張靜

求圓周角常見錯誤分析

張靜

圓是初中階段重要的知識點，是中考考查重點內(nèi)容之一.同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中感到知識點特別多，理解起來又特別難.針對弧、弦、圓心角與圓周角之間的聯(lián)系，特別在求圓周角時常會出現(xiàn)錯解、漏解等情況，借此文，筆者把求圓周角的易錯之處總結(jié)并歸納.

類型一：知弦求圓周角

例1在直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對的圓周角為_______.

【錯解】30°.

【錯解原因】在同圓中，一條弦對著無數(shù)個圓周角，在這無數(shù)個圓周角中又可分為兩種情況，一種是圓周角的頂點在優(yōu)弧上，另一種是在劣弧上.同學(xué)們在無具體圖形情況下，會習(xí)慣性地畫出弦AB向上所對的圓周角這一種情況，其實還有向下所對的圓周角，且這兩種情況的圓周角構(gòu)成一個圓內(nèi)接四邊形，即對角成互補(bǔ)關(guān)系，如圖1.

圖1

【正解】30°或150°.

解：連接OA、OB，可得△AOB是等邊三角形，即∠AOB=60°.

①當(dāng)圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，則∠ACB=×60°=30°；

類型二：知圓心角求圓周角

例2如圖2，扇形OAB的圓心角為122°，C是弧AB上一點，則∠ACB=_______.

圖2

【錯解】58°.

【錯解原因】同學(xué)們以為∠ACB與∠AOB互補(bǔ).出現(xiàn)這樣的錯誤，主要是將四邊形AOBC看成是圓內(nèi)接四邊形造成的.

【正解】119°.

【解法一】設(shè)點D是優(yōu)弧AB上的一點，連接DA、DB，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半可求得∠D的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，即可求得∠ACB的度數(shù).

解：如圖3，設(shè)點D是優(yōu)弧AB上的一點，連接DA、DB.

圖3

∵∠AOB=122°，

∴∠ACB=180°-∠D=119°.

【解法二】如圖4.

圖4

∵∠AOB+∠1=360°，

∴∠1=360°-122°=238°，

例3如圖5，量角器外緣上有A，B兩點，它們所表示的讀數(shù)分別是80°、50°，則∠ACB應(yīng)為（）.

A.25°B.15°C.30°D.50°

圖5

【錯解】C.

【錯解原因】同學(xué)們對實際生活中的工具量角器如何量角原理理解不透，誤把量角器的讀數(shù)理解成圓周角的度數(shù).

【正解】B.

【分析】連接OA、OB，根據(jù)量角器的讀數(shù)，可得出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可求出∠ACB的度數(shù).

圖6

解：如圖6，設(shè)量角器的圓心是O，連接OA、OB，則∠AOB=80°-50°=30°，由圓周角定理得，∠ACB=15°.故選：B

類型三：知弧求圓周角

例4圓的一條弦把圓分成度數(shù)的比為1∶3的兩段弧，則弧所對的圓周角等于（）.

A.45°B.90°

C.135°D.45°或135°

【錯解】A或C.

【錯解原因】弧有優(yōu)弧與劣弧之分，部分同學(xué)在答題時容易只考慮其中的一種，解答不全面.

【正解】D.

【分析】由圓的一條弦把圓分成1∶3的兩條弧，即可求得優(yōu)弧、劣弧的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧度數(shù)的一半，即可求弧所對的圓周角的度數(shù).

圖7

解：如圖7，∵AB把⊙O分成1∶3的兩條弧，

∴劣弧AB度數(shù)為×360°=90°，優(yōu)弧AB度數(shù)為×360°=270°，

∴∠C=×90°=45°，

∠D=×270°=135°.故選：D.

（作者單位：江蘇省連云港市門河中學(xué)）