童第華吳學(xué)仁胡本潤(rùn)陳勃

(北京航空材料研究院，北京100095)

固體力學(xué)

半無(wú)限板邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)解法與評(píng)價(jià)1)

童第華吳學(xué)仁2)胡本潤(rùn)陳勃

(北京航空材料研究院，北京100095)

權(quán)函數(shù)法是求解裂紋體在任意受載條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋面位移等斷裂力學(xué)參量的高效、高精度方法，與有限元等數(shù)值方法相比,在求解效率和可靠性方面均具有明顯優(yōu)勢(shì).針對(duì)半無(wú)限板邊緣裂紋，系統(tǒng)分析了在國(guó)際斷裂力學(xué)界較有代表性的Wu-Carlsson、Glinka-Shen和Fett-Munz三種解析形式的權(quán)函數(shù)法，進(jìn)而以在遠(yuǎn)端均勻加載下的半無(wú)限板邊緣裂紋面位移Wigglesworth解析解導(dǎo)得的權(quán)函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)解(即裂紋面受一對(duì)單位集中力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子)為基準(zhǔn)，沿整個(gè)裂紋長(zhǎng)度對(duì)3種權(quán)函數(shù)的精度逐點(diǎn)進(jìn)行比較，并與文獻(xiàn)中基于其他方法求得的權(quán)函數(shù)做了廣泛對(duì)比，包括Bueckner,Hartranft-Sih以及Wigglesworth利用不同解析方法推導(dǎo)出的高精度的權(quán)函數(shù).研究了3種參考載荷(均布/正反向線性分布應(yīng)力、集中力)及其不同組合，以及裂紋嘴位移的幾何條件對(duì)權(quán)函數(shù)精度的影響.結(jié)果表明，基于一種參考載荷下的裂紋面張開位移比基于兩種參考載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子所得到的權(quán)函數(shù)具有更高的精度，而且后一種方法的精度明顯受到所選參考載荷組合的影響；裂紋面位移在裂紋嘴處三階導(dǎo)數(shù)等于零的條件對(duì)基于一個(gè)參考解的權(quán)函數(shù)精度的改進(jìn)效果較小.最后給出了利用各種權(quán)函數(shù)方法計(jì)算得到的4種載荷條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了比較.

半無(wú)限板,邊緣裂紋,權(quán)函數(shù)法,格林函數(shù),應(yīng)力強(qiáng)度因子

引言

承受各種載荷作用下的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子(K)計(jì)算是斷裂力學(xué)分析中的關(guān)鍵環(huán)節(jié).利用有限元法(FEM)或邊界元法(BEM)等數(shù)值方法計(jì)算各種載荷情況和不同長(zhǎng)度裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，則往往要付出大量時(shí)間，例如高梯度的應(yīng)力集中、熱應(yīng)力、殘余應(yīng)力和基于塑性誘發(fā)的裂紋閉合問題等.

權(quán)函數(shù)法[12]是一種求解裂紋在任意載荷條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋面位移等斷裂力學(xué)參量的高效、高精度方法.自Bueckner[1]和Rice[2]提出權(quán)函數(shù)法以來(lái)，許多學(xué)者對(duì)其作了深入的研究[313].權(quán)函數(shù)解法的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)在于，把影響裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋面位移的兩個(gè)因素(載荷和幾何)作了變量分離.權(quán)函數(shù)本身僅包含裂紋的幾何特征和載荷/位移邊界條件，而與載荷無(wú)關(guān).一經(jīng)確定，權(quán)函數(shù)就成為一個(gè)獨(dú)立于載荷而僅與裂紋幾何特性及邊界條件有關(guān)的函數(shù)，可用來(lái)不受限制地求解裂紋在任意載荷條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子.文獻(xiàn)[11-12]系統(tǒng)論述了權(quán)函數(shù)法，并用它求解了大量裂紋問題.

