李織蘭+劉丹

【摘要】本文結(jié)合《圓的周長》一課的教學(xué)片段論述教師在教學(xué)過程中可能出現(xiàn)沒有注意培養(yǎng)學(xué)生的“四能”、使用教材時(shí)脫離“四基”等問題，論述教師可通過運(yùn)用類比教學(xué)方法、提出問題并解決問題、親手實(shí)驗(yàn)探索并歸納規(guī)律開展教學(xué)，從而提高學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生感受到生活中的變與不變，感悟數(shù)學(xué)中的守恒美。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 《圓的周長》 磨課 變與不變

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）12A-0082-03

最近我們有幸在“桂林市農(nóng)村小學(xué)全科教師專業(yè)發(fā)展論壇”教研活動中展示人教版《圓的周長》一課。磨課階段，“推導(dǎo)圓的周長公式”這一教學(xué)片段試教的效果與之前的預(yù)設(shè)有相當(dāng)一段距離，我們仔細(xì)推敲后發(fā)現(xiàn)教師有很多細(xì)節(jié)沒有處理好。于是，我們認(rèn)真解讀課標(biāo)，深入鉆研教材，提煉思想方法，滲透數(shù)學(xué)文化，對一些細(xì)節(jié)進(jìn)行改善，“一課多磨”，展示課終取得了良好的教學(xué)效果，獲得參加論壇的專家和教師的好評。作為執(zhí)教老師的指導(dǎo)教師，筆者現(xiàn)將磨課過程整理如下。

我們進(jìn)行的磨課的過程如下所示：

[原行為階段]

師：我們已經(jīng)知道正方形的周長與它的邊長有關(guān)，正方形的周長是邊長的4倍，圓的周長是否也與圓內(nèi)某線段長有關(guān)系呢？

（教師用多媒體演示：以三條不同長度的線段為直徑，分別畫出三個(gè)大小不同的圓。然后把這三個(gè)圓同時(shí)滾動一周，得到了三條線段的長分別就是三個(gè)圓的周長）

師：同學(xué)們看，圓的直徑越短，圓的周長也就？（生：越短）圓的直徑越長，圓的周長也就？（生：越長）這就說明圓的周長肯定與圓的什么有關(guān)系？

生：圓的周長與直徑有關(guān)系。（屏幕顯示這句話）

師：圓的周長與直徑到底有什么關(guān)系呢？這個(gè)問題要同學(xué)們自己去發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)在請同桌分工合作，測量一個(gè)圓片的直徑和周長并計(jì)算出這個(gè)圓片的周長除以直徑所得的商，得數(shù)保留兩位小數(shù)，把數(shù)據(jù)填寫在相應(yīng)的表格中。

（學(xué)生測量、計(jì)算、填表）

師：請每一個(gè)小組依次派一位同學(xué)匯報(bào)你們的數(shù)據(jù)。（生報(bào)數(shù)、師填表）

師：觀察大家匯報(bào)的數(shù)據(jù)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：每個(gè)圓的周長是它的直徑的3倍多一些。

師：這就說明圓的周長除以直徑的商肯定是有規(guī)律的。在我們所測量的這些圓中，每一個(gè)圓的周長都是它直徑的3倍多一些。再看屏幕上這三個(gè)圓的周長與直徑的關(guān)系怎樣呢？（教師用多媒體演示：用每個(gè)圓的周長分別除以它們的直徑，引導(dǎo)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)每個(gè)圓的周長分別是它直徑的3倍多一些。）

師：同學(xué)們，由于測量誤差的原因，計(jì)算不同的圓的周長與直徑的比值可能不完全相同，但實(shí)際上，這個(gè)比值是一個(gè)固定不變的數(shù)，通常我們稱之為“圓周率”，用希臘字母“π”來表示，π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，為了計(jì)算方便，一般我們只取它的近似值，π≈3.14。（板書：圓周率，π≈3.14）

師：剛才我們已經(jīng)知道了圓的周長始終是直徑的π倍，如果已知直徑，怎樣求圓的周長呢？

生：圓的周長=直徑×圓周率。（板書：圓的周長=直徑×圓周率）

師：你能用字母表示圓的周長計(jì)算公式嗎？

生：C=πd。（板書公式：C=πd）

師：如果已知半徑呢？

生：C=2πr。（板書公式：C=2πr）

師：為什么呢？

生：因?yàn)橥粓A的直徑是它半徑的2倍。

[反思與診斷]

