王樹峰

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生思維的發(fā)展. 本文立足于數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，通過問題的變式教學(xué)，針對性地發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、發(fā)展性、靈活性和創(chuàng)造性.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);變式教學(xué);數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)的本質(zhì)其實(shí)就是一種思維，因此我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與發(fā)展，課程標(biāo)準(zhǔn)也明確將思維能力的發(fā)展設(shè)定為基本的教學(xué)目標(biāo). 筆者教學(xué)過程中，積極開展變式教學(xué)，力爭讓學(xué)生思維更具發(fā)展性、深刻性、靈活性以及創(chuàng)造性，為了達(dá)到上述目的，我們也要優(yōu)化我們的變式教學(xué)，讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)問題的探索性和拓展性，這樣的教學(xué)才能更加有效地把握學(xué)生的心弦，從而讓我們的課堂更加富有生機(jī)與活力.

通過變式突出問題本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性

解題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方式，也是高考復(fù)習(xí)的重要活動. 當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)存在的最大問題是：教師忽視學(xué)生解題之后的反思過程，很少對問題進(jìn)行變式和引申處理，以至于學(xué)生都不清楚問題是怎樣編制而成的，他們也不清楚問題還有怎樣一些變化和發(fā)展. 對此，筆者認(rèn)為，我們要在已有問題的基礎(chǔ)上多角度、多層次地進(jìn)行變化，通過變化和引申突出問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思考和分析問題的能力.

這個問題實(shí)際上是在研究函數(shù)的值域，在處理過程中，我們也可以通過求導(dǎo)，明確函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而完成值域的確定. 在實(shí)際教學(xué)中，我們可以通過變式處理，推動學(xué)生的思想向更加深入的領(lǐng)域發(fā)展.

上述問題的變式處理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化與再創(chuàng)造的過程，由此讓學(xué)生深刻領(lǐng)會到數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

在變式中揭示問題聯(lián)系，提升學(xué)生思維的發(fā)展性

變式教學(xué)的一大重要作用是可以向?qū)W生展示問題的演變過程，這樣學(xué)生將從中發(fā)現(xiàn)不同問題之間的關(guān)聯(lián)，由此學(xué)生的思維將更具發(fā)展性，當(dāng)他們在以后的學(xué)習(xí)過程中遇到一些陌生問題時(shí)，他們也能對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和處理，進(jìn)而促成問題的簡化解決.

以上問題的變換都對條件和形式進(jìn)行了調(diào)整，在具體問題處理時(shí)需要學(xué)生能夠以更加開放的視野、更加變通的理念來探索問題的解決思路，我們在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行思考，并深入展開研究，要讓學(xué)生在對問題進(jìn)行分析和對比的過程中不僅能發(fā)現(xiàn)問題的變化，更要看到問題的聯(lián)系，這樣才能讓學(xué)生的思維能力在分析鑒別、解題反思中獲得提升和優(yōu)化.

通過變式展示問題多樣化，提升學(xué)生思維的靈活性

思維僵化、操作機(jī)械是學(xué)生處理數(shù)學(xué)問題的最大缺陷，這種情況其實(shí)也是盲目進(jìn)行題海訓(xùn)練的結(jié)果. 在教學(xué)過程中，我們通過變式處理向?qū)W生展示問題的多樣化，由此來訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，讓學(xué)生面對問題時(shí)能夠有條不紊地靈活應(yīng)對，進(jìn)而讓學(xué)生的問題解決更加靈活而高效.

例3：求函數(shù)y=3x-x3，x∈（0，+∞）的最大值.

解析：本題的處理可用求導(dǎo)來進(jìn)行. y′=3-3x2=3（1-x）（1+x），當(dāng)x∈（0，1），有y′>0，當(dāng)x∈（1，+∞），有y′<0，因此ymax=f（1）=2.

變式1：求證：nx-xn≤n-1，其中x∈（0，+∞），且n∈N*.

本變式的處理就是將不等式的左側(cè)視為一個函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識求解對應(yīng)區(qū)間的最大值.

變式2：已知x，y∈R+，且m+n=1，mn<0，m，n∈Z，求證：xn·ym≥nx+my.

