配合大量的課堂練習(xí)來(lái)達(dá)到鞏固的效果，這樣做僅僅是對(duì)概念的表層記憶，可能對(duì)學(xué)生短期記憶有效，但真的經(jīng)得起時(shí)間的檢驗(yàn)嗎？學(xué)生能從本質(zhì)上真正的理解這個(gè)定義嗎？答案是不言而喻的．

案例1反比例函數(shù)的概念探究：

一輛汽車從南京開(kāi)往上海，表示出下面式子中的數(shù)量關(guān)系.

(1)若汽車行使速度為60千米/時(shí)，汽車行使的路程S隨時(shí)間t的變化而變化；

(2)若汽車先按(1)的速度行使了50千米，再按80千米/時(shí)繼續(xù)行使，汽車行使的路程S隨時(shí)間t的變化而變化；

(3)南京到上海的路程為300千米，時(shí)間t隨速度v的變化而變化.

探究一時(shí)間t是速度v的函數(shù)嗎?

對(duì)比函數(shù)定義，你認(rèn)為時(shí)間t是速度v的函數(shù)嗎?答案是肯定的．

探究二時(shí)間t是速度v的一次函數(shù)嗎?答案顯然是否定的，那么時(shí)間t和速度v之間又會(huì)存在怎樣的函數(shù)關(guān)系呢?

你有什么辦法能更直觀地展示出時(shí)間t是如何隨著速度v的變化而變化的嗎?如果學(xué)生遇到困難，教師可引導(dǎo)函數(shù)的不同表示方法，找到表格的直觀工具．

速度v(千米/時(shí))…608090100120…時(shí)間t(小時(shí))…5154103352…

通過(guò)表格， 再次強(qiáng)化函數(shù)定義，明確時(shí)間t是速度v的函數(shù)．直觀感受速度增大，時(shí)間就減少的關(guān)系，體會(huì)與小學(xué)階段所學(xué)兩個(gè)量成反比這一知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系．

探究三你還能找到生活中那些量之間存在類似上題中時(shí)間t和速度v之間的函數(shù)關(guān)系呢?學(xué)生思考后舉例：

(1)面積為54的矩形的長(zhǎng)與寬；

(2)乘積為200的兩個(gè)數(shù)……

效能分析在上述反比例函數(shù)概念的探究中，教師沒(méi)有將學(xué)生當(dāng)作接受知識(shí)的容器，而是基于學(xué)生對(duì)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的理解.通過(guò)三個(gè)的自主探究過(guò)程，從學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的表層理解，到認(rèn)知沖突，再深入到了反比例函數(shù)本質(zhì)屬性的理解，可能這樣的概念探究比直接告知概念學(xué)生要多花幾分鐘時(shí)間．但是，這三個(gè)遞進(jìn)式的探究過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)反比例函數(shù)概念的感悟和理解的過(guò)程，做到“知其然，更知其所以然”，學(xué)生可以充分理解并揭示概念的本質(zhì)屬性，有利于學(xué)生的思維延伸和拓展．策略引申張文質(zhì)先生認(rèn)為“教育是慢的藝術(shù)”，我們必須在教學(xué)過(guò)程中，放慢定義的生成過(guò)程，放大知識(shí)的形成過(guò)程，加強(qiáng)新知識(shí)與已有知識(shí)的聯(lián)接與對(duì)比過(guò)程，注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想、操作、思考、歸納等體驗(yàn)性過(guò)程，并及時(shí)對(duì)方法、結(jié)論進(jìn)行總結(jié)，就可以不斷激發(fā)學(xué)生思維的靈感.在思考中不斷提升已有的知識(shí)與結(jié)論，形成增長(zhǎng)點(diǎn)，從而自然引發(fā)新的定義與結(jié)論，并能逐步使學(xué)生積累思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)落到實(shí)處．

2.2 公式、法則的探究——放手拓展，提升學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)中的公式和法則是數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律性反映，它們都是思維的結(jié)果，是智慧的結(jié)晶，這一特征注定了它們只能以“靜態(tài)”的形式呈現(xiàn)在教材上.因此在公式教學(xué)時(shí)，教師的任務(wù)絕不僅僅是把“靜態(tài)”的結(jié)論告訴學(xué)生，而是要引導(dǎo)學(xué)生探究公式與法則的由來(lái)，弄清楚這個(gè)公式是怎么產(chǎn)生的，能用來(lái)解決哪些問(wèn)題，從而做到“舉一反三，融會(huì)貫通”．

案例2多邊形內(nèi)角和的公式探究

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和為180°，你知道四邊形的內(nèi)角和是多少嗎?你是如何得到的呢?

