江蘇師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 鹿 靜

蘇教版高中數(shù)學(xué)《圓的一般方程》教學(xué)研究

江蘇師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 鹿 靜

人類具有學(xué)習(xí)的內(nèi)在屬性與自然傾向，而主動(dòng)學(xué)習(xí)是人不同于其他生物的基本潛能，因而，教學(xué)的主要任務(wù)應(yīng)為創(chuàng)設(shè)一種對(duì)學(xué)生潛能發(fā)揮有利的情境，將學(xué)習(xí)過程演變成學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、探索的過程。本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)《圓的一般方程》為例，探討此課程的教學(xué)設(shè)計(jì)策略。

高中數(shù)學(xué)；《圓的一般方程》；教學(xué)；設(shè)計(jì)

圓的一般方程是繼圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后延伸出的新形式，當(dāng)學(xué)生完成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程的學(xué)習(xí)后，對(duì)解析幾何當(dāng)中研究問題的方法已有較深認(rèn)識(shí)，這為學(xué)生深入探究圓的一般方程奠定了良好基礎(chǔ)。本文基于蘇教版《圓的一般方程》的課程要求，在教學(xué)中堅(jiān)持“以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以問題為主線，以思維為核心”的“三主一核心”原則，通過課前精心設(shè)計(jì)以及課堂中即時(shí)生成系列問題，以問題為驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生高效探究，開發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)潛能，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量。

一、問題指引，探究方程

教師：通過之前的課程學(xué)習(xí)，我們了解到圓在平面直角坐標(biāo)系中，可用方程：（x-a）2+（y-b）2=r2表示，我們將其稱為標(biāo)準(zhǔn)方程，反之，還可用方程（x-a）2+（y-b）2=r2表示圓?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們完成如下問題：

問題1：判斷下列方程，分析其是否為圓的方程，如果是，指出其半徑與圓心。

問題2：如果用（4）來(lái)表示圓，大家有何看法？（此時(shí)學(xué)生開始思考與討論）

學(xué)生：圓的方程沒有必要一定寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，還可以寫成與x、y有關(guān)的二元二次形式。

問題3：究竟哪些類型的二元二次方程可以表示圓？

學(xué)生：應(yīng)該是那些經(jīng)配方轉(zhuǎn)換可以變成標(biāo)準(zhǔn)方程的，也就是說(shuō)，展開標(biāo)準(zhǔn)方程后，所得到的二元二次方程可表示圓。

二、意義建構(gòu)，構(gòu)建概念

學(xué)生討論后，最終達(dá)成共識(shí)，將其定義為“圓的一般方程”。

問題4：圓的一般方程都有哪些比較突出的特點(diǎn)呢？?jī)煞N不同形式的方程之間又有怎樣的聯(lián)系？（留給學(xué)生獨(dú)立思考時(shí)間）。

學(xué)生：（1）方程當(dāng)中有3個(gè)參數(shù)：D、E、F；（2）x2的系數(shù)為1，y2的系數(shù)也為1；（3）不含xy項(xiàng)。

學(xué)生：展開標(biāo)準(zhǔn)方程后便可得到一般方程，然后把一般方程進(jìn)行配方，即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程，在兩個(gè)方程當(dāng)中，均有3個(gè)參數(shù)。

教師：大家可以發(fā)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)方程展現(xiàn)其“形”的特點(diǎn)為：從方程便可看出其半徑與圓心，而對(duì)于一般方程，注重的是“術(shù)”的特性。

學(xué)生：可以，但是須讓B=0，A=C。

學(xué)生：不太全面，須有B=0，A=C≠0，另外，還需D2+E2-4AF＞0。

教師：很好！同學(xué)們認(rèn)真欣賞圓的兩種形式的方程，如此簡(jiǎn)捷、和諧，與“圓”的幾何形態(tài)很匹配。

三、簡(jiǎn)化應(yīng)用，增強(qiáng)理解

問題6：對(duì)下列二元二次方程進(jìn)行判斷，觀察其是否可以表示圓？若能，求出半徑與圓心坐標(biāo)。

學(xué)生獨(dú)立思考，彼此互評(píng)，可以直接用D、E、F之間的關(guān)系來(lái)判斷，也可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程。

四、巧妙應(yīng)用，強(qiáng)化能力

問題7：已知△ABC的頂點(diǎn)分別為：A（4，3）、B（5，2）、C（1，0），求△ABC外接圓的方程。

學(xué)生：用圓的垂徑分弦定理也能求出，首先將弦AB的中垂線方程求出，AC的中垂線方程也可求出，其交點(diǎn)便是外接圓的圓心。至此，便能求出標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師：同學(xué)們真是太厲害了！這種驗(yàn)證、猜想與觀察的科學(xué)意識(shí)，正是大家需要培養(yǎng)與學(xué)習(xí)的。

五、提煉小結(jié)與反思

問題8：請(qǐng)同學(xué)們歸總以下，本節(jié)課你都有哪些收獲？

學(xué)生：了解并掌握了圓的一般方程；圓的兩種形式方程的區(qū)別與聯(lián)系。

教師：通過圓的一般方程，我們從中可以感知到等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想及抽象概括的數(shù)學(xué)意識(shí)；通過求圓的方程，讓我們知道方程的思想與選擇、比較的數(shù)學(xué)意識(shí)。這些數(shù)學(xué)思想與方法是數(shù)學(xué)的根本與靈魂，還是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵所在。

綜上，本文以問題為驅(qū)動(dòng)，用探究的方式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知圓的一般方程的知識(shí)，這樣有助于激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)提問意識(shí)以及求知欲，因而可以較好地提升教學(xué)效率與質(zhì)量。

[1]汪得志.怎樣學(xué)好高中數(shù)學(xué)——高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法探討[J].教育教學(xué)論壇，2017（04）：275-276.

[2]李昌官.高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)研式教學(xué)”研究與實(shí)踐[J].課程·教材·教法，2013，33（02）：59-65.