雷一霄

【摘要】平面向量在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要作用，它廣泛用于平面幾何、圓錐曲線的求解中.掌握平面向量的數(shù)量積對(duì)于中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以起到舉一反三和觸類旁通的效果.但是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些問題，這些問題如果不注意就會(huì)影響對(duì)平面向量數(shù)量積的全面掌握.為更好地學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積問題，筆者通過總結(jié)實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐，對(duì)平面向量數(shù)量積學(xué)習(xí)中可能會(huì)遇到的問題以及問題的解決方法做了總結(jié)歸納，以期幫助我們更好地掌握平面向量的數(shù)量積的知識(shí)點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；平面向量；平面向量數(shù)量積

由于平面向量在數(shù)學(xué)和生活中應(yīng)用很廣，因此，平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)對(duì)于我們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的其他知識(shí)也具有幫助意義，尤其是對(duì)于數(shù)學(xué)中立體幾何的學(xué)習(xí)尤為重要.我們必須要認(rèn)真學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積，注意總結(jié)學(xué)習(xí)中的常見問題，不斷提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用能力.

一、高中數(shù)學(xué)中的平面向量數(shù)量積

向量，既可以表示數(shù)量，也可以表示方向，它在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中可以用坐標(biāo)來(lái)表示，向量之間可以加可以減，而其數(shù)乘就是平面向量的數(shù)量積.平面向量所具有的這些特點(diǎn)，使得它在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.向量的數(shù)量積幾乎可以解決幾何中所有度量問題，如，長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直等[1].在高中，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)、立體幾何、算法統(tǒng)計(jì)以及平面向量、三角函數(shù)等等.其中立體幾何的學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)中的地位非常重要，在數(shù)學(xué)考試中通常占有很高的比重.然而，在學(xué)習(xí)平面向量之前，我們常常覺得立體幾何特別煩瑣，有時(shí)候拿到一個(gè)立體幾何的數(shù)學(xué)題后，往往無(wú)從下手經(jīng)常要思考半天才能找到解題的切口.雖然在此過程中，我們的思維得到了鍛煉，但是高中生由于面臨高考，時(shí)間緊，任務(wù)重，不可能花太多的時(shí)間在某一個(gè)數(shù)學(xué)題目上.因此，在找不到解題入口的情況下，許多學(xué)生可能會(huì)放棄，或者遇到這類題目之后，連想都不想，直接去問其他學(xué)生如何解答，這對(duì)于高中生的學(xué)習(xí)實(shí)際會(huì)起到一種反作用，久而久之就會(huì)使得一些學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭倦或畏難情緒.我在學(xué)習(xí)中最深的體會(huì)就是，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)建立信心的過程，如果我們不能不斷攻堅(jiān)克難解決數(shù)學(xué)難題，那么就會(huì)漸漸失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心.因此，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如何破解立體幾何的難題對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)以及建立學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的自信心非常重要.平面向量就是高中生解決立體幾何難題的一個(gè)非常好的方法，因?yàn)樗梢员硎緮?shù)量和方向，因此，可以通過平面向量來(lái)求立體幾何問題.學(xué)習(xí)平面向量使得我們對(duì)于其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)更加輕松容易.而當(dāng)用平面向量來(lái)解決數(shù)學(xué)中的難題時(shí)，可能會(huì)用到平面向量數(shù)量積這一概念，即兩個(gè)向量的乘積.因此，學(xué)好平面向量數(shù)量積非常重要，它對(duì)于高中生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有與平面向量同等重要的作用.

平面向量數(shù)量積，在高中數(shù)學(xué)教材中的定義為兩個(gè)向量的乘積，它是兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量之間的夾角余弦的乘積，這一定義還可以轉(zhuǎn)化為某一向量的模與另一向量在此向量方向上的投影的乘積.平面向量數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，而不是向量.

二、平面向量數(shù)量積學(xué)習(xí)中的常見問題

平面向量數(shù)量積在數(shù)學(xué)中具有重要的作用，其廣泛應(yīng)用的情況我們都已知道.數(shù)量積表示的是一個(gè)數(shù)，而不是向量.然而，在我們具體學(xué)習(xí)數(shù)量積的時(shí)候，由于對(duì)平面向量的數(shù)量積的定義的認(rèn)識(shí)不夠深刻，不夠全面，導(dǎo)致我們?cè)诰唧w理解數(shù)量積問題，以及用平面向量數(shù)量積來(lái)解決其他問題時(shí)會(huì)存在誤用、用不好、學(xué)不好的問題.通過我對(duì)自身學(xué)習(xí)的總結(jié)以及對(duì)周圍同學(xué)學(xué)習(xí)狀況的觀察，在具體學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積問題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)以下幾個(gè)常見問題.具體來(lái)說(shuō)：

