孫俊凡

【內(nèi)容摘要】立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，同時(shí)也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，占據(jù)高考數(shù)學(xué)的較高分值，通?？疾轭}目中多個(gè)數(shù)學(xué)板塊之間的內(nèi)在聯(lián)系。因此作為高中生，想要取得立體幾何學(xué)習(xí)的高效性就要重視運(yùn)用解題技巧和方法，在實(shí)踐中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，從而做好數(shù)學(xué)立體幾何問題的有效解析。本文結(jié)合案例來對(duì)立體幾何問題進(jìn)行有效解析，意在激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，提升解題有效性和正確性。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)?有效解析

一、建立空間觀念，激發(fā)想象力

對(duì)于高中數(shù)學(xué)立體幾何的學(xué)習(xí)來講，空間想象力是必須具備的能力，從認(rèn)識(shí)和了解平面圖形到立體幾何圖形學(xué)習(xí)是質(zhì)的飛躍，從直觀到空間，這中間的過程需要憑借學(xué)生對(duì)立體三維空間的想象能力來完成。教師在教學(xué)準(zhǔn)備中會(huì)自制空間幾何模型，并且結(jié)合到相關(guān)的數(shù)學(xué)題目來具體講解反復(fù)讓學(xué)生觀察，這對(duì)于判斷線、面、角之間關(guān)系會(huì)更加明確化、形象化?？偟膩碇v，由于每個(gè)學(xué)生自身認(rèn)知水平和能力的差異性，在學(xué)習(xí)立體幾何有關(guān)的問題中也會(huì)選擇最適合的解題方法，從而在探索中建立相應(yīng)的空間觀念，激發(fā)空間想象力，為解決立體幾何題目打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

為有效增強(qiáng)學(xué)生的空間立體感，在具體訓(xùn)練中可以選擇構(gòu)建簡(jiǎn)單的模型幫助想象和聯(lián)想。比如首先對(duì)長(zhǎng)方體和正方體有所了解，并對(duì)線和面之間的關(guān)系讓學(xué)生進(jìn)行探究，其次延伸到面與面，最后結(jié)合具體的立體幾何圖形進(jìn)行拓展延伸，從而有效解題。此外，學(xué)生根據(jù)題目來描繪立體幾何圖形的能力要加以培養(yǎng)，保證學(xué)生在面臨幾何問題能夠找到突破口，輔助自身想象的支撐點(diǎn)，為切實(shí)解決問題創(chuàng)造相應(yīng)的便利條件。

二、運(yùn)用函數(shù)思想來有效解題

函數(shù)思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)階段，具體是依靠定量和變量之間的復(fù)雜變化關(guān)系來對(duì)數(shù)學(xué)問題加以分析、解決。在立體幾何問題中，分析其中的數(shù)量關(guān)系，借助函數(shù)思想建立和構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，并且對(duì)抽象的空間關(guān)系加以具體化和直觀化，最終實(shí)現(xiàn)成功解決題目。這對(duì)于學(xué)生的思維能力具有一定要求，必須具備嚴(yán)謹(jǐn)縝密的邏輯思維能力，全面分析幾何問題中的內(nèi)在關(guān)系，尤其要重視對(duì)函數(shù)關(guān)系的建構(gòu)，以抽絲剝繭的層次漸進(jìn)方法分離出本質(zhì)。

在高中數(shù)學(xué)教材立體幾何例題中，就運(yùn)用到了以函數(shù)思想來解決問題的案例：如圖1所示，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上的一點(diǎn)，若∠BAC=α，同時(shí)PA=PB=2r，求異面直線PB和AC之間的距離。

在題目解析過程中，首先就要對(duì)圖形中各個(gè)線與面的關(guān)系加以分析，從而通過給出的圖形對(duì)異面直線PB和AC的關(guān)系就是將直線PB上任何一點(diǎn)到直線AC之間距離的最小值求出，并對(duì)題目中的定量和變量建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系。首先設(shè)定直線PB上任意一點(diǎn)為M，并使得MD和AC垂直于D，同時(shí)MH和AB垂直于H，假如MH設(shè)為x，同時(shí)MH垂直于平面圓O，同時(shí)AC和HD垂直。我們可以得出以下等式MD2=x2+[（2r-x）sinα]2=（sin2a+1）x2-4rxsin2α+ 4r2sin2α=（sin2α+1）[x-2rsin2α/（1 +sin2α）]2 + 4r2sin2/（1+sin2α）。

只有當(dāng)x=2rsin2α/（1+sin2α）時(shí)，MD值最小，可以得出異面直線PB和直線AC的距離，這種題目是有著統(tǒng)一的解答類型，主要是對(duì)兩條異面直線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，向異面直線上兩點(diǎn)之間的距離變換，對(duì)其最小值進(jìn)行求解。利用函數(shù)的性質(zhì)關(guān)系作為解析方法，因此函數(shù)思想常常被運(yùn)用于立體幾何中。

三、發(fā)散思維，綜合運(yùn)用多種解題方法

由于立體幾何的學(xué)習(xí)和多種數(shù)學(xué)模塊有聯(lián)系，因此學(xué)生解題思路要打開，從多個(gè)角度看給出的題干，不能呈現(xiàn)固定化思維模式。比如將函數(shù)、向量、數(shù)列等多項(xiàng)知識(shí)體系融為一體解決立體幾何問題。例如在求解最值問題上，如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長(zhǎng)為3，其中點(diǎn)E存在于棱AA1上，并且已知線段A1E的長(zhǎng)度為l，點(diǎn)F是截面A1BD上一個(gè)不斷移動(dòng)的點(diǎn)，求解線段AF與EF之間的最小值是多少。思考這一問題，首先通過分析題目我們能夠得出要想求解線與線之間的關(guān)系就要轉(zhuǎn)化為線與面，點(diǎn)與面的關(guān)系。

首先在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)畫出虛擬平面CD1B1，明顯從圖中看出平面A1BD//平面CB1D1，兩者是相互平行的關(guān)系，因此可以試著連線AC1，產(chǎn)生與平面B1D1C之間的交點(diǎn)設(shè)為G，再連接平面BDA1與EG，產(chǎn)生的交點(diǎn)設(shè)為F，此時(shí)由于GE與A1C1所在的平面平行，因此兩天直線存在平行關(guān)系，因此能夠求出線段AF和FE之間的最小值為GE，并且GE=2A1C1/3=22。從最值問題的求解中，體現(xiàn)出綜合解題方法的思想，尤其是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要積極發(fā)散思維，綜合運(yùn)用多種解題技巧找到題目的突破口，更好地完成對(duì)立體幾何題目的求解，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要模塊，在實(shí)踐解題過程中最常用的就是空間圖形解題和函數(shù)思想、向量思想解題，從我們對(duì)上述的案例解析中發(fā)現(xiàn)，高中生一定要具備一定的空間想象能力，找出線與線、線和面之間的具體關(guān)系，從而對(duì)高中數(shù)學(xué)立體幾何問題進(jìn)行有效解析。

（作者單位：山東省淄博市博山區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）