許多學(xué)者提出了確定權(quán)函數(shù)的不同方法.以半無(wú)限板邊緣裂紋為例，最具代表性的有3種：一是Wu-Carlsson[4]根據(jù)假設(shè)的裂紋面張開位移的級(jí)數(shù)展開式，利用裂紋尖端場(chǎng)的特點(diǎn)、自洽條件、裂紋嘴位移和裂紋面位移在裂紋嘴處二階導(dǎo)數(shù)為零的條件推導(dǎo)權(quán)函數(shù)；二是Glinka-Shen[8]根據(jù)假定的權(quán)函數(shù)表達(dá)式形式，利用兩種參考載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋面位移在裂紋嘴處二階導(dǎo)數(shù)為零的條件推導(dǎo)權(quán)函數(shù)系數(shù)；三是Fett-Munz[12]根據(jù)解析極限情況、一種參考應(yīng)力強(qiáng)度因子解和裂紋面位移在裂紋嘴處1～3階導(dǎo)數(shù)都等于零的條件推導(dǎo)權(quán)函數(shù).在工程實(shí)際應(yīng)用中，具體方法的選擇取決于確定權(quán)函數(shù)的復(fù)雜程度和計(jì)算精度.本文系統(tǒng)推導(dǎo)了半無(wú)限板邊緣裂紋的以上3種權(quán)函數(shù)，對(duì)計(jì)算精度進(jìn)行了深入分析.在此基礎(chǔ)上與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行了廣泛對(duì)比，包括Bueckner[14]、Hartranft-Sih[15]，以及Wigglesworth[16]利用解析手段推導(dǎo)出的高精度的權(quán)函數(shù).

Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法[11]只需要一種參考載荷情況的應(yīng)力強(qiáng)度因子解和裂紋嘴位移.而Glinka-Shen[8]提出的確定權(quán)函數(shù)的方法則需要兩種參考載荷情況的應(yīng)力強(qiáng)度因子解.裂紋面均布載荷是最簡(jiǎn)單的加載形式，一般將其選為第1種參考載荷，而關(guān)于第2種參考載荷選取對(duì)權(quán)函數(shù)精度的影響問題，文獻(xiàn)中鮮見報(bào)道.本文針對(duì)半無(wú)限板邊緣裂紋情況，選擇正向線性分布載荷和反向線性分布載荷作為第2種參考載荷，研究其選取對(duì)權(quán)函數(shù)精度的影響.此外還分析了裂紋面位移在裂紋嘴處三階導(dǎo)數(shù)等于零的條件對(duì)提高權(quán)函數(shù)精度的作用.

在上述研究的基礎(chǔ)上，選擇了4種相對(duì)復(fù)雜的加載形式(不同次數(shù)的冪函數(shù)加載和裂紋面受反向線性載荷作用)，利用以上3種權(quán)函數(shù)法求解其應(yīng)力強(qiáng)度因子，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了比較分析.

1 邊緣裂紋問題的各種權(quán)函數(shù)解法

根據(jù)權(quán)函數(shù)理論，應(yīng)力強(qiáng)度因子可以根據(jù)權(quán)函數(shù)m(a,x)和無(wú)裂紋情況下假想裂紋處的應(yīng)力分布σs(x)乘積的積分求得

式中,a和x分別是裂紋長(zhǎng)度和沿裂紋面的坐標(biāo)；Ks為載荷情況為s的應(yīng)力強(qiáng)度因子；σs(x)為載荷情況為s的假想裂紋處的應(yīng)力分布.式(1)的權(quán)函數(shù)m(a,x)可以表達(dá)為

利用式(2)的權(quán)函數(shù)求解K，首先需要確定不同裂紋幾何的裂紋面位移ur與裂紋長(zhǎng)度a和坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系，而ur很難用解析式表示.下面以半無(wú)限板邊緣裂紋為例(如圖1所示)，討論較有代表性的3種方法，即Wu-Carlsson[11]、Glinka-Shen[8]和Fett-Munz權(quán)函數(shù)法[6].

圖1 半無(wú)限板邊緣裂紋Fig.1 An edge crack in a semi-infinit plate

1.1 Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)

對(duì)于受多項(xiàng)式分布應(yīng)力作用下的邊緣裂紋，設(shè)裂紋面位移的級(jí)數(shù)展開形式為[11,13]

式中,下標(biāo)r代表參考載荷情況；多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開的最大項(xiàng)數(shù)J取決于可以利用的力學(xué)條件數(shù)量.對(duì)于本文討論的邊緣裂紋問題，所用的4個(gè)條件為：(1)裂紋尖端區(qū)的裂紋面位移和K的比例關(guān)系；(2)自洽條件；(3)裂紋面位移在裂紋嘴處的二階導(dǎo)數(shù)為零；(4)參考載荷作用下裂紋嘴處的位移.上述條件可表達(dá)為

