江西省上饒中學(xué) 呂 峰

從另一角度思考二項(xiàng)式定理

江西省上饒中學(xué) 呂 峰

二項(xiàng)式定理是高中重要的一節(jié)內(nèi)容。盡管每個(gè)教師都有自己的教學(xué)特點(diǎn)，但在處理二項(xiàng)式定理這一節(jié)時(shí)，方式都比較統(tǒng)一。本文旨在提供另外一個(gè)講解二項(xiàng)式定理的思路，以供各位同仁參考。

二項(xiàng)式定理；卡亞姆

二項(xiàng)式定理是高中課本中重要的一節(jié)內(nèi)容。這節(jié)的內(nèi)容是安排在排列組合之后學(xué)習(xí)的，這是因?yàn)樗膶W(xué)習(xí)要基于排列組合。對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)，課本上是這樣展開(kāi)的：先從幾個(gè)特殊的n值入手，再推出一般結(jié)論。

比如當(dāng)n=2時(shí)，（a+b）2=a2+2ab+b2，在沒(méi)有合并同類項(xiàng)前，它有四項(xiàng)，分別是a2、ab、ba、b2，每一項(xiàng)的系數(shù)都是1，而合并了同類項(xiàng)后，有三項(xiàng)，分別是a2、ab、b2，系數(shù)分別是1、2、1，跟之前的有區(qū)別，產(chǎn)生區(qū)別的原因是因?yàn)楹喜⒘送愴?xiàng)?，F(xiàn)在從排列組合的角度看這些系數(shù)的產(chǎn)生。要確定某一項(xiàng)，必須從第一個(gè)括號(hào)中選一個(gè)字母，比如確定ab這一項(xiàng)的系數(shù)，要么從第一個(gè)括號(hào)中選一個(gè)a，這樣的話就必須從第二個(gè)括號(hào)中選一個(gè)b，或者先從第二個(gè)括號(hào)中選一個(gè)a，那么第一個(gè)括號(hào)中必須選b，這樣總共有2種選法，也就是

種選法，這也是ab這一項(xiàng)的系數(shù)。用這種方法，我們推廣到一般結(jié)論去，從而得出二項(xiàng)式定理。

用這種方法處理二項(xiàng)式定理，好處很明顯，學(xué)生很容易懂。雖然如此，但筆者在用這種方法上過(guò)這節(jié)內(nèi)容的課后，總感覺(jué)不痛快，單單那個(gè)像繞口令一樣的話語(yǔ)“要……，要么……，就……”就讓人說(shuō)出來(lái)氣喘吁吁，也違背了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)簡(jiǎn)潔明了的原則。于是，筆者就想能不能用一種更自然的方法教學(xué)二項(xiàng)式定理。翻閱了大量資料，比較了一些方法，覺(jué)得卡亞姆的方法很自然，而且跟排列組合聯(lián)系得很緊密，從而也讓知識(shí)的過(guò)渡更自然。

卡亞姆的二項(xiàng)展開(kāi)式：

當(dāng)n 是任意正整數(shù)時(shí)，求以a 和b 的冪表示的二項(xiàng)式（a + b ）的n 次冪。

解：為了確定二項(xiàng)展開(kāi)式，寫(xiě)出：

這里，右邊包含n 個(gè)相同的（a + b）的乘積，像人們所了解的那樣，括號(hào)的乘式包含從每一括號(hào)中選出一項(xiàng)，得出所選項(xiàng)的乘積，并繼續(xù)該過(guò)程，直至取盡所有可能的選擇，最后將得到的乘積加在一起。

這類乘積的形式如下：

其中，從開(kāi)頭的α1個(gè)括號(hào)中各取出因子a，從隨后的β1個(gè)括號(hào)中各取出因子b，再?gòu)钠浜蟮摩?個(gè)括號(hào)中各取出因子a……在這種情況下，α1+β1+α2+β2+……等于現(xiàn)有的括號(hào)數(shù)，即n。

除上述的這種方法外，一般還有許多其他方法可以求得乘積P。例如，從前面α個(gè)括號(hào)中取出a，而從后面β個(gè)括號(hào)中取出b；從前面β個(gè)括號(hào)中取出b，而從后面α個(gè)括號(hào)中取出a，等等。如果乘積P 在上述方法中出現(xiàn)C 次，C 被理解為代表一個(gè)最初的未知數(shù)，那么

表示二項(xiàng)展開(kāi)式的一項(xiàng)。其他各項(xiàng)除了指數(shù)α與β以及系數(shù)C 不同外，都具有相同的形式。因此，α+β總是等于n。

該題的關(guān)鍵是確定所謂的“二項(xiàng)系數(shù)”C，即回答問(wèn)題：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，乘積 出現(xiàn)多少次？

為了解答這個(gè)問(wèn)題，首先按照從括號(hào)中最初選定的順序逐個(gè)地寫(xiě)出乘積中的因子a 和b：

這就是出現(xiàn)α個(gè)相同元素a 與β個(gè)相同元素b 的n 個(gè)元素的排列。這些元素排列種數(shù)的多少與從n 個(gè)（a + b）的連乘式中得到的項(xiàng)P一樣。

從上面的解答過(guò)程中可以看出，卡亞姆所采用的方法完全是基于排列組合的，從之前學(xué)習(xí)的排列組合中可以找到很多模型與之對(duì)應(yīng)。比如：有3本相同的數(shù)學(xué)書(shū)，4本相同的語(yǔ)文書(shū)，共有幾種疊放方式？學(xué)生對(duì)類似的模型都很熟悉，當(dāng)然可以輕易理解卡亞姆的二項(xiàng)展開(kāi)式。教師在這里教學(xué)時(shí)，實(shí)際上只需要讓學(xué)生聯(lián)想之前學(xué)習(xí)過(guò)的一些排列組合模型，相信學(xué)生就可以很快得出結(jié)論。用這種方法教學(xué)，既讓教師教得輕松，而且可以讓學(xué)生學(xué)得輕松。何樂(lè)而不為呢！