課改理念指引下的數(shù)學(xué)課堂非常強(qiáng)調(diào)對習(xí)題和例題的功能進(jìn)行深度挖掘，這樣的操作不僅能讓學(xué)生以更加主動的姿態(tài)進(jìn)行學(xué)習(xí)，同時(shí)學(xué)生也不會再停留于簡單而膚淺的互動上. 我們希望變式處理之后的例題能夠讓學(xué)生在課堂上發(fā)揮最大程度的思維碰撞，而這體現(xiàn)在學(xué)生上課過程的聚精會神和炯炯有神上，體現(xiàn)在解決問題時(shí)的冷靜與沉思上，體現(xiàn)在問題解決之后的總結(jié)和反思上.

例4：△ABC的三個內(nèi)角都不是直角，求證：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.

通過以上兩組問題的比較，我們可以發(fā)現(xiàn)：tanα+tanβ+tanγ=tanα·tanβ·tanγ成立的充要條件為：α+β+γ=kπ，k∈Z，由此可以引申為很多豐富的變式.

變式5：求證：3+tan（A+60°）+tan（A-60°）+tanAtan（A+60°）+tanAtan（A-60°）=0.

在組織數(shù)學(xué)例題的教學(xué)過程中，教師會引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一般化的解題規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問題分析的通性與通法. 但是在教學(xué)中，我們同樣要讓學(xué)生明確，通性與通法都是從特殊例題和習(xí)題中總結(jié)出來的，面對不同的問題，我們不能生搬硬套現(xiàn)成的結(jié)論，而要指導(dǎo)他們對問題進(jìn)行重新的分析和處理，讓學(xué)生在具體的操作過程中領(lǐng)會到方法上一致性或差異性. 這也就是我們進(jìn)行變式教學(xué)最根本的目的.

引導(dǎo)學(xué)生自主變式，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

變式教學(xué)的主體依然是學(xué)生，我們在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生自主對問題進(jìn)行變式處理，讓學(xué)生以命題者的身份參與解題教學(xué)中，這樣的角色互換能夠幫助學(xué)生深刻揣摩命題老師的意圖，而且換個角度來研究問題還有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生更加深刻而全面的認(rèn)識，學(xué)生的創(chuàng)造性思維也將由此而獲得發(fā)展.

有學(xué)生在問題分析的過程中指出，可以將上題中的四面體轉(zhuǎn)化為一個棱長等于1的正方形，這樣問題就演變?yōu)榍蠼庹襟w的外接球表面積，處理將更加簡單. 學(xué)生這樣的處理不僅簡化了問題處理，同時(shí)也給予了筆者進(jìn)行變式教學(xué)的靈感，當(dāng)然筆者沒有急于將變式問題說出來，而是鼓勵學(xué)生自己參與問題的變式處理. 在筆者的啟發(fā)下，有學(xué)生設(shè)計(jì)出如下一些問題.

變式2：現(xiàn)有四面體ABCD，AB=CD，AC=BD，AD=BC，求證：該四面體的四個面都是銳角三角形.

新課程改革強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生深入?yún)⑴c每一個教學(xué)環(huán)節(jié)，因此我們引導(dǎo)學(xué)生參與變式問題的設(shè)計(jì)，或是結(jié)合學(xué)生所提出的想法來進(jìn)行變式問題的設(shè)計(jì)，這將對學(xué)生的思維產(chǎn)生更加深入的激發(fā)效果，學(xué)生的思維能力也將因此而得到提升.

最后針對變式教學(xué)，我們還需關(guān)注以下幾點(diǎn)：

（1）我們的變式教學(xué)應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的具體情況采用與之適應(yīng)的教學(xué)策略;

（2）變式教學(xué)應(yīng)該控制容量，我們必須承認(rèn)很多數(shù)學(xué)問題有著極大的延展空間，但是如果超過一定容量，則反而不易顯示其效果;

（3）教材中的例題和高考試題都具有一定的代表意義，教師依托這些問題展開變式教學(xué)有助于學(xué)生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的困擾，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果;

（4）求異和求變可以增強(qiáng)學(xué)生知識的遷移能力，我們要引導(dǎo)學(xué)生在反思中有效積累，并借此獲得提升.