條件1

條件2

式中

條件3

條件4

F1(a)～F4(a)的表達(dá)式為[11,13]

對(duì)于半無(wú)限板邊緣裂紋，選取裂紋面均布應(yīng)力做為參考載荷(如圖2(a)所示)，其無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子和無(wú)量綱裂紋嘴位移的精確解分別為fr=1.1215，Vr=2.9086，且n=0,S0=1,于是簡(jiǎn)化為Ej=2/(2 j+1).將它們代入式(10)，得到：F1=4.4860，F(xiàn)2=-0.7635，F(xiàn)3=0.3453，F(xiàn)4=0.0456.

圖2 半無(wú)限板邊緣裂紋受不同的載荷作用Fig.2 An edge in a semi-infinit plate subjected to various loading cases

圖2 半無(wú)限板邊緣裂紋受不同的載荷作用Fig.2 An edge in a sem i-infinit plate subjected to various loading cases

將F1～F4代入式(3)，得到半無(wú)限板邊緣裂紋的裂紋面位移表達(dá)式.基于此表達(dá)式和式(2)可以直接確定權(quán)函數(shù)，其結(jié)果可以表示為[11,13]

式中

1.2 Glinka-Shen權(quán)函數(shù)

Glinka-Shen[8]直接假設(shè)權(quán)函數(shù)的一般表達(dá)式為

Glinka-Shen[8]認(rèn)為，對(duì)于大部分裂紋幾何，式(13)一般取4項(xiàng)即可保證精度.在4項(xiàng)的權(quán)函數(shù)表達(dá)式中有3個(gè)待定參數(shù)M1,M2和M3.采用3種不同參考應(yīng)力強(qiáng)度因子或兩種不同參考應(yīng)力強(qiáng)度因子加上邊緣裂紋的裂紋面位移在裂紋嘴處二階導(dǎo)數(shù)為零來(lái)確定未知參數(shù)M1,M2和M3.對(duì)于大部分裂紋幾何，3種不同參考應(yīng)力強(qiáng)度因子的獲取難度要遠(yuǎn)大于第2種組合條件，因此大多選用第2種組合條件(見式(14)～式(17))來(lái)確定上述3個(gè)未知參數(shù).

條件1

式中,σr1為第一種參考載荷情況下假想裂紋處的應(yīng)力分布；Kr1為載荷σr1作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子.

條件2

式中,σr2為第二種參考載荷情況下假想裂紋處的應(yīng)力分布；Kr2為載荷σr2作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子.

條件3

由于裂紋面位移u(x,a)和權(quán)函數(shù)m(a,x)存在式(2)的關(guān)系，因此條件3也可寫為

對(duì)于半無(wú)限板邊緣裂紋，Glinka-Shen[8]選取的第一種參考載荷情況為裂紋面受均布載荷作用(如圖2(a)所示)，第2種參考載荷情況為裂紋嘴受集中力作用(如圖2(b)所示，x=0)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子分別為

將式(18)和式(19)代入式(14)、式(15)和式(17)可以求得式(13)權(quán)函數(shù)系數(shù)：M1=-0.85154,M2=3.00000和M3=-1.31422.

1.3 Fett-M unz權(quán)函數(shù)

Fett-Munz[12]假定權(quán)函數(shù)的一般表達(dá)式為

利用以下5個(gè)條件確定半無(wú)限板邊緣裂紋權(quán)函數(shù)的系數(shù)D0～D5.分別為解析極限情況、一種參考應(yīng)力強(qiáng)度因子解和邊緣裂紋的裂紋面位移在裂紋嘴處一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)都等于零的條件(見式(16)和式(17)的關(guān)系)，上述5個(gè)條件表示為

條件1

條件2

條件3～條件5

根據(jù)上述5個(gè)條件，確定了半無(wú)限板邊緣裂紋權(quán)函數(shù)的系數(shù)[12]D0～D5：D0=0.58852,D1=0.031854,D2=0.463397,D3=0.227211,D4=-0.828528,D5=0.351383.

