安徽省南陵縣華林中學(xué)(241304) 張正義

對2126問題的推廣

安徽省南陵縣華林中學(xué)(241304) 張正義

《數(shù)學(xué)通報》2013年第6期給出了如下問題:

問題2126已知四邊形ABCD是圓I的外切四邊形,則下列恒等式成立:

圖1

眾所周知,圓是橢圓的一種特殊情形,而橢圓是將圓通過伸縮變換而得到的,圓有這個性質(zhì),那么橢圓是否也有與這個性質(zhì)類似的結(jié)論呢?如果有,那么又在什么條件下成立呢?經(jīng)過探究,得到如下推廣.

推廣 如圖1,已知四邊形A1A2A3A4是橢圓的外切四邊形,切點為Ti(acosθi,bsinθi),i=1,2,3,4,切線AiAj的斜率為Kij,i,j=1,2,3,4,

i/=j.若 0≤ θ1＜ θ2＜ θ3＜ θ4＜ 2π ,且＜ θ2? θ1＜則下列恒等式成立:

證明 如圖2,因為切點為Ti(acosθi,bsinθi),所以橢圓的切線方程為解方程組

圖2

同理可得

為了書寫的方便,不妨設(shè)

i = 1,2,3,4,規(guī) 定 θ5= θ1,于 是 A1(am1,bn1),A2(am2,bn2),A3(am3,bn3),A4(am4,bn4),則K12=

令 ∠T4OT1= α1,∠T1OT2= α2,∠T2OT3= α3,∠T3OT4=α4,其中 α1+ α2+ α3+ α4=2π ,則 θ3? θ2= α3,θ4?θ1= α2+α3+α4=2π?α1,θ2?θ1= α2,θ4?θ3= α4,θ3? θ1= α1+α2,θ4?θ2= α3+α4,從而上式分子為

而分母為

所以

同理可得

故

當橢圓的外切四邊形A1A2A3A4為矩形時,如圖2,易知切線 A4A1、A2A3的斜率不存在,即 λ41= λ23=1,|A4A1|=|A2A3|=2b,則 λ41|A4A1|= λ23|A2A3|=2b;切線A1A2、A3A4的斜率為0,即 λ12= λ34=,|A1A2|=|A3A4|=2a,則 λ12|A1A2|= λ34|A3A4|=2b;線段 OA1,OA2的斜率分別為即 λ= λ=01022b2,所以

故

當橢圓變換為圓時,如圖3,易知a=b=r,λ12=λ23=λ34= λ41=1,λ01= λ02= λ03= λ04,則

即是2126問題,所以圓是橢圓的特殊情形.

圖3

命題人給出了一種平面幾何證法,由此可知,也可以用解析幾何證明,希有興趣的讀者,可參照上述方法證明,限于篇幅,證明略去.