江蘇省徐州市睢寧縣古邳中學(xué) 沈恒顏

數(shù)形結(jié)合解題的技巧和教學(xué)策略

江蘇省徐州市睢寧縣古邳中學(xué) 沈恒顏

數(shù)形結(jié)合解題使數(shù)學(xué)題目表現(xiàn)得更為直觀，解決起來(lái)也比較方便、快捷，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)解題的效率和準(zhǔn)確率。數(shù)形結(jié)合解題的技巧主要抓住數(shù)和形的互化，但在解題實(shí)踐中的方式、方法確是很多的，因此，在數(shù)形結(jié)合解題教學(xué)中要注重方法、策略，才能達(dá)到更好的教學(xué)效果。

數(shù)形結(jié)合；解題技巧；解題習(xí)慣；數(shù)形互化；教學(xué)策略

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，也是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生應(yīng)熟練掌握的知識(shí)技巧。在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合可以解決函數(shù)問(wèn)題、集合問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題等等，是直觀、迅速、準(zhǔn)確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的良好方法，但在教學(xué)中，學(xué)生卻很少用、不會(huì)用，因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視數(shù)形結(jié)合解題技巧的學(xué)習(xí)，是提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的策略之一，值得研究和探討。

一、巧用數(shù)形結(jié)合，養(yǎng)成解題習(xí)慣

在高中數(shù)學(xué)解題中，很多題目都可以通過(guò)多種途徑求解。

如例一：已知點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，求解三角形ABC的面積。這一題目的求解既可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的形式，也可以應(yīng)用代數(shù)方法，不同的是代數(shù)法解題較為復(fù)雜。例如，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（1，3）、B（3，1）、C（-1，0），代數(shù)求解先要求出AB的長(zhǎng)度，再求出AB邊到C點(diǎn)的距離（也就是三角形的高），最后用公式求解三角形面積。但如果用數(shù)形結(jié)合的方式就簡(jiǎn)單得多。如圖1：

圖1

由圖1得，△ABC的面積實(shí)際就是S△ACD-S△BCD，這樣，三角形的底邊長(zhǎng)和高都很直觀，求解也更簡(jiǎn)便，且運(yùn)算簡(jiǎn)單。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)解題中，一些題目的代數(shù)解法也很直觀，求解題目一樣迅速、準(zhǔn)確，甚至一些同學(xué)習(xí)慣了代數(shù)解法，不愿意畫圖、用圖。這在一些基礎(chǔ)題型中，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率并不會(huì)受到影響。但在一些難度較大的題目中，學(xué)生的思維容易混亂，運(yùn)算過(guò)程容易出錯(cuò)，因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的解題方法，使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合解題的習(xí)慣。如例一中，帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真研究?jī)煞N解法，讓學(xué)生自己比較兩種解法的特點(diǎn)，并鼓勵(lì)他們用更多的方式解決問(wèn)題，以達(dá)到拓展學(xué)生思路、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解題習(xí)慣的目的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可通過(guò)習(xí)題講解、解題思路啟發(fā)等方式培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的概念，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)和形聯(lián)系起來(lái)。通過(guò)數(shù)形結(jié)合解題的簡(jiǎn)便、快捷、準(zhǔn)確等激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題方式、方法的研究興趣，這樣才能夠讓學(xué)生理解和更好地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式解題，避免教學(xué)中老師直接將自己的經(jīng)驗(yàn)、主觀認(rèn)識(shí)“強(qiáng)加”給學(xué)生，造成學(xué)生學(xué)習(xí)的被動(dòng)。

二、數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，降低解題難度

數(shù)和形是數(shù)學(xué)中不可分割的“兄弟倆”，數(shù)離了圖形，會(huì)顯得抽象、難以理解。

由以上兩個(gè)例子都能得出：在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)和形都是非常重要的，圖形可以幫助學(xué)生更準(zhǔn)確、直觀地理解題意，找出解題的關(guān)鍵信息。如例一，看到圖形后學(xué)生就能直觀地看出兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)和高，求解的效率更高，正確率也高。又如例三，在看圖前，題目所給的已知就是一團(tuán)亂麻，看圖后才能有思路，過(guò)M做出兩個(gè)邊的平行線后，邊長(zhǎng)之間的關(guān)系就一目了然了，解題變成了簡(jiǎn)單的運(yùn)算。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合可在很大程度上降低題目的難度，提高學(xué)生的解題效率。

圖2

圖3

三、注重教學(xué)策略，提高教學(xué)效率

在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用技巧歸根結(jié)底就是找準(zhǔn)數(shù)形互化的切入點(diǎn)，準(zhǔn)確地用數(shù)表示形，用形表示數(shù)，以便拓展解題者解題的思路，使其獲得更多的解題信息，從而達(dá)到準(zhǔn)確、迅速地解題的目的。在教學(xué)實(shí)踐中，老師也一直很重視數(shù)形結(jié)合這一解題方法的傳播和應(yīng)用，但教學(xué)效果參差不齊，要提高數(shù)形結(jié)合解題的綜合效率，就要從教學(xué)策略入手。首先，要注重拓展學(xué)生思路，如例一，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可將題目轉(zhuǎn)換為求解兩個(gè)以x軸為底邊，y軸讀數(shù)為高的三角形面積，這樣求解更直觀簡(jiǎn)單。除此之外，還可以將圖形轉(zhuǎn)化為求解梯形與一個(gè)直角三角形面積的和再減去一個(gè)直角三角形的面積，這樣解題運(yùn)算一樣直觀、簡(jiǎn)便。如圖4：

圖4

一題多解，可在潛移默化中拓展學(xué)生思路，使學(xué)生能夠主動(dòng)地思考數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的解題技巧。其次，采用對(duì)比策略，如例一，選擇兩組學(xué)生，一組用代數(shù)式解題，一組用數(shù)形結(jié)合解題，比較兩組學(xué)生解題的速度、準(zhǔn)確性等，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合解題的優(yōu)勢(shì)，使其主動(dòng)地參與教學(xué)，主動(dòng)地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行題目的求解。再次，注重教學(xué)細(xì)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合的解題方式，并使其在解題中廣泛應(yīng)用。如例三，在教學(xué)時(shí)，很多學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式解題，但他們不一定有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，啟發(fā)學(xué)生正確地認(rèn)知數(shù)和形的轉(zhuǎn)化，使其在解題過(guò)程中形成成熟的數(shù)形結(jié)合意識(shí)。此外，數(shù)形結(jié)合解題教學(xué)應(yīng)由淺入深、由易到難，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

高中數(shù)學(xué)非常有趣，一個(gè)題目往往可以通過(guò)多種方法求解，但在教學(xué)中，很少有學(xué)生喜歡解題的過(guò)程，大多數(shù)學(xué)生尋求的是“正確答案”，因此高中數(shù)學(xué)解題失去了原有的樂(lè)趣，學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也缺少興趣。通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合解題技巧的培養(yǎng)，使其在解題過(guò)程中體會(huì)到解題的樂(lè)趣，以此促進(jìn)高中數(shù)學(xué)整體教學(xué)質(zhì)量的提升，這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中積累的寶貴經(jīng)驗(yàn)。

[1]李金興.數(shù)形結(jié)合解函數(shù)問(wèn)題的幾個(gè)操作策略[J].數(shù)學(xué)通訊：教師閱讀，2016（03）：26-30．

[2]陳益周.數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究[J].蘭州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（04）：165-166．