1.4 權(quán)函數(shù)精度評(píng)價(jià)——格林函數(shù)法

由以上所確定的權(quán)函數(shù)計(jì)算給定應(yīng)力分布下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并與已知的高精度應(yīng)力強(qiáng)度因子解對(duì)比，是評(píng)估權(quán)函數(shù)準(zhǔn)確性的一種常用方式.但這種方式實(shí)際上并不能準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)權(quán)函數(shù)精度,因?yàn)橛蓹?quán)函數(shù)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，需要對(duì)權(quán)函數(shù)與無(wú)裂紋體假想裂紋面應(yīng)力分布的乘積沿整個(gè)裂紋面做積分.由于積分具有平均效應(yīng)，所以由積分計(jì)算得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并不能真實(shí)體現(xiàn)權(quán)函數(shù)本身的準(zhǔn)確性.一般而言，當(dāng)應(yīng)力分布不發(fā)生符號(hào)改變時(shí)，由于平均效應(yīng)，應(yīng)力強(qiáng)度因子的結(jié)果誤差將小于權(quán)函數(shù)的最大誤差，而當(dāng)應(yīng)力分布沿裂紋面有劇烈變化，甚至多次改變應(yīng)力方向時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子的結(jié)果誤差可能會(huì)顯著地大于權(quán)函數(shù)最大誤差，有些情況甚至?xí)袛?shù)量級(jí)的差別.所以，評(píng)價(jià)權(quán)函數(shù)本身精度的最佳方法是對(duì)權(quán)函數(shù)沿裂紋面逐點(diǎn)進(jìn)行比較[11]，即比較格林函數(shù).這種比較方式不會(huì)引入任何誤差.

格林函數(shù)G(a,x)又被稱為影響函數(shù)，它代表裂紋面在任意位置x受一對(duì)單位集中力作用時(shí)(圖2(b))的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子(式(24)).格林函數(shù)與裂紋面受一對(duì)單位集中力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子是逐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的，與權(quán)函數(shù)m(a,x)的關(guān)系見式(25).本文采用格林函數(shù)評(píng)價(jià)各種權(quán)函數(shù)法結(jié)果的準(zhǔn)確性.

2 半無(wú)限板邊緣裂紋格林函數(shù)解

除上述3種最為常見的權(quán)函數(shù)解法外，其他學(xué)者也用不同的方法給出了半無(wú)限板邊緣裂紋的格林函數(shù)解，例如Bueckner[14](見式(26))和Hartranft-Sih[15](見式(27))(Tada手冊(cè)[17]中采用的格林函數(shù)公式).為了對(duì)比上述5種半無(wú)限板邊緣裂紋格林函數(shù)解的精度，以Wigglesworth[16]的半無(wú)限板邊緣裂紋在遠(yuǎn)端均勻加載下的高精度裂紋面位移解析表達(dá)式推導(dǎo)出的格林函數(shù)解做為基礎(chǔ)(見式(28))進(jìn)行比較，結(jié)果見圖3.

式中

式(29)中,C0～C12分別為

圖3表明，以Wigglesworth格林函數(shù)[16]為基準(zhǔn)，各種格林函數(shù)最大相對(duì)差別分別如下：Bueckner[14]為1.57%,Wu-Carlsson[11]為0.56%,Fett-Munz[12]為0.23%,Hartranft-Sih[15]為0.78%,Glinka-Shen[8]為8.21%.

圖3 半無(wú)限板邊緣裂紋不同權(quán)函數(shù)方法求得的格林函數(shù)Fig.3 Green’s functions foran edge crack in a sem i-infinit plate derived from di ff erentweight functionmethods

3 參考載荷的選取對(duì)G linka-Shen權(quán)函數(shù)法和Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法的影響

Glinka-Shen的通用權(quán)函數(shù)法[8]需要兩種參考載荷情況的應(yīng)力強(qiáng)度因子解作為已知條件來(lái)推導(dǎo)權(quán)函數(shù)，而Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法[11]只需要一種參考載荷情況的應(yīng)力強(qiáng)度因子解和裂紋嘴位移.裂紋面受均布應(yīng)力作用(如圖2(a)所示)作為最簡(jiǎn)單的載荷情況被Glinka-Shen[8]和Wu-Carlsson[11]選用為一種參考載荷情況.Glinka-Shen[8]選用的另一種載荷情況是裂紋嘴受集中力作用(如圖2(b)所示，x=0).為了考察文獻(xiàn)[8]的方法中參考載荷的選取對(duì)權(quán)函數(shù)精度的影響，本文選取以下3種參考載荷情況的組合來(lái)分析參考載荷的選取對(duì)權(quán)函數(shù)精度的影響，分別為：(1)裂紋面受均布應(yīng)力作用和裂紋嘴受集中力作用(見1.2節(jié))；(2)裂紋面受均布應(yīng)力和正向線性變化的載荷(如圖2(a)和圖2(c)所示)；(3)裂紋面受均布應(yīng)力和反向線性變化的載荷(如圖2(a)和圖2(d)所示).對(duì)于Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法[11]，分別選取了裂紋面受均布應(yīng)力(如圖2(a)所示)、正向線性變化(如圖2(c)所示)和反向線性變化(如圖2(d)所示)作為參考載荷情況.

