山東省威海職業(yè)學(xué)院信息工程系(264210) 姜衛(wèi)東

三角形中半角正弦和下界的一個(gè)猜想的證明

山東省威海職業(yè)學(xué)院信息工程系(264210) 姜衛(wèi)東

設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b,c,半周長為s,外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r.則有熟知的不等式[1]

引理1[2]在非鈍角三角形中,有

引理2[3]內(nèi)是減函數(shù),在上為增函數(shù).

(2)式的證明 由三角形中已知的恒等式

代入(2),得到如下的等價(jià)式

對(duì)(3)式作角變換

可知(3)等價(jià)于:在銳角三角形ABC中,

再由熟知的恒等式:

可知不等式(4)等價(jià)于

對(duì)(5)變形,可知只要證明下面的

即可.注意到在銳角△ABC中,有s＞2R+r(見[1]P.123),要證(6),只需證

從而,要證(7),只要證明如下較強(qiáng)的不等式

由引理1可知,只需證

引入函數(shù)

其中

經(jīng)簡單計(jì)算,可得

再由引理2可知,f(x)在[2,∞)為增函數(shù).從而f(x)≥f(2)=1,即(11)成立,從而猜想(2)成立.

致謝 本文受威海職業(yè)學(xué)院科研項(xiàng)目基金資助,編號(hào)2016ky001.

[1]O.Bottema等著,單墫譯.幾何不等[M].北京大學(xué)出版社,1991,9.

[2]楊學(xué)枝,尹華焱.我國研究三角形中半角三角函數(shù)不等式情況綜述[C].楊學(xué)枝主編,不等式研究(第1版),西藏人民出版社,2000,6.

[3]胡長好.“對(duì)鉤”函數(shù)的單調(diào)性及其運(yùn)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2013(1).