浙江省紹興市柯橋區(qū)豫才中學(312000) 陳佳樂

利用圖像解一類絕對值函數(shù)的最值問題

浙江省紹興市柯橋區(qū)豫才中學(312000) 陳佳樂

近幾年,在各地市及高考中考查關(guān)于絕對值的最值問題屢見不鮮.本篇以圖像為載體,研究了一類形如f(x)=|g(x)+b|的最值問題,從我們常見的最值問題切入,由簡到繁、由易到難、有抽象到直觀、由特殊到一般地提出了解決這類問題的一般解法.

例1已知f(x)=|x?a|(a∈R).

(II)若存在x0∈[1,2],使得f(x)≥求滿足條件的a的集合.

圖1

圖2

解 顯然只要滿足fmax(x)≤即可,當然我們可以通過代數(shù)方法利用分段函數(shù)max{f(1),f(2)}≤來解決,本篇重點介紹圖像法解題,代數(shù)法留給讀者自行解決.

考慮函數(shù)y=x?a圖象,如圖1,因為 ?x=?y=1,考慮f(x)=|x?a|.絕對值對圖像得變換即把x軸下方圖像翻至上方,不難得出fmax(x)≥恒成立,當且僅當時(a為區(qū)間[1,2]的中點)如圖2所示,fmax(x)=滿足題意,所以

(2)只要滿足fmax(x)≥即可,由圖2不難得出恒成立,所以a∈R.

變式1已知f(x)=|x?a|(a∈R),若存在唯一的實數(shù)m,滿足對任意的x∈[m,m+1],使得f(x)≤t恒成立,求t的最小值.

解 此題看似與例1不同,實則完全相同.考慮函數(shù)y=x?a圖象如圖1,因為?x= ?y=1,觀察圖2,由f(x)圖像可得fmax(x)≥恒成立,不同之處在于此題是研究在區(qū)間[m,m+1]上的情況,但是不難得出所謂唯一的m=a?值得關(guān)注的是:因為所考慮的函數(shù)是一次函數(shù),所以a為閉區(qū)間[m,m+1]的中點,所以t的最小值為

變式2 已知f(x)=|ax+b|(a∈R),若對任意的實數(shù)b,總存在x0∈[1,2],使得f(x0)≥,求a的取值范圍.

解 即要滿足fmax(x)≥因為?y=|a|,考慮絕對值對圖像得變換,所以fmax(x)或a≥1.

同樣的,這里也總存在實數(shù)b平移至函數(shù)圖象中A與B平齊,使得fmax(x)≥并且也不難得出此時的

圖3

圖4

例2已知f(x)=|sin(x+φ)+b|,若存在實數(shù)b,φ,滿

所以在一般情況下?y=ymax?ymin,由圖得

所以

變式 已知f(x)=|sin(x+φ)+b|,若存在唯一實數(shù)對(b,φ),滿足對任意的使得f(x)≤ t恒成立,則t=____.

結(jié)論 一般地,已知f(x)=|g(x)+b|;

(I)若存在實數(shù)b,滿足對任意的x∈[m,n],使得f(x)≤ t恒成立,則t的最小值=此時

(II)若存在唯一的實數(shù)b,滿足對任意的x∈[m,n],使得 f(x)≤ t恒成立,則此時

(III)若對任意的實數(shù)b,總存在x0∈[m,n],使得f(x0)≥ t0,則t的最大值=此時

上述三種表述為等價表述.運用上述結(jié)論解題時,如已知曉的單調(diào)性的前提下,甚至都不要畫圖就可解決這類問題,以下是上述結(jié)論的應(yīng)用.

練習1(自編)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),若對任意的x∈[1,2],使得f(x)≤m恒成立,求m的最小值.

C.(?∞,1] D.(?∞,2]所以

練習3記f(x)=|lnx+ax+b|(a＞0)在區(qū)間[t,t+2](t＞0)上的最大值為Mt(a,b),若{b|Mt(a,b)≥ln2+a},則實數(shù)t的最大值是( )

此結(jié)論還可以推廣至一般有界函數(shù)的情況下,不是一定要在閉區(qū)間[m,n]上才成立,本篇就不再進一步展開了.不難發(fā)現(xiàn)利用圖像法解這類問題實則考驗的是學生對數(shù)學中“數(shù)”與“形”的理解以及學生運用“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學思想的能力,培養(yǎng)了學生直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).