對(duì)于裂紋面受正向線性變化載荷(如圖2(c)所示)，其應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴位移[17]為

對(duì)于裂紋面受反向線性變化載荷(如圖2(d)所示)，其應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴位移[17]為

基于Glinka-Shen權(quán)函數(shù)法[8]，將式(18)和式(30)代入式(14)和式(15)中，求得參考載荷為均布載荷和正向線性變化載荷情況下權(quán)函數(shù)式(13)的系數(shù)為M1=-0.67923,M2=3.0000和M3=-1.65885.將式(18)和式(32)代入式(14)和式(15)中，可以求出參考載荷為均布載荷和反向線性變化載荷情況下權(quán)函數(shù)式(13)系數(shù)為M1=-0.67924,M2=3.0000和M3=-1.65874,其相應(yīng)的格林函數(shù)如圖4(a)所示.1.2節(jié)中參考載荷為均布載荷和裂紋嘴集中力情況下的格林函數(shù)也在圖4(a)中給出(M1=-0.85154,M2=3.00000和M3=-1.31422).

圖4 選取不同的參考載荷對(duì)Glinka-Shen格林函數(shù)解的影響Fig.4 The influenc of di ff erent reference loading caseson Glinka-Shen Green’s functions

基于Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法[11]，將式(30)和式(31)代入式(10)和式(12)中，可以求出參考解為正向線性變化載荷情況下式(11)的系數(shù)β1～β5分別為2.0000，0.7914，2.1704，-1.6836和0.3867.將式(32)和式(33)代入式(10)和式(12)中，可以求出參考解為反向線性變化載荷情況下式(11)的系數(shù)β1～β5分別為2.0000，1.4864，-0.9096，2.0061和-0.9107，其相應(yīng)的格林函數(shù)如圖5(a)所示.1.1節(jié)中參考載荷為均布載荷情況下的格林函數(shù)也在圖5(a)中給出.

圖4表明，Glinka-Shen格林函數(shù)(基于均布載荷和正向線性變化載荷)和Glinka-Shen格林函數(shù)(基于均布載荷和反向線性變化載荷)基本一致,相對(duì)差別在0.01%以內(nèi)；而均布載荷和裂紋嘴集中力進(jìn)行組合得到的格林函數(shù)與均布載荷和正向線性變化進(jìn)行組合得到的格林函數(shù)之間最大差別則為10.1%.圖5表明，基于Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法，正向線性變化載荷作為參考解得到的格林函數(shù)與均布載荷情況下得到的格林函數(shù)之間最大差別為1.76%；反向線性變化載荷作為參考解得到的格林函數(shù)與均布載荷情況下得到的格林函數(shù)之間最大差別為1.31%.這說明Glinka-Shen利用兩個(gè)參考解以及u′′=0的條件得到的格林函數(shù)精度明顯受到所選參考載荷的影響，而不同參考載荷對(duì)Wu-Carlsson格林函數(shù)的影響則很小.

圖5 選取不同的參考載荷對(duì)Wu-Carlsson格林函數(shù)解的影響Fig.5 The influenc of di ff erent reference loading caseonWu-Carlsson Green’s functions

4 條件u′′′=0對(duì)Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)精度的影響

圖6 考慮和不考慮三階導(dǎo)數(shù)等于零條件對(duì)Wu-Carlsson格林函數(shù)解的影響Fig.6 The influenc ofw ithoutand w ith u′′′=0 condition on Wu-Carlsson Green’s functions

Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法[11]只用了1.1節(jié)中的4個(gè)條件.如果在這4個(gè)條件基礎(chǔ)上再加條件u′′′=0，則求得式(3)的系數(shù)為F1～F5分別為4.4860,-0.4957,-0.6726,1.2167和-0.4210；式(11)的系數(shù)為β1～β6分別為2.0000,1.3370,-1.2784,4.6967,-4.4013和1.3138.考慮和不考慮u′′′=0條件的格林函數(shù)如圖6所示.圖6表明，未考慮該條件的Wu-Carlsson格林函數(shù)與Wigglesworth格林函數(shù)的最大差別為0.56%，加入該條件后則為0.45%.可見u′′′=0條件對(duì)Wu-Carlsson格林函數(shù)精度改進(jìn)效果較小，因此可以舍棄.