（一）平面向量與平面向量數(shù)量積

在學(xué)習(xí)中，我發(fā)現(xiàn)，經(jīng)常有的學(xué)生在數(shù)量積的概念認(rèn)識(shí)上存在誤區(qū)，沒有全面理解數(shù)量積到底表示什么，其有何意義，沒有深入去挖掘定義中的內(nèi)涵，而導(dǎo)致在具體解題過程中，經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤.根據(jù)高中數(shù)學(xué)教材，平面向量數(shù)量積，如果針對(duì)向量a與向量b來(lái)表示的話，則是向量a的模與向量b的模相乘之后，再乘上兩個(gè)向量之間的夾角的余弦值.因此，數(shù)數(shù)相乘之后必然仍是數(shù)，然而許多學(xué)生停留于向量層面，將平面向量的數(shù)量積與平面向量混同，認(rèn)為平面向量表示向量，有大小，也有方向，那么，平面向量的數(shù)量積，作為兩個(gè)向量的乘積，也應(yīng)該是向量，也應(yīng)該有大小和方向.殊不知兩個(gè)向量之間的數(shù)乘與向量之間的相加、相減不同，它是兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量之間的夾角的余弦值相乘，數(shù)與數(shù)之間的相乘必然得到的是數(shù)，所以，也才叫數(shù)量積，而不是叫向量.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將平面向量數(shù)量積與平面向量弄混的結(jié)果就是無(wú)法正確解題，無(wú)法正確應(yīng)用，阻礙高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，產(chǎn)生排斥心理.

（二）平面向量的夾角

從平面向量數(shù)量積的公式中可以看出，向量a與向量b相乘時(shí)，不僅需要a與b的模相乘，還需要乘以向量a與向量b之間夾角的余弦值.因此，如何確定向量a與向量b之間的夾角對(duì)于計(jì)算兩個(gè)向量之間乘積具有關(guān)鍵性意義.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生在計(jì)算平面向量的數(shù)量積時(shí)，由于對(duì)于向量a與向量b之間夾角的認(rèn)識(shí)存在誤區(qū)而導(dǎo)致最終的計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.許多學(xué)生在確定向量a與向量b之間的夾角時(shí)，忽視了向量是有方向之分的，一個(gè)向量的起始點(diǎn)，要通過其方向來(lái)確定，同樣，一個(gè)向量與另一個(gè)向量之間的夾角的確定也需要考慮到向量之間的方向，不同的向量與其他向量所形成的夾角是不同的.所以，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)，由于沒有注意到向量的方向，而錯(cuò)誤地把向量的起點(diǎn)，作為向量的終點(diǎn)，導(dǎo)致兩個(gè)向量之間的夾角確定錯(cuò)誤，實(shí)際確定的夾角，是原來(lái)夾角的補(bǔ)角，所以，其結(jié)果必然是錯(cuò)誤的.更有甚者，有的學(xué)生，不知道最起碼的平面向量數(shù)量積的知識(shí)點(diǎn)，忽視了兩個(gè)向量之間的夾角的范圍是在0～180度之間，導(dǎo)致在解題中無(wú)法正確確定夾角.

（三）平面向量數(shù)量積的正負(fù)

平面向量數(shù)量積作為兩個(gè)向量的模與其夾角的余弦值的乘積是有正負(fù)之分的.因?yàn)?，向量a與向量b之間的夾角可以大于90度，這就意味著，兩個(gè)向量之間夾角的余弦值可以為負(fù)值，因此，兩個(gè)向量之間的模與負(fù)的余弦值的乘積必然是負(fù)值.在學(xué)習(xí)中，我總結(jié)了兩點(diǎn)學(xué)生出錯(cuò)的情況：一方面，不理解為什么兩個(gè)向量之間的乘積可以為負(fù)值導(dǎo)致在具體解題過程中出現(xiàn)困惑，產(chǎn)生迷茫，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生誤區(qū).另一方面，有些學(xué)生不能熟練掌握三角函數(shù)的基本知識(shí)，導(dǎo)致雖然可能正確確定了兩個(gè)向量之間的夾角，但是，卻將兩個(gè)向量之間夾角的余弦值計(jì)算錯(cuò)了，最終使得平面向量數(shù)量積計(jì)算錯(cuò)誤.

（四）平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

平面向量數(shù)量積在數(shù)學(xué)中具有重要作用，它可用來(lái)解答相關(guān)的三角、垂直、夾角、最值、不等式等數(shù)學(xué)問題[2].然而，在學(xué)習(xí)中，卻經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生不能觸類旁通，學(xué)習(xí)的遷移能力差，不知道用平面向量數(shù)量積來(lái)解決其他的數(shù)學(xué)問題，而將思維局限于平面向量方面的應(yīng)用.如，高中數(shù)學(xué)中的立體幾何具有一題多解的特點(diǎn)，經(jīng)?？梢蕴隽Ⅲw幾何的解題思路，運(yùn)用平面向量和平面向量數(shù)量積來(lái)解題.然而，許多學(xué)生的思維太局限，不能實(shí)現(xiàn)一題多解，經(jīng)常被某一知識(shí)點(diǎn)的解題思路所束縛，缺少應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，而這對(duì)于高中生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是極其不利的.

