妙用向量的“積化和差”公式解題

江蘇省常州市第二中學(xué)(213003) 王強(qiáng)

妙用向量的“積化和差”公式解題

江蘇省常州市第二中學(xué)(213003) 王強(qiáng)

新修訂的《江蘇高中數(shù)學(xué)課程》提出,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力,是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)運(yùn)算是六大核心素養(yǎng)之一,是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題,具體體現(xiàn)在理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果.《向量》是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具.向量是數(shù)形結(jié)合的載體,具體地說,向量的幾何表示、向量的三角形運(yùn)算法則等都是從幾何的角度對(duì)向量的研究,而向量的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)運(yùn)算就是用代數(shù)的方法來研究向量了.向量運(yùn)算涉及坐標(biāo)運(yùn)算、基底運(yùn)算和幾何圖形,學(xué)生常常難以選擇合適的運(yùn)算方法,無法從不同的視角,靈活探索運(yùn)算方法.向量也是江蘇高考的必考點(diǎn),其中向量的數(shù)量積更是高考的C級(jí)考點(diǎn),最近筆者借助幾何圖形的方法,得到了向量數(shù)量積的“積化和差”公式,筆者進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)在一些高考題和?？碱}中,合理地使用“積化和差”公式能起到“四兩撥千斤”的效果,極大地減少運(yùn)算量.本文就此談一點(diǎn)自己的思考,懇請(qǐng)讀者不吝賜教.

1.公式推導(dǎo)

結(jié)論:對(duì)于任意的兩個(gè)向量

證明 因?yàn)?/p>

結(jié)論成立.

推論 在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),則有

2.方法對(duì)比

例1(2016江蘇高考第13題)如圖1,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),=4,則的值是______.

圖1

圖2

從而

法三(積化和差公式)因?yàn)?/p>

所以

因?yàn)?/p>

又F是AD上的一個(gè)三等分點(diǎn),所以

又E是AD上的一個(gè)三等分點(diǎn),所以

點(diǎn)評(píng) 求解平面向量的有關(guān)問題,通常有兩種運(yùn)算方向:一是通過建立直角坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算來加以解決；二是選擇兩個(gè)不共線的向量作為基底,通過將所有的向量轉(zhuǎn)化為基底的方法來加以處理.一般地,運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)可操作性強(qiáng),而運(yùn)用向量的基底時(shí)對(duì)思維的要求較高.利用向量數(shù)量積的“積化和差”公式解題為向量運(yùn)算提供了另一個(gè)方向,尤其對(duì)于中線向量問題來說能起到“四兩撥千斤”的效果,極大地減少運(yùn)算量.

3.公式應(yīng)用

江蘇高考中,向量數(shù)量積是高考的C級(jí)考點(diǎn),在各地模考卷中經(jīng)常是以難題的形式出現(xiàn).下面談?wù)劺谩胺e化和差”公式在解向量數(shù)量積問題中的應(yīng)用.

圖3

例2(2016南通二模第12題)如圖 3,在同一平面內(nèi),點(diǎn)A位于兩平行直線m,n的同側(cè),且A到m,n的距離分別為1,3.點(diǎn)B,C分別在m,n上,則的最大值是__.

解點(diǎn)B,C分別在m,n上,所以BC的最小值為直線m和直線n間的距離2,所以的最大值是

設(shè)A(x0,y0),則

又因?yàn)閤0∈[?3,3],由二次函數(shù)的對(duì)稱性得,當(dāng)x0=?3時(shí),取最大值15.

例4 (2015南通三模第11題)如圖 4,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).以A為圓心,AE為半徑,作弧交AD于點(diǎn)F.若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為____.

圖4

解 取DC的中點(diǎn)為G,則

由圓的對(duì)稱性知,當(dāng)P為AG與劣弧EF的交點(diǎn)時(shí),PG最小

例5(2014南京三模第12題)在Rt△ABC中,CA=CB=2,M,N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且則的取值范圍為____.

解 設(shè)MN的中點(diǎn)為D,則

4.活學(xué)活用

讀者可以嘗試用“積化和差”公式解決以下兩道問題,加強(qiáng)對(duì)公式的理解和運(yùn)用能力.

練習(xí)1 如圖,P為以AB為直徑的圓O上任意一點(diǎn),且OP = PC,若

圖5

練習(xí)2已知在矩形ABCD中,AB=2BC,BC=a,長(zhǎng)度為a的線段EF的端點(diǎn)分別在邊BC和CD上,則的最大值為____.

答案練習(xí)1:12;練習(xí)2:4a2.

5.感受

著名教育家波利亞說過:“沒有一道題是可以解決得十全十美的,總剩下些工作要做,經(jīng)過充分的探討與鉆研,總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn),總能改進(jìn)這個(gè)解答,而且在任何情況下,我們都能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.”用“積化和差”公式解決平面向量數(shù)量積問題,可以將不好計(jì)算的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成好計(jì)算的線段長(zhǎng)度,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想方法.一句話說的好“生活不是缺少美,而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”,數(shù)學(xué)解題也是這樣.