5 半無(wú)限板邊緣裂紋在各種載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子權(quán)函數(shù)解

針對(duì)半無(wú)限板邊緣裂紋情況，基于權(quán)函數(shù)法，選取4種裂紋面受載荷情況，分別為裂紋面受冪函數(shù)載荷作用(σ(x)=σ0(x/a)n其中n=1,2,3)(如圖2(e)所示)和裂紋面受反向線性分布載荷作用(σ(x)=σ0[1-(x/a)])(如圖2(d)所示).分別利用上述多種權(quán)函數(shù)解，求解了這4種受載情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并與W igglesworth[16]解進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表1.

表1顯示,基于Wu-Carlsson,Fett-Munz,Hartranft-Sih,Bueckner的權(quán)函數(shù)解和基于Wigglesworth解得到的半無(wú)限板邊緣裂紋受不同載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解的相對(duì)差別整體都在1%之內(nèi)；而基于Glinka-Shen權(quán)函數(shù)解得到的不同載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子相比其他方法誤差較大，最大相對(duì)差別為3.99%.

表1 由各種權(quán)函數(shù)求得的半無(wú)限板邊緣裂紋裂紋面受冪函數(shù)載荷和裂紋面受反向線性分布載荷作用下的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子Table 1 Based on di ff erentweight functionmethods,stress intensity factorsof an edge crack in a sem i-infinit plate crack surface subjected to power function load and reverse linear distributed load

6 結(jié)論

針對(duì)半無(wú)限板邊緣裂紋，分析了Wu-Carlsson、Glinka-Shen和Fett-Munz這3種權(quán)函數(shù)法的求解精度.并與文獻(xiàn)中已有的半無(wú)限板邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)進(jìn)行了廣泛對(duì)比，包括Bueckner權(quán)函數(shù)、Hartranft-Sih權(quán)函數(shù)(Tada手冊(cè)中采用的權(quán)函數(shù))，以及Wigglesworth利用解析手段推導(dǎo)出的高精度的權(quán)函數(shù).利用上述權(quán)函數(shù)法，求解了裂紋面受冪函數(shù)加載和反向線性分布載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，得到的主要結(jié)論如下：

(1)Wu-Carlsson和Fett-Munz權(quán)函數(shù)法的計(jì)算精度高于Glinka-Shen權(quán)函數(shù)法；

(2)Glinka-Shen推導(dǎo)出的權(quán)函數(shù)精度受到所選參考載荷的明顯影響.而Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法，參考載荷的選取對(duì)權(quán)函數(shù)的影響則很小；

(3)u′′′=0條件對(duì)Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法計(jì)算精度改進(jìn)效果很小,在實(shí)際分析中可以舍棄.

1 Bueckner H.Novelprinciple for the computation of stress intensity factors.ZeitschriftfuerAngewandteMathematik&Mechanik,1970,50(9)：529-546

2 Rice JR.Some remarks on elastic crack-tip stress fields International JournalofSolidsand Structures,1972,8(6)：751-758

3 Paris PC,M cmeeking RM,Tada H.The weight function method for determ ining stress intensity factors//Crack and Fracture,ASTM Special Technical Publication,1976

4 Wu XR,Carlsson J.The generalised weight function method for crack problemsw ithm ixed boundary conditions.JournaloftheMechanicsand PhysicsofSolids,1983,31(6)：485-497

5 ShenG,GlinkaG.Determ inationofweightfunctions from reference stress intensity factors.Theoretical&Applied Fracture Mechanics,1991,15(3)：237-245

6 FettT.Directdeterm inationofweight functions from reference loading cases and geometrical conditions.Engineering Fracture Mechanics,1992,42(3)：435-444