這節(jié)課教師利用了學(xué)生已有的關(guān)于圓的某些特性的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)“猜想—驗(yàn)證”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生動手動腦、計(jì)算思考，從而驗(yàn)證結(jié)論，發(fā)揮了學(xué)生的主體性。學(xué)生通過學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，掌握了測量圓的周長、直徑的方法，學(xué)會計(jì)算圓的周長等基礎(chǔ)知識。

我們課后訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對圓周率的認(rèn)識太膚淺、不深刻，反映出教師的教學(xué)有以下一些不足：

（一）沒有從培養(yǎng)“四能”來設(shè)計(jì)教學(xué)活動。這個(gè)教學(xué)片段中，教師讓學(xué)生通過測量周長及直徑長度來驗(yàn)證圓的周長與直徑的關(guān)系，學(xué)生只是在“命令—操作”中學(xué)習(xí)圓周率，在老師的要求下充當(dāng)了一回“操作工”。學(xué)生并不理解為什么要研究“圓的周長與直徑的比值是一個(gè)固定不變的數(shù)”，研究它有什么用處……這只是教師布置給學(xué)生的“任務(wù)”，即課堂帶給學(xué)生的感受是“要我做”。愛因斯坦曾經(jīng)說過：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要?！币虼?，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，變“要我做”為“我要做”是課堂教學(xué)應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)之一。

（二）沒有著眼于落實(shí)“四基”來使用教材。教師采用機(jī)械的方式呈現(xiàn)教材，在“猜想—驗(yàn)證”的環(huán)節(jié)，學(xué)生沒有體會到“測算不同的圓的周長及直徑長度比值”“填數(shù)據(jù)表”的意圖，不明白從數(shù)據(jù)表中找到“任意圓的周長與直徑的比值是固定不變的常數(shù)”的規(guī)律就是歸納法；學(xué)生沒有將“不同的圓”與“變化中的圓”聯(lián)系起來，更加感悟不到“不管圓千變?nèi)f化，它的周長與直徑的比值永遠(yuǎn)是一個(gè)固定不變的常數(shù)”中蘊(yùn)含的“變化中的不變”的數(shù)學(xué)思想以及科學(xué)中的“守恒之美”。如何讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想與方法，積累活動經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？怎樣進(jìn)行教學(xué)才能讓學(xué)生從教師的類比、歸納等方法得到數(shù)學(xué)方法的熏陶？

（三）實(shí)驗(yàn)結(jié)果和學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)很難解釋“任意圓的周長與直徑的比值是固定不變的常數(shù)”，如何幫助學(xué)生認(rèn)識到“圓的周長與直徑的比值是固定不變的常數(shù)”對“每一個(gè)圓、所有的圓、任意的圓”都成立呢？

（四）沒有挖掘數(shù)學(xué)文化的功能，沒有較好地實(shí)現(xiàn)無形的數(shù)學(xué)文化與有形的知識技能的完美結(jié)合。

經(jīng)過議課，我們達(dá)成如下共識：

本節(jié)課需要完成的基本教學(xué)任務(wù)之一是認(rèn)識圓周率是“一個(gè)固定不變的數(shù)”，理解已知圓的直徑（或半徑）就能計(jì)算圓的周長，從而推導(dǎo)圓的周長計(jì)算公式。通過對不同圓形物品的周長與直徑的測量及比值的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)千變?nèi)f化的圓的周長與其直徑的比是一個(gè)固定不變的數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而推導(dǎo)出圓的周長公式，在這個(gè)過程中，學(xué)生學(xué)會用實(shí)驗(yàn)歸納的方法探究數(shù)學(xué)規(guī)律，領(lǐng)悟變化中的不變就是規(guī)律，發(fā)現(xiàn)并欣賞到數(shù)學(xué)中“變化中的不變”帶來的“守恒”之美。endprint

我們可以采用動態(tài)幾何工具“幾何畫板”改變圓的大小和位置，讓學(xué)生看到“千變?nèi)f化的圓”，觀察到“圓的周長與直徑的比值”是不變的。

[新行為階段]

1.類比搭橋，問題鋪路

（教師用多媒體演示：在幾何畫板上作一個(gè)動態(tài)的正方形，測量其周長與邊長，計(jì)算其周長與邊長的比值，拖動正方形的各個(gè)頂點(diǎn)并重復(fù)上述測算）

師：什么在變？（生：正方形的大小和位置都發(fā)生了變化）什么不變？（生：正方形的周長與邊長的比值沒有變化，它恒等于4）無論正方形怎么變，它的周長始終是它的邊長的4倍，從而得到正方形的周長公式：正方形的周長=邊長×4。