圖1

學(xué)生輕松地就能說(shuō)出四邊形內(nèi)角和360°，并回答：因?yàn)檎叫蚊總€(gè)角是90°，所以四邊形內(nèi)角和360°．在辨析過(guò)這個(gè)問(wèn)題后，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)思考，方法也不難得到：把四邊形轉(zhuǎn)化成三角形，如圖1充分體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)中化未知為已知的基本思想.但如果教師希望思維之花能繼續(xù)綻放出更絢爛的花朵，就可以繼續(xù)留足充分的時(shí)間給學(xué)生，他們將會(huì)回報(bào)你足夠多的精彩!

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

教師繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生：你還能找到其他證明四邊形內(nèi)角和360°的方法嗎?提醒學(xué)生：在自己的紙上畫(huà)一畫(huà)，試一試，15分鐘后，我們又得到了以下的七種證明方法．

圖2：連結(jié)BD并延長(zhǎng)至E，利用外角得∠ADE=∠ABD+∠A，∠CDE=∠CBD+∠C，故∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=∠ADE+∠CDE+∠ADC=360°．

圖3：在BC上取點(diǎn)E，連結(jié)AE、DE，由三角形內(nèi)角和180°可得∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=180°×3-180°=360°.

同理可得，當(dāng)點(diǎn)E取在四邊形內(nèi)和四邊形外時(shí)，就出現(xiàn)了圖4和圖5的情況．

圖6：過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，由平行的性質(zhì)可得∠AED=∠B，∠EDC+∠C=180°，故∠A+∠B+∠C+∠ADC=∠A+∠AED+∠C+∠EDC+∠ADE=180°+180°=360°．

圖7：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，故∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=540°-180°=360°．

圖8：同圖7，只是在分割的過(guò)程中多轉(zhuǎn)了幾個(gè)彎，并出現(xiàn)了特殊的直角三角形與矩形．

效能分析這一探究過(guò)程花費(fèi)了15分鐘的時(shí)間，在經(jīng)歷了上述八種多邊形內(nèi)角和的公式探究過(guò)程，學(xué)生充分地體會(huì)到了證明四邊形內(nèi)角和為360°的基本思路：把未知的四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為已知的三角形內(nèi)角和來(lái)完成求解過(guò)程．這15分鐘的探究正是學(xué)生能力提升所需要的理性思維的時(shí)間與空間，在這15分鐘中，學(xué)生在圖1的基礎(chǔ)上，繼續(xù)深度思考，思維得以碰撞，火花得以靈現(xiàn)，最后有了這8種探究的成果，你還怕他們不會(huì)完成多邊形的內(nèi)角和的課題探究嗎？你還愁他們?cè)谝院蟮膸缀螌W(xué)習(xí)過(guò)程中不能勇于探索嗎？因此，放手讓學(xué)生參與才是硬道理．有效課堂，并不在于課堂上到底講了多少道題目，而在于學(xué)生究竟得到了多大的發(fā)展．只有放手學(xué)生參與，學(xué)生的思維才會(huì)真正盡情綻放，學(xué)生的能力才能真正大放異彩．策略引申美國(guó)華盛頓國(guó)立圖書(shū)館的墻壁上寫(xiě)著：我聽(tīng)見(jiàn)了，但可能忘掉；我看見(jiàn)了，就可能記??；我做過(guò)了，便真正理解了．由此可見(jiàn)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)操作是多么重要！學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的氛圍中主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，在“做”的過(guò)程中積極思考問(wèn)題，引發(fā)直觀猜想，并激發(fā)學(xué)生探究的欲望，學(xué)生探究的空間被無(wú)限放大．從而在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程提升動(dòng)手能力、思維能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等各方面的能力．這樣的教學(xué)，更有利于學(xué)生主動(dòng)地掌握知識(shí)和形成能力．

2.3 定理、命題的探究——聯(lián)系前后，培養(yǎng)思維能力

定理是幾何基礎(chǔ)知識(shí)重要的組成部分．定理或結(jié)論的得出是有根有據(jù)的，其推出一般都遵循著從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律．因此，定理教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)就是定理的推出與證明，而推理證明也恰是鍛煉、培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的一條重要途徑．在定理的探究過(guò)程中不僅僅是要使學(xué)生記住定理，更會(huì)用定理去解題，還應(yīng)通過(guò)啟迪和引導(dǎo)，使學(xué)生參與到定理的形成過(guò)程中去.

案例3三角形相似的判定定理探究

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了(1)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似，你猜測(cè)還會(huì)有什么判定方法呢?

