朱遠彰

【摘 要】本文摘引分析 2012—2017 年高考立體幾何試題，歸納出命題的重點及規(guī)律，提出相應(yīng)的復(fù)習(xí)策略，并選擇部分試題進行分析和講解，以便讀者參考。

【關(guān)鍵詞】高考立體幾何 試題分析 應(yīng)考策略

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）09B-0152-05

立體幾何，高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個大模塊，也是重要的模塊之一，每年高考必考。它主要考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、綜合應(yīng)用能力、運算能力等。縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)題，立體幾何都是兩個小題（有一個三視圖）加一個大題；大題基本固定在 18 或 19 題的位置，屬于中檔題，是考生拉大分?jǐn)?shù)差距的必做題之一，是高分考生競相角逐的地方。

高考中的立體幾何題量與難度的編排如此有規(guī)律，使我們不得不引起重視，且分值較高，值得我們好好分析與研究。

一、2012—2017年高考中的立體幾何解答題摘引

1.2012理（19）（本小題滿分12分）

如圖 1，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=BC=AA1，D 是棱 AA1 的中點，DC1⊥BD。

（1）證明：DC1⊥BC；

（2）求二面角 A1-BD-C1 的大小。

2.2012文（19）（本小題滿分12分）

如圖 1，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D 是棱 AA1 的中點。

（I）證明：平面 BDC1⊥平面 BDC；

（Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比。

3.2013理（18）（本小題滿分12分）

如圖 2，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°。

（Ⅰ）證明 AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

4.2013文（19）（本小題滿分12分）

如圖 2，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°。

（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若 AB=CB=2，A1C=，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的體積。

5.2014理（18）（本小題滿分12分）

如圖 ?3，四棱錐 P?-ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA⊥平面 ABCD，E 為 PD 的中點。

（1）證明：PB∥平面 AEC；

（2）設(shè)二面角 D?-AE?-C 為 60°，AP=1，AD=，

求三棱錐 E?-ACD 的體積。

6.2014文（18）（本小題滿分12分）

如圖 3，四棱錐 P?-ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA⊥平面 ABCD，E 為 PD 的中點。

（Ⅰ）證明：PB∥平面 AEC；

（Ⅱ）設(shè) AP=1，AD=，三棱錐 P﹣ABD 的體積 ，求 A 到平面 PBC 的距離。

7.2015理（19）（本小題滿分12分）

如圖 4，長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，點 E，F(xiàn) 分別在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，過點 E，F(xiàn) 的平面 與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求直線 AF 與平面 所成的角的正弦值。

8.2015文（19）（本小題滿分12分）

如圖 4，長方體 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，點 E，F(xiàn) 分別在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，過點 E，F(xiàn) 的平面 與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。

（I）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法與理由）；

（II）求平面 把該長方體分成的兩部分體積的比值。

9.2016理（19）（本小題滿分12分）

如圖 5，四棱錐 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 為線段 AD 上一點，AM=2MD，N 為 PC 的中點。

（I）證明 MN ∥平面 PAB；

（II）求直線 AN 與平面 PMN 所成角的正弦值。

10.2016文（19）（本小題滿分12分）

如圖 5，四棱錐 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 為線段 AD 上一點，AM=2MD，N 為 PC 的中點。

（I）證明 MN∥平面 PAB；

（II）求四面體 N-BCM 的體積。

11.2017理（19）

如圖 6，四面體 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD。

（1）證明：平面 ACD⊥平面 ABC；

（2）過 AC 的平面交 BD 于點 E，若平面 AEC 把四面體ABCD 分成體積相等的兩部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值。

從題目來看，似乎雜亂無章，經(jīng)過統(tǒng)計對照分析，就浮現(xiàn)出一些值得關(guān)注的規(guī)律：

1.以棱柱或棱錐為載體，考查空間中的點、線、面、體的關(guān)系。文理題目基本相同，圖也相同，2017 年文科和理科的題目所給的條件看似不一樣，其實是把文科的問題結(jié)論當(dāng)作理科的一個條件而已。2013 年至2016 年的第 1 問也相同。直得關(guān)注的是 2012 年與 2017 年的文理兩個問題都相同，可以推測立體幾何的重點考查內(nèi)容基本上就是這些了，因此在復(fù)習(xí)教學(xué)中，讓我們有更明確的目標(biāo)。

