黃民海

【摘要】命題證明是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的難點。文章對數(shù)學(xué)分析中的幾種證明方法進(jìn)行了深入分析，并通過例證加以說明。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；驗證性證明；引用性證明；構(gòu)造性證明；反證法

一、引言

數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)類各專業(yè)非常重要的一門基礎(chǔ)課，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程必備的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)分析內(nèi)容博大精深，邏輯性與系統(tǒng)性很強(qiáng)，其中包含大量的命題證明. 命題證明是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中很重要的內(nèi)容，一直是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的難點. 多數(shù)學(xué)生對于命題證明的學(xué)習(xí)普遍感到艱難，作業(yè)中的命題證明錯漏百出. 因此，如何教好“命題證明”是一個值得研究的課題. 數(shù)學(xué)命題的證明方法各式各樣，許多學(xué)者對于命題證明方法進(jìn)行了很有意義的探索. 本文僅就數(shù)學(xué)分析中常見的幾種基本證明方法——驗證性證明、引用性證明、構(gòu)造性證明和反證法進(jìn)行深入分析，并通過例證加以說明.

二、幾種證明方法分析

（一）驗證性證明

驗證性證明方法可看是演繹性證明方法的一種形式. 這種證明方法主要是針對與“定義”或公式法則有關(guān)的命題，證明的關(guān)鍵在于“驗證”. 有關(guān)數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)一致連續(xù)、函數(shù)可導(dǎo)性、函數(shù)列一致收斂等等方面的許多命題，都可以歸結(jié)為驗證性證明.

例1：證明.

證明：任意正數(shù)，由可得. 因此，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，根據(jù)“”定義，得證.

本題的證題方法在于“驗證”數(shù)列以1為極限這一事實，即驗證其滿足數(shù)列極限的“”定義. 至于在證明過程中是利用分析演繹法還是利用綜合演繹法，結(jié)果都是在說明其滿足數(shù)列極限的“”定義，從而證明了數(shù)列以1為極限.

例2：證明在上一致連續(xù).

證明：任意，有，對任意正數(shù)，存在使得對任意，只要，就有，根據(jù)函數(shù)一致連續(xù)的定義，在上一致連續(xù).

本題的證題方法也在于“驗證”函數(shù)在上滿足一致連續(xù)的定義，證明的過程就在于“驗證”.

例3：設(shè)，證明：.

本題的證題方法可以通過復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式和法則，計算幾個偏導(dǎo)數(shù)來證明等式成立，本質(zhì)也屬于“驗證”.

（二）引用性證明

引用性證明方法，顧名思義，是一種引用定理、性質(zhì)或公式來證明命題的方法. 在數(shù)學(xué)分析中，這種證明方法可謂司空見慣，許多性質(zhì)、定理、法則或公式的應(yīng)用命題，都可以看作是引用性證明. 這類命題證明的關(guān)鍵在于說明命題符合引用的條件，從而得到相應(yīng)的結(jié)論.

例4：證明方程至少有一個實根.

證明：顯然，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又，根據(jù)根的存在定理，方程在上至少有一個根，即方程至少有一個實根.

本題的證題方法引用了連續(xù)函數(shù)的零點定理或稱根的存在定理.

例5：若與在可積，則

證明：根據(jù)定積分的性質(zhì)，對任意實數(shù)，函數(shù)在上可積，且有即. 注意到，定積分的值是一個確定的實數(shù)，因此，以上不等式左邊是一個關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，有，因此

本題的不等式是著名的許瓦茲（Schwarz）積分不等式，證題方法引用了定積分的和差性質(zhì)、乘積性質(zhì)、積分不等式幾個性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，并注意到定積分是一個確定的實數(shù)這一要素.

例6：設(shè)，且有界，證明收斂.

證明：由已知條件，存在正數(shù)，使得，從而，又已知收斂，由比較原則知收斂.

本題的證題方法引用了正項級數(shù)斂散性判別的比較原則，證明的關(guān)鍵在于比較不等式的確定以及熟知的比較對象的收斂性.

例7：設(shè)，證明數(shù)列極限存在.

本題的證題方法（證明略）會引用到數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，證明的過程在于說明所給的數(shù)列滿足單調(diào)有界定理的條件，即單調(diào)性和有界性.