類比相似三角形與全等三角形的關(guān)系，學(xué)生能很自然地猜想到：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．

探究一這個(gè)結(jié)論正確嗎?

在教師適當(dāng)?shù)膯l(fā)與前面相似三角形已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的組合作用下學(xué)生會(huì)自然想到在已知和求證架起一座橋梁——構(gòu)造△DMN與△ABC全等，與△DEF相似，從而自然解決問(wèn)題．

效能分析在這一定理的探究過(guò)程中，教師采用了“從特殊到一般”的教學(xué)方法.基于學(xué)生已知的全等三角形的判定定理，先引導(dǎo)學(xué)生探究相似三角形與全等三角形的關(guān)系，再探究出相似三角形的判定定理.在操作與探究中通過(guò)合情推理先直觀地猜測(cè)結(jié)論，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高要求，如何進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理最終形成定理結(jié)論呢？此時(shí)，前面兩節(jié)課中已經(jīng)遇到的“構(gòu)造法”在教師適當(dāng)?shù)膯l(fā)下進(jìn)入學(xué)生的視線，輕松突破難點(diǎn)．這樣的探究設(shè)計(jì)合乎學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維發(fā)展規(guī)律的教學(xué)流程，按學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的形成與發(fā)展的過(guò)程，從而使學(xué)生思維能力得到有效的培養(yǎng)和發(fā)展．策略引申《課標(biāo)(2011年版)》明確指出：“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程．”從中可以看出，有效教學(xué)，必須把教師的教落實(shí)到學(xué)生的學(xué)上去．課堂，如果學(xué)生不積極參與，最后又怎談得上學(xué)習(xí)效果的提升呢？所以，教師的所有教學(xué)行為，在最后都反映在學(xué)生的學(xué)習(xí)成果上．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．初中數(shù)學(xué)定理的教學(xué)，尤其是初始階段，即使是學(xué)生很熟悉的簡(jiǎn)單定理的教學(xué)，也不能不重視定理的形成過(guò)程，要遵循特殊到一般，具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的形成與發(fā)展的過(guò)程的目的．3對(duì)拉長(zhǎng)知識(shí)探究過(guò)程的操作思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，常常是看似很深?yuàn)W的知識(shí)，通過(guò)努力構(gòu)思前后教學(xué)活動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)知識(shí)體系上的前后一致，研究方法上的“基本套路”的延續(xù)強(qiáng)化，就可以化難為易；同時(shí)也會(huì)有些看似很淺顯易懂的內(nèi)容，只有深入到的“其內(nèi)部”，努力使隱性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)顯性化，將探究中所獲得的經(jīng)驗(yàn)外顯為可觀察、可總結(jié)、可檢測(cè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，才能發(fā)現(xiàn)其中別有洞天．無(wú)論是化難為易還是深入淺出，只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷這些“驚心動(dòng)魄”的過(guò)程，這才是有效的．在探索的過(guò)程中學(xué)生認(rèn)真體會(huì)著數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸、建模等基本思想，也努力感悟著猜想、試驗(yàn)、探索、歸納等重要的數(shù)學(xué)方法，當(dāng)這些思想與方法在我們的課堂上慢慢積累，在問(wèn)題解決的過(guò)程中徐徐推進(jìn)時(shí)，他們從最初的朦朧狀態(tài)走向明朗，再到自覺(jué)運(yùn)用，這既是學(xué)習(xí)的過(guò)程，也是經(jīng)驗(yàn)的積累．久而久之，學(xué)生學(xué)會(huì)了自覺(jué)地積累經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)敢想敢問(wèn)從而具備勇于創(chuàng)新的精神，真正做到理解和掌握知識(shí)技能，體會(huì)和運(yùn)用思想方法，積累和沉淀學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、形成和發(fā)展個(gè)性能力，變“學(xué)會(huì)”為“會(huì)學(xué)”！

數(shù)學(xué)課堂是數(shù)學(xué)思維靈動(dòng)的課堂，而只有注重探究式教學(xué)，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的海洋中盡情享受．在概念、命題等數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，只有拉長(zhǎng)探究過(guò)程，通過(guò)數(shù)學(xué)思想、方法的滲透去“浸潤(rùn)”數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生才能真正理解，也只有關(guān)注概念等知識(shí)的形成過(guò)程并注重方法與思想的總結(jié)與提升，才能讓學(xué)生真正感悟博大精深的數(shù)學(xué)思想．讓我們靜心沉浸于每節(jié)課上探究的量變，耐心等待時(shí)間、經(jīng)驗(yàn)累積帶來(lái)的質(zhì)變，讓我們一起靜待花開(kāi)的聲音吧！

2017-04-05)