2.第 1 問均為傳統(tǒng)的推理證明，以直線與平面的平行或垂直為主，平行與垂直呈現(xiàn)出相互間隔的趨勢。

3.第 2 問為推理計算，文科求柱體和錐體的體積，且呈相互間隔的趨勢；理科為求線面角和二面角，且二者并重。

4.理科第 2 問側(cè)重于利用空間向量解答。

5.如果從解答過程來看，可以發(fā)現(xiàn)直線與平面的關(guān)系是必不可少的基礎(chǔ)，并以此來轉(zhuǎn)化直線與直線、平面與平面的關(guān)系。所以在教學(xué)上，線面關(guān)系應(yīng)是教學(xué)的重中之重。

三、形成規(guī)律的原因分析

1.文理題目與圖相同，第 1 問也同為推理證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)正在向著文理不分科的趨勢逐步過渡。傳統(tǒng)的邏輯推理文理并重，因為這是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)素養(yǎng)，不應(yīng)有文理之分，邏輯推理能力應(yīng)當(dāng)成為公民的一項基本技能。

2.以棱柱或棱錐為載體，考查空間中的點、線、面、體的關(guān)系一直是高考的熱點，這類題目既考查多面體的概念性質(zhì)，又考查空間中線線、線面關(guān)系，并將證明和計算有機結(jié)合在一起，可以較全面準(zhǔn)確了考查學(xué)生的空間想象、邏輯推理及計算能力；設(shè)計兩問，層次遞進，由淺入深，能滿足不同層次的學(xué)生不同偏好的需求，更對基礎(chǔ)扎實的學(xué)生要求推理與計算全面發(fā)展。

3.以平行與垂直為主，突出中學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)重點，以歐氏幾何學(xué)為重心，反映現(xiàn)實生活中，平行與垂直的組合是最普遍的建筑結(jié)構(gòu)。

4.以直線與平面為主，是因為一維的直線與二維的平面放在三維空間中，有許多種組合方式，最能考查學(xué)生的空間想象能力。

5.推理計算的考查，是引導(dǎo)學(xué)生深層次地認(rèn)識數(shù)學(xué)研究的數(shù)量與位置關(guān)系是一個分不開的有機整體。一個幾何體既有位置的關(guān)系，同時又隱藏著數(shù)量關(guān)系，用通俗的語言來說就是位置關(guān)系只是表象，數(shù)量關(guān)系才是其內(nèi)涵。

6.理科第二問側(cè)重于空間向量的計算，原因之一就是利用空間向量的運算來解題，能夠避免難度較大的空間推理；原因之二是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，向量是很有活力的一種計算工具，為了讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不落后于數(shù)學(xué)的發(fā)展。向量計算被稱為“簡單暴力的計算”，不但體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題的程序化、通法化和解析化，而且體現(xiàn)了當(dāng)前數(shù)學(xué)還分文理的情況下，對理科生的加強要求。

四、應(yīng)考策略

1.增強學(xué)生的空間想象能力是首要的任務(wù)，學(xué)生如果過不了這一關(guān)，那么在立體幾何的學(xué)習(xí)中就會困難重重。多運動左手對增強空間想象力有一定的幫助?？茖W(xué)研究表明，右腦主要負(fù)責(zé)音樂、形象、經(jīng)驗、直觀等，常說的“創(chuàng)造性思維”也是右腦的產(chǎn)物，但右腦支配著左半身，因此告訴學(xué)生活動左手是鍛煉右腦的最佳辦法，建議學(xué)生在日常生活中多動動左手，比如掃地、刷牙、拉燈、洗臉、提水等都可以用左手來做。

2.結(jié)合考試大綱，熟悉教材中關(guān)于平行與垂直的相關(guān)定理，要求學(xué)生加強記憶，能理解更好，特別要以線面的平行、垂直的判定為核心，對線線、線面、面面的平行垂直間的關(guān)系以及各定理間的相互轉(zhuǎn)化在頭腦中經(jīng)常勾勒演練，如果熟悉這些定理，那么第 1 問的推理證明基本沒有困難。

3.熟記一些常見幾何圖形中與平行垂直相關(guān)的結(jié)論。

（1）三角形的中位線平行且等于底邊一半，既有平行的性質(zhì)，又有數(shù)量關(guān)系，可用于計算當(dāng)中。

（2）平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）可實現(xiàn)兩組平行線的轉(zhuǎn)換。

（3）等腰三角形底邊的中線垂直且平分底邊，這個性質(zhì)既可用于推理又可用于計算，因此最常用。

（4）菱形、正方形對角線有垂直的性質(zhì)。

（5）垂直關(guān)系還可以通過勾股定理的計算來體現(xiàn)。

（6）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

4.關(guān)于計算問題，文科要加強柱體和錐體的體積計算，特別要注意加強三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化意識。理科只要掌握好空間向量的計算，就能輕松地把立體幾何題拿下，但是首先也要先能運用垂直的關(guān)系建立直角坐標(biāo)系。