7 M illwaterH,WagnerD,BainesA,etal.ImprovedWCTSEmethod for the generation of 2D weight functions through implementation into a commercial finit element code.Engineering Fracture Mechanics,2013,109(0)：302-309

8 GlinkaG,Shen G.Universal featuresofweight functions for cracks in mode I.Engineering Fracture Mechanics,1991,40(6)：1135-1146

9 Wu XR,XuW.Strip yield crack analysis formultiplesitedamage in infinit and finit panels-A weight function approach.EngineeringFracture Mechanics,2011,78(14)：2585-2596

10 Wagner D,M illwater H.2D weight function development using a complex Taylorseriesexpansionmethod.Engineering FractureMechanics,2012,86：23-37

11 Wu X R,Carlsson AJ.Weight Functionsand Stress Intensity Factor Solutions.Oxford：Pergamon,1991

12 Fett T,Munz D.Stress intensity factors and weight functions.Southampton,UK：ComputationalMechanicsPublications,1997

13 Wu XR.Closed-form weight function foredgecrack problems.Acta Mechanica Sinica,1990,6(2)：151-159

14 Bueckner HF.Weight functions for thenotched bar.ZAMM-Journal ofApplied Mathematics and Mechanics/Zeitschriftf¨ur Angewandte Mathematik und Mechanik,1971,51(2)：97-109

15 Hartranft RJ,Sih GC.A lternatingmethod applied to edge and surface crack problems//Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems.Netherlands：Springer,1973：179-238.

16 Wigglesworth LA.Stress distribution in a notched plate.Mathematika,1957,4(1)：76-96

17 Tada H,Paris PC,Irw in GR,etal.The Stress Analysis of Cracks Handbook.New York：ASMEPress,2000

18 FettT.Conditions for the determ ination ofapproximate COD fields Engineering FractureMechanics,1991,39(5)：905-914

WEIGHT FUNCTIONMETHODSAND ASSESSMENT FOR AN EDGECRACK IN A SEM I-INFINITE PLATE1)

Tong Dihua Wu Xueren2)Hu Benrun Chen Bo
(Beijing Institute ofAeronauticalMaterials，Beijing 100095，China)

Weight function method(WFM)is highly e ffi cient and accurate for the determination of stress intensity factors(SIFs)and crack opening displacements(CODs)of cracked bodies under arbitrary load conditions.Comparing to the numericalmethods such as the finit elementmethod,WFM s have distinct advantage in terms of computational e ffi ciency and reliability.Thispapermakessystematicanalysesand comparisonsof threeWFapproachesbyWu-Carlsson,Glinka-Shen and Fett-Munz,respectively,which are representative in the international fracturemechanicscommunity.By employing theW igglesworth analyticalsolutions to CODsofan edge crack in a sem i-infinit plateunderuniform tension,theWF and corresponding Green’s function(SIF fora pairof point forcesacting atan arbitrary location along the crack)are derived and used as the base for point-to-point comparison.The results are also compared w ith other existing WFs in the literature,including thoseby Bueckner,Hartranft-Sih andWigglesworth using di ff erentanalyticalapproaches.The study also includes the influenc of selection of three reference load cases,including uniform,linear and reverse-linearstress distributionsand their combinations,and geometric conditions related to CODson theWFaccuracy.Resultsshow that theWF based on COD analytical expression for one reference load case aremore accurate than thatbased on two SIFs due to two reference load cases.Furthermore,solution accuracy of the later approach is considerably a ff ected by the selected reference load case(s).Thegeometric condition that the third derivativeof COD vanishesatcrackmouth has littlee ff ecton the accuracy of one-reference-load-case-based weight function.Finally,SIFs for four load cases calculated by using variousWFM sare presented and compared.

sem i-infinit plate，edge crack，weight functionmethod，Green’s function，stress intensity factor

V215

A

10.6052/0459-1879-17-024

2017-01-20收稿，2017-04-07錄用,2017-04-07網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402249).

1)吳學(xué)仁，研究員，主要研究方向：材料與結(jié)構(gòu)的疲勞與斷裂.E-mail：xrwu621@163.com

童第華,吳學(xué)仁,胡本潤(rùn),陳勃.半無(wú)限板邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)解法與評(píng)價(jià).力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(4)：848-857

Tong Dihua,Wu Xueren,Hu Benrun,Chen Bo.Weight function methods and assessment for an edge crack in a sem i-infinit plate.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：848-857