許德紅

[摘 要] 核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)“關(guān)鍵能力”的培養(yǎng)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)鍵能力可由課程標(biāo)準(zhǔn)中的核心概念來(lái)描述，而對(duì)核心概念也可以進(jìn)一步概括. 研究者指出，數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)溝通與交流能力這四種能力，是核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ). 本文在實(shí)例分析的基礎(chǔ)上，提出了關(guān)鍵能力培養(yǎng)的思路.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；問(wèn)題解決；關(guān)鍵能力；核心素養(yǎng)

根據(jù)從上位的核心素養(yǎng)到下位的學(xué)科核心素養(yǎng)的邏輯關(guān)系，初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的“關(guān)鍵能力”，以支撐核心素養(yǎng)大廈的構(gòu)建. 呂世虎、吳振英等人認(rèn)為，問(wèn)題解決是核心素養(yǎng)落地的重要環(huán)節(jié)，而問(wèn)題解決作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提升的重要途徑，其又是由多個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成的，這些環(huán)節(jié)包括數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)溝通與交流等. 縱觀這四個(gè)環(huán)節(jié)，可以發(fā)現(xiàn)其既與課程標(biāo)準(zhǔn)中的九個(gè)核心概念有關(guān)，同時(shí)又不完全相同. 從這四個(gè)方面來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題解決，及問(wèn)題解決視角下學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，可以讓教師更簡(jiǎn)潔、科學(xué)地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，從而切實(shí)培育學(xué)生的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模，問(wèn)題解決的能力基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)建模就是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模能力就是學(xué)生利用已有知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，以將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之后對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行更高層次地認(rèn)識(shí)的能力. 由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的重要基礎(chǔ). 這里通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.

“一元二次方程”的教學(xué)中，為了幫學(xué)生建立起一元二次方程的模型，教師可以向?qū)W生提供一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中感悟一元二次方程模型的作用，同時(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型在問(wèn)題解決中的作用. 筆者是這樣設(shè)計(jì)的：某學(xué)生在社團(tuán)活動(dòng)想設(shè)計(jì)一個(gè)人物雕塑，他為了讓雕塑能夠給人美感，查閱到了最佳的比例關(guān)系，即雕塑人物的腰線以下與全身的比例，要等于腰線以上與腰線以下的比例. 如果他想設(shè)計(jì)的雕塑是0.6米，那腰線應(yīng)該在多高處？

這一問(wèn)題設(shè)置在社團(tuán)情境中，學(xué)生有一定的熟悉感，而其中的比例關(guān)系相對(duì)復(fù)雜，需要學(xué)生思維的深度參與. 在此過(guò)程中，如果直接根據(jù)題目的文字描述，要建立起比例關(guān)系還是比較復(fù)雜的，實(shí)際教學(xué)中可以讓學(xué)生先行嘗試（自主解決問(wèn)題），而教師則可以在巡視的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)用畫圖方法解決問(wèn)題的學(xué)生. 然后在建立方程時(shí)，讓這個(gè)學(xué)生到黑板上板演：于是一根豎著的線段表示雕塑，上下端點(diǎn)A和B分別表示雕塑人物的頭與腳，從中確定一個(gè)點(diǎn)C作為腰線，設(shè)BC的長(zhǎng)為x，那AC的長(zhǎng)則為0.6-x，于是根據(jù)比例關(guān)系■=■，進(jìn)而得出■=■. 其后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此式進(jìn)行整理以得到x2+0.6x-0.36=0，進(jìn)而從“元”與“次”的角度定義類似于此的方程. 至此，解決問(wèn)題的主要過(guò)程已經(jīng)完成，剩下的即為解方程. 從建構(gòu)模型的角度來(lái)看，方程的得出并不意味著模型已經(jīng)建立，此處要再引導(dǎo)學(xué)生思考：我們是怎樣尋找到解題思路的？

這個(gè)問(wèn)題有助于促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，因?yàn)閷W(xué)生在反思的過(guò)程中，重點(diǎn)會(huì)鎖定在兩個(gè)方面：首先，學(xué)生會(huì)說(shuō)是方程所起的作用. 教師則可追問(wèn)：方程又是如何得來(lái)的呢？學(xué)生自然會(huì)回答是根據(jù)比例關(guān)系得出的，那題目中的比例關(guān)系為什么會(huì)變成一個(gè)等式，為什么有的小組的學(xué)生就沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)？于是就有學(xué)生提出畫圖也是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，即用一個(gè)線段及相應(yīng)的點(diǎn)，來(lái)表示雕塑及其比例的要求. 因此，本題中的模型意識(shí)培養(yǎng)有兩個(gè)環(huán)節(jié)：一是實(shí)際雕塑變成線段，二是比例關(guān)系演變得到一元二次方程. 前者是對(duì)實(shí)物的抽象，后者是抽象后得到的數(shù)量關(guān)系.

