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      奇、偶項(xiàng)為不同數(shù)列型問(wèn)題的探究

      2018-01-05 09:58:06江蘇省徐州市第三中學(xué)
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年23期
      關(guān)鍵詞:項(xiàng)為項(xiàng)數(shù)奇數(shù)

      ☉江蘇省徐州市第三中學(xué) 趙 勇

      奇、偶項(xiàng)為不同數(shù)列型問(wèn)題的探究

      ☉江蘇省徐州市第三中學(xué) 趙 勇

      在處理奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)為不同類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和中,由于學(xué)生在進(jìn)行奇、偶討論時(shí)經(jīng)常會(huì)錯(cuò)把n當(dāng)成了奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列、偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù),從而產(chǎn)生錯(cuò)解.下面通過(guò)舉例,對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)探究,以期對(duì)學(xué)生解答此類問(wèn)題有所有助,從而有效避錯(cuò).

      題目已知由整數(shù)組成的數(shù)列{an}各項(xiàng)均不為0,其前n項(xiàng)和為Sn,且a1=a,2Sn=anan+1.

      (1)求a2的值;

      (2)求{an}的通項(xiàng)公式;

      (3)若n=15時(shí),Sn取得最小值,求a的值.

      一、通項(xiàng)問(wèn)題

      第(1)問(wèn),較為簡(jiǎn)潔,直接利用賦值法即可求解.

      因?yàn)?Sn=anan+1,所以2S1=a1a2,即2a1=a1a2,因?yàn)閍1=a≠0,所以a2=2.

      第(2)問(wèn),給出與前n項(xiàng)和Sn有關(guān)的關(guān)系式,通常利用公式求解.本題也不例外.

      因?yàn)?Sn=anan+1,所以2Sn-1=an-1a(nn≥2),兩式相減,得到2an=a(nan+1-an-1).因?yàn)閍n≠0,所以an+1-an-1=2.所以{a2k-1},{a2k}都是公差為2的等差數(shù)列.

      此時(shí)學(xué)生易給出錯(cuò)誤答案:

      原因是機(jī)械地套用了等差數(shù)列通項(xiàng)公式,錯(cuò)誤地認(rèn)為奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)均為n.

      為了充分認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的原因,我們可列舉數(shù)列的有限項(xiàng),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),如取n=11,得a,2,a+2,4,a+4,6,a+6,8,a+8,10,a+10,則奇數(shù)項(xiàng)為a,a+2,a+4,a+6,a+8,a+10,共6項(xiàng),并不是10,項(xiàng)數(shù)所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

      同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),如取n=10,得a,2,a+2,4,a+4,6,a+6,8,a+8,10,則偶數(shù)項(xiàng)為2,4,6,8,10,共5項(xiàng),項(xiàng)數(shù)為所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

      二、求和問(wèn)題

      奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)為不同類型的數(shù)列求和問(wèn)題,應(yīng)對(duì)奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別求和,再相加.求解中注意對(duì)奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列與偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的準(zhǔn)確把握.

      三、求最值

      數(shù)列的最值問(wèn)題,以等差數(shù)列為例,若首項(xiàng)為正,且公差小于0,則前n項(xiàng)和有最大值,此時(shí)n的值可由an≥0求解.同理,若首項(xiàng)為負(fù),且公差大于0,則前n項(xiàng)和有小值,此時(shí)n的值可由an<0求解.當(dāng)然也可以利用前n項(xiàng)和的二次函數(shù)性質(zhì)來(lái)求解.

      第(3)問(wèn),方法1:因?yàn)?Sn=anan+1,由(2)知,an=

      注意到所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增的,所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增的.

      當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an>0,所以此時(shí)Sn>Sn-1,所以S15為最小值等價(jià)于S13≥S15,S15≤S17,所以a14+a15≤0,a16+a17≥0,所以14+15+a-1≤0,16+17+a-1≥0,解得-32≤a≤-28.

      因?yàn)閿?shù)列{an}是由整數(shù)組成的,所以a∈{-32,-31,-30,-29,-28}.

      又因?yàn)閍n≠0,所以對(duì)所有的奇數(shù)n,an=n+a-1≠0,所以a不能取偶數(shù),所以a=-31,或a=-29.

      方法2:因?yàn)镾15為最小值,此時(shí)n為奇數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道,有,解得-32≤a≤-28.

      因?yàn)閿?shù)列{an}是由整數(shù)組成的,所以a∈{-32,-31,-30,-29,-28}.

      又因?yàn)閍n≠0,所以對(duì)所有的奇數(shù)n,an=n+a-1≠0,所以a不能取偶數(shù),所以a=-31,或a=-29.

      經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)Sn為最小值,所以a=-31,或a=-29.

      變式探究:若數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則數(shù)列{an}的前60項(xiàng)和為__________.

      解析:本題是填空題,故可以采用歸納的方法來(lái)尋找解題規(guī)律,當(dāng)然它也可以用迭代法來(lái)求解.

      由題意可知,a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,…,所以a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,…,從第一項(xiàng)開始,依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和等于2,從第二項(xiàng)開始,依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8為首項(xiàng),以16為公差的等差數(shù)列,所以

      綜上,解決奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)為不同數(shù)列問(wèn)題的思想方法主要有分類討論思想、整體思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,具體求解中,通常需要利用列舉、合情推理或迭代的方法來(lái)尋找相鄰幾項(xiàng)的規(guī)律,進(jìn)而明確數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì).

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