（教師用多媒體演示：在幾何畫板上作一個(gè)動態(tài)的長方形，測量其周長、長與寬，計(jì)算其周長與長的比值，周長與寬的比值，拖動長方形的各個(gè)頂點(diǎn)并重復(fù)上述測算）

師：什么在變？（生：長方形的大小、長寬和位置發(fā)生了變化，長方形的周長與長的比值、長方形的周長與寬的比值也在變化）那么只知道長方形的長或?qū)?，能?jì)算出周長嗎？（生：不能）再計(jì)算長方形的周長與長加寬的和的比值，觀察得出該比值恒等于2，從而我們有公式：長方形的周長=（長+寬）×2。

師：“變化中的不變”就是規(guī)律，找到了這樣的規(guī)律，就能發(fā)現(xiàn)公式、法則、性質(zhì)；尋找不變量不僅是數(shù)學(xué)研究的任務(wù)，還是科學(xué)研究和社會研究的任務(wù)；“變化中的不變”也是守恒，守恒是一種美麗，這節(jié)課我們也要去發(fā)現(xiàn)和欣賞這種數(shù)學(xué)之美。

師：我們現(xiàn)在的任務(wù)是尋求一個(gè)計(jì)算圓的周長的方法。我們應(yīng)該先研究什么問題？

生：正方形的周長總是它邊長的4 倍，我們要研究圓的周長與直徑是否存在這樣的倍數(shù)關(guān)系，這樣我們就可以根據(jù)直徑計(jì)算出圓的周長，從而可以得到圓的周長計(jì)算公式。

生：我覺得千變?nèi)f化的圓，圓的周長與直徑的比值應(yīng)該是一個(gè)不變的數(shù)。

師：我們?nèi)绾蝸眚?yàn)證你的猜想呢？

[評析]

歐拉曾說：“類比是偉大的引路人?！币簿褪钦f，類比可看成一種富有啟發(fā)性的科學(xué)猜想方法。在教學(xué)中，教師應(yīng)有針對性、有意識地根據(jù)教學(xué)內(nèi)容挖掘教材中的圓周率的概念、圓的周長公式蘊(yùn)含的類比思想方法，精心策劃，巧妙而深刻地類比搭橋，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，有意識地培養(yǎng)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力。

數(shù)學(xué)中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一。數(shù)學(xué)研究變化，卻以找到其中的不變性作為歸宿，尋求數(shù)學(xué)中無處不在的不變性質(zhì)從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，是把握數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。在紛繁的變化中，我們把握其中的不變量和不變性質(zhì)，領(lǐng)略不變量和不變性的內(nèi)在魅力，感受“守恒”的數(shù)學(xué)之美，顯示數(shù)學(xué)智慧之光。

2.實(shí)驗(yàn)歸納，探索規(guī)律

師：現(xiàn)在請同桌分工合作，每位同學(xué)測量一個(gè)圓片物品的直徑與周長，并計(jì)算出該圓片的周長除以直徑所得的商，得數(shù)保留兩位小數(shù)，并把數(shù)據(jù)填寫在相應(yīng)的表格中。

（學(xué)生測量、計(jì)算、填表）

師：請四位同學(xué)依次匯報(bào)一下你們的數(shù)據(jù)。

（生報(bào)數(shù)、師填表）

師：觀察他們匯報(bào)的數(shù)據(jù)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：他們的商都是三點(diǎn)一幾。

師：也就是每個(gè)圓的周長大約是它直徑的3倍多一些。其他小組你們每個(gè)圓的周長與直徑的關(guān)系也是這樣嗎？四人小組相互交流一下。

（生小組交流）

師：每組選派一名代表匯報(bào)一下，你們測量的圓的周長與直徑的關(guān)系怎樣。

生1：我們這個(gè)小組每個(gè)圓的周長也是直徑的3倍多一些。

生2：我們這個(gè)小組圓的周長與直徑的關(guān)系也是這樣。

……

師：凡是通過測量計(jì)算發(fā)現(xiàn)你的圓的周長是直徑的3倍多一些的同學(xué)請舉手。

（大多數(shù)學(xué)生舉起了手）

師：通過對不同圓形物品的周長與直徑的測量、周長與直徑的比值的計(jì)算，在我們所測量的這些圓中，這些圓是不同的、變化的，但是圓的周長都是它直徑的3倍多一些。

師：如果再換成其他的圓來度量或者計(jì)算的話，同學(xué)們還會發(fā)現(xiàn)，圓的周長還是它直徑的3倍多一些。我們可以用歸納的方法來概括圓周長與直徑的關(guān)系嗎？

