例說充分條件、必要條件常見判斷法

夏鴻鑫

充分條件、必要條件的判斷是“常用邏輯用語”中的重點也是難點，學生對此類問題以猜、估為主，因而常常出錯，對此，本文用一例談談充分條件、必要條件六種常見判斷方法.

例指出下列命題中，p是q的什么條件（填“充分必要條件”“必要不充分條件”“充分不必要條件”或“既不充分也不必要條件”之一）.

（1）p：a+b+c=0，q：1是方程ax2+bx+c=0的一個根.

（2）p：x≠2或y≠3，q：x+y≠5.

（3）p：m+3<0，q：方程x2-x-m=0沒有實數(shù)根.

（4）p是r的充要條件，r是s的必要不充分條件，s是q的必要條件.

（5）p：|x|<1，|y|<1，q：|x+y|+|x-y|<2.

（6）p：α，β是第一象限角，α>β，q：α，β是第一象限角，tanα>tanβ.

解（1）定義法：

若a+b+c=0，有a×12+b×1+c=0，則1是方程ax2+bx+c=0的一根，即pq；

反之，若1是方程ax2+bx+c=0的一根，有a×12+b×1+c=0，則a+b+c=0，即qp.

故p是q的充分必要條件.

評注：判斷p是q的什么條件，通常是根據(jù)充分、必要條件的定義分析判斷，由p成立時，能否推出q成立，得到是否具有充分性；反過來，q成立時，能否推出p成立，得到是否具有必要性.

（2）等價命題法：

瘙 綈 p：x=2且y=3，

瘙 綈 q：x+y=5，顯然有

瘙 綈 p

瘙 綈 q且

瘙 綈 q

瘙 綈 p，即qp且pq，故p是q的必要不充分條件.

評注：當含有命題否定形式時，可利用互為逆否命題同真同假進行轉(zhuǎn)化后加以判斷.

（3）集合法：

p的真值集合為A={|m<-3}，由方程x2-x-m=0沒有實數(shù)根得Δ=（-1）2-4（-m）<0，即m<-14，則q的真值集合為B=mm<-14，顯然AB，故p是q的充分不必要條件.

評注：滿足條件p的元素構(gòu)成集合P，即P={x|p（x）}，滿足條件q的元素構(gòu)成Q，即Q={x|q（x）}.條件p與q的關(guān)系也可根據(jù)集合P，Q之間的關(guān)系加以判斷.

集合P，Q關(guān)系條件p與q的關(guān)系

PQp是q的充分條件

QPq是p的充分條件

PQp是q的充分不必要條件

QPq是p的充分不必要條件

P=Qp是q的充要條件

PQ且QPp是q的既不充分也不必要條件

（4）傳遞法：

由題意，pr，sr，但rs，qs，

從而有qsrp，但pq，

所以p是q的必要不充分條件.

評注：由充分條件、必要條件概念知，如果pq，qr，rs，st，則pt，也就是p是t的充分條件，這一點類似于等量（不等量）傳遞性.

（5）圖形法：

由題意，|x|<1，|y|<1，是中心在原點邊長為2的正方形內(nèi)部區(qū)域（不包括邊界）.

|x+y|+|x-y|<2，在第一象限內(nèi)：

① 當x>0，y>0，x>y，得x<1；

② 當x>0，y>0，x

圖1

圖2

然而，根據(jù)對稱性得到整個區(qū)域是中心在原點，邊長為2的正方形內(nèi)部區(qū)域（不包括邊界），兩個區(qū)域完全一致，所以p是q的充要條件.

評注：命題p，q所表示的元素是點集時，可考慮作出它們對應的區(qū)域（圖形），再比較區(qū)域（圖形）之間的包含關(guān)系.

（6）特取法：

如，α=361°，β=89°，α>β/tanα>tanβ，

反過來，α=89°，β=361°，tanα>tanβ/α>β，

即p/q，且q/p，故p是q的既不充分也不必要條件.

評注：對于不能推斷出的命題，可以舉出反例（哪怕只有一個）即可.

鞏固指出下列命題中p是q的什么條件（填“充分必要條件”“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分也不必要條件”之一）.

（1）設(shè)實數(shù)a>1，b>1，p：aa-b.

（2）p：a≠β，q：tanα≠tanβ.

（3）p：函數(shù)y=2x+m-1（m∈R）有零點，

q：函數(shù)y=logmx（m>0且m≠1）在（0，+

SymboleB@ ）上為減函數(shù).

（4）在△ABC中，a，b，c是A，B，C的對邊，p：A>B，r：a>b，q：sinA>sinB.

（5）設(shè)a>0，b>0，p：a2+b2<1，q：ab+1>a+b.

（6）設(shè)x∈R，p：1

答案（1）充分必要條件；

（2）必要不充分條件；

（3）必要不充分條件；

（4）充分必要條件；

（5）充分不必要條件；

（6）既不充分也不必要條件.