（三）構(gòu)造性證明

構(gòu)造性證明方法是一種間接性的證明方法，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造區(qū)間套，構(gòu)造數(shù)列等方法來間接完成命題的證明. 這種證明方法往往與命題化歸相聯(lián)系，即將原命題化歸為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的命題，化歸是借助“構(gòu)造”這一橋梁去實現(xiàn)的.

例8：證明拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（?。┖瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；（ⅱ）函數(shù)在開區(qū)間上可導(dǎo). 則在上至少存在一點，使得.

證明：構(gòu)造函數(shù). 容易驗證，函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾（Rolle）定理的條件，從而在上至少存在一點，使得.

本命題的證法是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，將原命題化歸為新命題“在上至少存在一點，使得”，這是羅爾定理的結(jié)論. 本命題構(gòu)造的輔助函數(shù)也可以定義為. 構(gòu)造兩個不同的輔助函數(shù)，都能夠?qū)崿F(xiàn)命題的證明. 兩個輔助函數(shù)在上都滿足羅爾定理的條件，只是其中的條件“區(qū)間端點的函數(shù)值相等”的“函數(shù)值”不同，從幾何直觀上可以看出其中的差異，目的和結(jié)果完全一樣.

例9：證明“不存在處處連續(xù)又處處不可導(dǎo)的函數(shù)”的論斷是錯誤的.

證明：數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Weierstrass）舉出了一個著名的反例：，其中，且. 雖然在上處處連續(xù)，但卻處處無導(dǎo)數(shù).

在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史上，數(shù)學(xué)家們一直猜測：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個點外都是可導(dǎo)的. 但這一猜想是錯誤的，1872年魏爾斯特拉斯給出了以上的構(gòu)造反例. 本題的證法也可稱為反例構(gòu)造法，通過構(gòu)造反例達(dá)到命題的證明. 在有關(guān)否定命題的證明中，往往使用這種方法，它證明了“某命題不成立”為真，反例達(dá)到“四兩撥千斤”的功效.

例10：證明聚點定理：實軸上的任一有界無限點集至少有一個聚點.

本題的證法（證明略）可以通過構(gòu)造區(qū)間套，利用區(qū)間套定理來證明，也可以通過構(gòu)造開覆蓋，再利用有限覆蓋定理證明.

（四）反證法

反證法又稱背理法，是一種常見的論證方式. 反證法首先假設(shè)在原命題的題設(shè)下，結(jié)論不成立，然后推理出與已知條件或已知定理明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說假設(shè)不成立，原命題得證. 反證法與歸謬法相似，數(shù)學(xué)分析中并沒有給予嚴(yán)格區(qū)分.

例11：證明：若函數(shù)在上連續(xù)，且，則.

證明：假定不成立，即存在某，使得，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在的某鄰域，使在其上有. 由定積分的性質(zhì)推知. 這與已知條件相矛盾，所以.

本題的證法是在假設(shè)結(jié)論不成立的前提下，推導(dǎo)出與已知條件“”相矛盾的結(jié)果.

例12：設(shè)，證明不存在優(yōu)級數(shù).

證明：假定在上存在優(yōu)級數(shù)，取，則，根據(jù)比較原則，由收斂得知，這與已知的調(diào)和級數(shù)發(fā)散矛盾，因此不存在優(yōu)級數(shù).

本題的證法是在假設(shè)結(jié)論不成立的前提下，推導(dǎo)出與已知的結(jié)論“調(diào)和級數(shù)發(fā)散”相矛盾的結(jié)果.

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)分析中的命題證明方法花樣繁多，錯綜復(fù)雜，證明過程中也含有豐富的數(shù)學(xué)思想和方法技巧. 除了文中提及的證法，還有課程中較少使用的數(shù)學(xué)歸納法、解釋性證法以及幾種方法的結(jié)合，等等. 某一命題可能有多種證法，而一種證法也不一定教條化地歸結(jié)為某類證法. 文中例8的證法也可以看作是引用性證法. 證法的分類只是一種模式化的簡單概括，沒有指定哪個命題一定要用哪種方法去證明的，只有真正掌握各種證明方法的本身，才能靈活地證明數(shù)學(xué)分析中的各種命題.

【參考文獻(xiàn)】

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