這個(gè)環(huán)節(jié)中，只要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這兩點(diǎn)，尤其是認(rèn)識(shí)到因?yàn)橛辛朔匠?，才使?wèn)題的解決成為可能，這是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵，自然也就是抽象能力得以培養(yǎng)的關(guān)鍵.

數(shù)據(jù)分析，問(wèn)題解決的能力保障

對(duì)數(shù)據(jù)分析的認(rèn)識(shí)，不少同學(xué)都存在誤區(qū)，認(rèn)為數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵在于面向問(wèn)題列式求解，數(shù)據(jù)分析只是低水平的處理數(shù)據(jù)的事情. 這一認(rèn)識(shí)的形成，很大程度上源于教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中輕視數(shù)據(jù)分析. 事實(shí)上，今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)背景下，數(shù)據(jù)分析是學(xué)生利用不同的手段從數(shù)據(jù)中提取信息與數(shù)據(jù)、判別信息與數(shù)據(jù)、運(yùn)用信息與數(shù)據(jù)，進(jìn)而思考其與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解決相關(guān)性的重要過(guò)程，數(shù)據(jù)分析反映了學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在初中數(shù)學(xué)中，數(shù)據(jù)分析的主要環(huán)節(jié)存在于數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程中. 例如“利用二次函數(shù)求最大利潤(rùn)”之類的問(wèn)題，這類問(wèn)題常常取材于生活實(shí)際，是學(xué)生在生活中相對(duì)熟悉的，同時(shí)又可以較為直接地運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)求解. 例如，某商場(chǎng)的商品原為每件60元，每個(gè)月可以銷售300件. 如果價(jià)格每上調(diào)1元，則銷售量減少10件，如果每下調(diào)1元，則每月可多賣20件. 已知該商品的進(jìn)價(jià)為40元，那如何定價(jià)才能保證每月利潤(rùn)最大？

顯然，此問(wèn)題解決的過(guò)程中，關(guān)鍵在于對(duì)其中“量”的確定與關(guān)系的把握. 而本題中涉及一個(gè)進(jìn)價(jià)，三種售價(jià)，三種對(duì)應(yīng)的銷量以及相應(yīng)的利潤(rùn)，這樣的數(shù)據(jù)關(guān)系是不容易把握的，怎么辦呢？可以利用上面所說(shuō)的模型思路，用表格來(lái)呈現(xiàn)具體的關(guān)系. 教師可從量的角度，確定表格的行列要素：“行”由售價(jià)、單件利潤(rùn)、銷售量、總利潤(rùn)組成，“列”由原價(jià)和調(diào)后價(jià)組成. 這是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的過(guò)程，同時(shí)又是一個(gè)讓學(xué)生研究題中的數(shù)據(jù)（量），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的過(guò)程. 具體地說(shuō)，從原價(jià)60，到調(diào)價(jià)后的60+x，從原利潤(rùn)20到調(diào)價(jià)后的利潤(rùn)20+x，從原銷售量300到調(diào)價(jià)后的300-10x，進(jìn)而得出原來(lái)的總利潤(rùn)是20×300到調(diào)價(jià)后的總利潤(rùn)（20+x）（300-10x），到此時(shí)為止，基于數(shù)據(jù)分析的總利潤(rùn)的表達(dá)式也就出來(lái)了.

此過(guò)程中，學(xué)生的思維其實(shí)是經(jīng)歷了從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的過(guò)程，之所以能夠從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)分析功不可沒(méi). 學(xué)生提取出售價(jià)、單件利潤(rùn)、銷售量、總利潤(rùn)的過(guò)程，就是數(shù)據(jù)分析的過(guò)程.