生：圓的周長也是它直徑的3倍多一些。

師：同學(xué)們，由于測量誤差的原因，計(jì)算不同的圓的周長與直徑的比值可能不完全相同。看看屏幕上這個(gè)圓的周長與直徑的關(guān)系是怎樣的。

（教師用多媒體演示：在幾何畫板上作一個(gè)動態(tài)的圓，測量圓的直徑和周長，計(jì)算其周長與直徑的比值，精確到百分位，變化圓的大小和位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察，千變?nèi)f化的圓，它的周長都是它直徑的3.14倍）

師：不管是大圓還是小圓，不管圓在什么位置，每一個(gè)圓的周長和這個(gè)圓的直徑的比值都是一個(gè)固定不變的數(shù)，我們通常稱之為“圓周率”，用希臘字母“π”來表示，“π”是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，為了計(jì)算方便，一般我們只取它的近似值，π≈3.14。（板書：圓周率，π≈3.14）

師：2 400多年前，我國著名思想家墨子寫了這么一句話：大圓之圓與小圓之圓同。通過今天的學(xué)習(xí)，你對圓又有了哪些新的認(rèn)識？現(xiàn)在再來看“大圓之圓與小圓之圓同”這句話，這個(gè)“同”字還指什么相同？

生：不管是大圓還是小圓，圓周率都相同。

師：我們千方百計(jì)地研究圓周率，那么這個(gè)圓周率到底有什么用呢？

生：知道圓周率，就可以計(jì)算出圓的周長。

師：你的意思是，只要知道圓周率就能計(jì)算圓的周長，不需要其他條件了？

生：不是，還要知道圓的直徑或半徑。

師：知道直徑怎樣求圓的周長？知道半徑呢？

生1：因?yàn)閳A周率是周長除以直徑的商，所以圓周率與直徑相乘的積就是圓的周長。（板書：圓的周長=直徑×圓周率）

師：你能用字母表示圓的周長計(jì)算公式嗎？

生1：C=πd。（板書公式：C=πd）

生2：因?yàn)橥粋€(gè)圓里，直徑是半徑的2倍，所以把圓周率與半徑的2倍相乘也能得到圓的周長。（板書公式：C=2πr）

[評析]

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）把推理能力作為十個(gè)核心概念之一，它指出“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果……合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論”。從小學(xué)三年級開始，教材有計(jì)劃地在每冊各編排一個(gè)“探索規(guī)律”的專題活動，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，從而培養(yǎng)孩子的合情推理能力。推理能力的形成不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法，這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動中才能得以進(jìn)行。

在本教學(xué)片段中，教師組織、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、歸納、概括等數(shù)學(xué)活動過程，進(jìn)一步體會由具體到抽象、由特殊到一般的歸納方法，感悟數(shù)學(xué)思想，積累了探索規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，凸顯了探索規(guī)律的教學(xué)價(jià)值。

總之，我們基于培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展的核心素養(yǎng)的教學(xué)理念，對本節(jié)課的幾個(gè)細(xì)節(jié)進(jìn)行改善，力求把小事做精、把細(xì)節(jié)做亮，細(xì)節(jié)成就精彩：

精彩1：挖掘教材中的圓周率的概念、圓的周長公式蘊(yùn)含的思想方法，精心策劃，巧妙而深刻地類比搭橋，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生“善問”的能力，增強(qiáng)學(xué)生的“創(chuàng)新意識”。

精彩2：尋求數(shù)學(xué)中無處不在的不變性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。領(lǐng)略不變量和不變性的內(nèi)在魅力，欣賞“守恒”的數(shù)學(xué)之美。滲透數(shù)學(xué)文化，實(shí)現(xiàn)情感目標(biāo)。

精彩3：通過對不同圓形物品的周長與直徑的測量及比值的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)千變?nèi)f化的圓的周長與其直徑的比是一個(gè)固定不變的數(shù)的規(guī)律。學(xué)生在探究規(guī)律的過程中，進(jìn)一步體會由具體到抽象、由特殊到一般的歸納方法，感悟歸納思想，積累探索“變化中的不變”規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，凸顯了探索規(guī)律的教學(xué)價(jià)值。

精彩4：充分地揭示圓周率的發(fā)展過程和本質(zhì)，使學(xué)生確切地理解圓周率是一個(gè)“常數(shù)”，欣賞“常數(shù)”之美，體會“常數(shù)”之用。

（責(zé)編 劉小瑗）endprint