5.適當(dāng)做一定數(shù)量的題目，并在這一版塊專注一小段時間，只有專注過的內(nèi)容，以后才不容易遺忘。

五、解題案例

1.2013年考題的分析與解答過程。

如圖 2，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°。

（Ⅰ）證明 AB⊥A1C；

分析：已知 CA=CB，AB=AA1，說明 △ABC 與 △AA1B 都是等腰三角形，而要證明 AB⊥A1C，自然想到運用等腰三角形中線的垂直關(guān)系作為突破口，而 △ABC 與 △AA1B 有公共邊 AB ，因此先連接 A1B，并在 AB 邊上取中點 D，再連接 CD、A1D。如圖 7 所示則有

（文Ⅱ）若 AB=CB=2，A1C=，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的體積。

分析：由 AB=CB=2，CA=CB 可知 △ABC 為正三角形，可算得 CD=；

由 AB=AA1，∠BAA1=60°可知 △AA1B 為正三角形，可算得 A1D=；

在 △DA1C 中，CD=，A1D=，A1C=，正好有 CD2+A1D2=A1C2，因此可得 CD⊥DA1（這里就是通過勾股定理運算得出垂直關(guān)系）。

因此 ⊥平面AA1B1BCD 為三棱錐 C-ABA1 的高。

所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的體積 V 有

（這里實現(xiàn)了三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化）

（理Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

分析：由（Ⅰ）知 CD⊥AB，DA1⊥AB

又∵ 面 ABC⊥面 ABB1A1，面 ABC∩面 ABB1A1=AB

∴ CD⊥面 ABB1A1（這是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直）

∴ CD⊥EA1 （再由線面垂直轉(zhuǎn)化到線線垂直）

∴ DA，DC，DA1 兩兩相互垂直

以 D 為坐標(biāo)原點， 的方向為 x 軸正方向， 為單位長度，建立如圖 8 所示空間直角坐標(biāo)系 D-xyz。

由題設(shè)知 A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（-1，0，0），則，。

設(shè) =（x，y，z）是平面 CBB1C1 的法向量，則

，即，可取 =（，1，-1）

∴ 直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值為 （以上為空間向量的運算解決線面角問題）。

2.2017年考題的分析與解答過程。

19.（文）如圖 9，四面體 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD。

（1）證明：AC⊥BD。

證明：取 AC 中點 F，連接 DF、BF。

AC⊥平面 DFBAC⊥BD

（這里運用了等腰三角形的中線垂直底邊的結(jié)論，線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直）

（2）已知 △ACD 是直角三角形，AB=BD。若 E 為棱 BD 上與 D 不重合的點，且 AE⊥EC，求四面體 ABCE 與四面體ACDE 的體積比。

解：設(shè) AB=2，則 BF=，DF=1，DB=2。

連接 EF，則

（此過程中運用了勾股定理的計算來得到垂直關(guān)系，還運用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)來確定了 E 點為 BD 邊的中點，計算三棱錐的體積仍然要用到等體積變換）

19.（理）如圖 10，四面體 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD。

（1）證明：平面 ACD⊥平面 ABC。

證明：取 AC 中點 F，連接 DF、BF。

（過程運用了等腰三角形的中線垂直于底邊的結(jié)論）

設(shè) AB=2，則 BF=，DF=1，DB=2。所以有

BF2+DF2=DB2 DF⊥BF（運用了勾股定理的計算來得到垂直關(guān)系）

平面 ACD⊥平面 ABC（由線面垂直轉(zhuǎn)化到面面垂直）

（2）過 AC 的平面交 BD 于點 E，若平面 AEC 把四面體ABCD 分成體積相等的兩部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值。

解：由條件知平面 AEC 把四面體 ABCD 分成體積相等的兩部分，可知 E 點為 BD 的中點。

由（1）可得，以 F 為原點，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)D 分別為 x，y，z 軸建立直角坐標(biāo)系。則

A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），D（0，0，1），E（）

則有

設(shè)平面 AEC 的法向量為 ，則

同理可得，設(shè)平面 AED 的法向量為 =（x2，y2，z2），則

即二面角 D-AE-C 的余弦值為 （以上為空間向量的運算解決二面角問題）。

總之，立體幾何在數(shù)學(xué)高考中有一定的分量，不但需要學(xué)生對空間立體感有較高的認(rèn)知水平，而且需要學(xué)生具有空間推理能力，特別是三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化更是要求學(xué)生能從不同的角度來識別同一個錐體，它同時也考查了學(xué)生的運算能力，對考核學(xué)生的綜合應(yīng)用能力有很高的價值。

（責(zé)編 盧建龍）