三、平面向量數(shù)量積學(xué)習(xí)中的常見問題及解決方法

當(dāng)前，高中生在對(duì)于平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)中常常存在著以下問題：對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)不夠到位，概念理解不夠透徹，對(duì)于平面向量數(shù)量積的夾角的判斷存在問題，對(duì)于數(shù)量積的正負(fù)認(rèn)識(shí)不到位，而且即使完全掌握了還缺乏應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力.為此，我總結(jié)出了以下幾個(gè)解決方法.

首先，針對(duì)許多學(xué)生將平面向量與平面向量的數(shù)量積弄混的問題，這就要求我們學(xué)生要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)中基本概念與定義的理解.當(dāng)前，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)存在誤區(qū)，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是做題，就是多練習(xí)，沒有別的學(xué)習(xí)方法，這忽視了一個(gè)重要的問題，做題是為了什么而做？做題的目的何在？做題的目的在于理解知識(shí)點(diǎn)、運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)、理解透數(shù)學(xué)中的基本原理.因此，不要將數(shù)學(xué)看作做題，要擯棄這種簡(jiǎn)單的思維，要認(rèn)識(shí)到一切的做題都是建立在概念的理解的基礎(chǔ)上的，是對(duì)數(shù)學(xué)中基本概念與定義的應(yīng)用.對(duì)于平面向量數(shù)量積的定義的理解要注意：平面向量數(shù)量積是數(shù)不是向量，兩個(gè)向量之間的相乘，實(shí)際是他們的模與夾角余弦值的相乘，因此，其乘積必然是數(shù)量.只有正確認(rèn)識(shí)平面向量之間的乘積，才能正確解題與運(yùn)用.

其次，針對(duì)許多學(xué)生將向量之間的夾角確定錯(cuò)誤的問題，其解決方法是，不要被數(shù)學(xué)中的基本圖形所迷惑，將一個(gè)向量的起點(diǎn)當(dāng)作終點(diǎn)，看向量，首先要看向量的方向，在確定向量方向的基礎(chǔ)上，來(lái)確定夾角.因此，要特別注意向量的方向，通過每一個(gè)向量的方向來(lái)確定兩個(gè)向量之間的夾角，同時(shí)，還要注意的是，向量之間的夾角范圍是0-180度，沒有超過180度的夾角.通過利用向量具有方向的特點(diǎn)來(lái)確定夾角可以確保正確確定余弦值.

再次，針對(duì)平面向量數(shù)量積的正負(fù)問題，其解決方法是要熟練掌握三角函數(shù)，尤其是其中的余弦定律，從而，在正確確定兩個(gè)向量之間的夾角之后可以正確計(jì)算兩個(gè)向量之間的夾角余弦值，得出正確的平面向量數(shù)量積.

最后，針對(duì)許多學(xué)生缺乏應(yīng)用平面向量數(shù)量積的應(yīng)用意識(shí)問題，其解決方法是，要進(jìn)行有意識(shí)的訓(xùn)練與暗示.每當(dāng)我們用一種方法解決一個(gè)問題之后，要下意識(shí)地想一下，這個(gè)數(shù)學(xué)題，如果用平面向量來(lái)解，能不能解呢.通過有意識(shí)地使用，打破固化的解題思維，這對(duì)于我們學(xué)生的創(chuàng)新思維以及創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是極其重要的.

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)絕不意味著練習(xí)越多越好，更重要的是要講究方法與技巧，沿著正確的方向所做的努力才是有意義有效的努力.因此，我們無(wú)論是在學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積，還是在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)，都要秉持一個(gè)原則，以基本定義和原理為根，講究技巧地進(jìn)行練習(xí)，不講究技巧，只追求練習(xí)的數(shù)量，那只會(huì)導(dǎo)致更多次的跌倒，而從來(lái)沒有爬起來(lái)過.因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要吃透基本概念，然后多加練習(xí).同時(shí)，更為重要的是，要注意學(xué)習(xí)中的反思.通過經(jīng)常性的反思與總結(jié)，可以梳理自己錯(cuò)誤的原因、錯(cuò)誤的思維，并通過揣摩正確的思維，而在頭腦中建立正確的思考方式.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李鳳.利用向量數(shù)量積的性質(zhì)解題集錦[J].科技資訊，2013（25）：188-189.

[2]朱倍優(yōu).例談向量數(shù)量積在解題中的運(yùn)用[J].科技信息，2009（17）：169-170.