遼寧省黑山縣第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)組(121400) 劉大鵬

正多邊形與其同心圓有關(guān)的兩個性質(zhì)的推廣研究

遼寧省黑山縣第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)組(121400) 劉大鵬

文 [1]中獲得的主要結(jié)果是：正多邊形的內(nèi)切圓(或外接圓)上任意一點到各頂點的距離平方之和為定值,正多邊形的內(nèi)切圓(或外接圓)上任意一點到各條邊的距離平方之和為定值.[1,2]

文[2]對這兩個性質(zhì)進(jìn)行了推廣,獲得正多邊形的同心圓(即圓心在正多邊形中心的圓)也有這兩個性質(zhì).(I)正多邊形的同心圓上任意一點到各頂點的距離平方之和為定值;(II)正多邊形的同心圓上任意一點到各條邊的距離平方之和為定值.[2,3]

本文以正方體、正四面體為研究對象,把性質(zhì)(I),(II)在空間推廣,得到

定理1設(shè)球面O為正方體ABCD-A1B1C1D1的同心球面(即球心在正方體中心的球面),P為球面O上任意一點,則P到正方體各頂點的距離平方之和為定值;P到正方體各面所在平面的距離平方之和為定值.

圖2

證明 設(shè)正方體棱長為2a,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,球面O方程：x2+y2+z2=R2,P(x0,y0,z0),A(a,a,a,),B(-a,a,a),C(-a,-a,a),D(a,-a,a),A1(a,a,-a),B1(-a,a,-a),C1(-a,-a,-a),D1(a,-a,-a).于是

所以∑PA2=8(x20+y20+z20)+24a2=8R2+24a2為定值.

各面方程：面AA1D1D:x=a,面BB1C1C:x=-a,

面ABB1A1:y=a,面CDD1C1:y=-a,面ABCD:z=a,面AA1B1C1D1:z=-a.

∑d2i=(x0-a)2+(x0+a)2+(y0-a)2+(y0+a)2+ (z0-a)2+(z0+a)2=2R2+6a2為定值.

定理2 設(shè)球面O為正四面體ABCD的同心球面,P為球面O上任意一點,則P到正四面體各頂點的距離平方之和為定值;P到正四面體各面所在平面的距離平方之和為定值.

圖2

由正四面體各面分別與正方體的某一條體對角線垂直,得面ABC,面ACD,面ABD,面BCD的法向量分別為(1,1,1).

為定值,證畢.

猜想：上述性質(zhì)對正八面體、正十二面體、正二十面體也成立.

[1]馬俊華.正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓的一些性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2007(8).

[2]徐道.正多邊形與其同心圓有關(guān)的幾個性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究, 2008(9).

[3]徐道.正多邊形與其同心圓有關(guān)的兩個性質(zhì)的指數(shù)推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2010(2).