數(shù)學(xué)運(yùn)算，問(wèn)題解決能力的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是利用數(shù)學(xué)法則和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，并在此過(guò)程中理解運(yùn)算的算理，進(jìn)而尋求更簡(jiǎn)潔、科學(xué)的運(yùn)算途徑的過(guò)程. 數(shù)學(xué)運(yùn)算重在邏輯的運(yùn)用，更重視通過(guò)邏輯思維提升學(xué)生的運(yùn)算技能. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)優(yōu)秀傳統(tǒng)，就是在運(yùn)算的過(guò)程中追求優(yōu)化運(yùn)算的技巧，從問(wèn)題解決的視角來(lái)看，這有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)直覺(jué)，而這正是核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的“關(guān)鍵能力”的重要組成部分.endprint

例如，在一元二次方程的求解中，學(xué)生能否迅速反應(yīng)出x2-4x+4=0是完全平方式，而x2+4x-4=0不是完全平方式；能否迅速反應(yīng)出x2+5x+6=0可以轉(zhuǎn)換成（x+2）（x+3）=0. 這實(shí)際上就是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則水平的體現(xiàn)，就是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的體現(xiàn). 在實(shí)際教學(xué)中，經(jīng)?？吹綄W(xué)生在此類問(wèn)題上出錯(cuò)的情形，在矯正的時(shí)候，我們通常從規(guī)則理解與運(yùn)用的角度對(duì)學(xué)生進(jìn)行重復(fù)性訓(xùn)練，而不是純粹地習(xí)題重復(fù). 這樣的訓(xùn)練，好處在于可以促進(jìn)學(xué)生程序化思考能力的提升，有助于學(xué)生的邏輯思維向直覺(jué)思維轉(zhuǎn)變. 同時(shí)我國(guó)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的另一個(gè)傳統(tǒng)，即追求簡(jiǎn)便運(yùn)算，實(shí)際上也是引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題解決中、在習(xí)題解答中優(yōu)化解題思路，熟悉運(yùn)算法則. 從這個(gè)角度講，數(shù)學(xué)運(yùn)算體現(xiàn)著問(wèn)題解決的能力與水準(zhǔn).

需要指出的是，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生既有個(gè)體學(xué)習(xí)，也有合作學(xué)習(xí)，而合作學(xué)習(xí)就必然涉及學(xué)生之間的溝通與交流問(wèn)題，這看起來(lái)與問(wèn)題解決沒(méi)有直接關(guān)系，但實(shí)際上卻是學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力的重要體現(xiàn)，下面對(duì)該環(huán)節(jié)進(jìn)行闡述.

數(shù)學(xué)溝通與交流，指向默會(huì)知識(shí)

溝通與交流是未來(lái)學(xué)生最基本的能力，溝通與交流的過(guò)程中學(xué)生很少會(huì)即時(shí)進(jìn)行程序式的思考，往往都是直覺(jué)反應(yīng)的結(jié)果，因而溝通與交流的能力也就具有了默會(huì)知識(shí)的特征. 數(shù)學(xué)溝通與交流，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、工具的運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語(yǔ)言使用的迅捷化，而這涉及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)信息的提取與加工，以及對(duì)知識(shí)的熟練程度. 其一個(gè)重要的體現(xiàn)場(chǎng)合，就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的小組討論環(huán)節(jié).

例如，在“勾股定理”這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者注意到讓學(xué)生通過(guò)面積關(guān)系來(lái)證明勾股定理的時(shí)候，或者在讓學(xué)生表述勾股定理的時(shí)候，有些學(xué)生所用的語(yǔ)言過(guò)于生活化. 有學(xué)生說(shuō)“一個(gè)角是九十度的三角形，它的兩個(gè)邊的平方加起來(lái)正好等于另一個(gè)邊的平方”，這樣的表述可能并不是普遍現(xiàn)象，但比較普遍的是其中的某些問(wèn)題總在不同學(xué)生個(gè)體身上出現(xiàn)，這實(shí)際上給初中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了新的研究命題：怎樣才能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用變得更加自然？

一個(gè)有益的經(jīng)驗(yàn)是：實(shí)際教學(xué)中，教師要注意自己的教學(xué)語(yǔ)言. 在新的數(shù)學(xué)概念建立之時(shí)，可以多用生活語(yǔ)言，這樣容易靠近學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)；而在概念建立之后，在概念或規(guī)律運(yùn)用期間，一定要注意自己的課堂口頭語(yǔ)言，要保證向?qū)W生傳遞的信息是用純正的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述的. 只有這樣，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，慢慢形成運(yùn)用精確數(shù)學(xué)語(yǔ)言的意識(shí)與能力，也就是一種默會(huì)知識(shí).

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于問(wèn)題解決來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的“關(guān)鍵能力”，既可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一條主線，又可以讓學(xué)生的關(guān)鍵能力得到培養(yǎng)，從而為核心素養(yǎng)的培育奠定基礎(chǔ)，因而這對(duì)一線教師有一定的參考借鑒意義.endprint