數(shù)學(xué)模型在金融資產(chǎn)配置中的應(yīng)用

邊靈玥

【摘要】本文首先介紹了資產(chǎn)配置的定義以及資產(chǎn)配置的必要性和重要性。其次講解了資產(chǎn)配置自上而下的大致思路。接著定量地介紹了金融資產(chǎn)配置中三種不同的數(shù)學(xué)模型。最后反思現(xiàn)有模型的不足和未來(lái)模型的改進(jìn)方向。

【關(guān)鍵詞】資產(chǎn)配置 均值-方差模型 風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)模型

【中圖分類號(hào)】F8 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）48-0235-02

一、引言

資產(chǎn)配置是指資金在不同種類的金融資產(chǎn)之間進(jìn)行分配的過(guò)程。資產(chǎn)配置的概念由來(lái)已久，名著《堂吉訶德》中的名句為大家所知曉——“不要把雞蛋放在同一個(gè)籃子中”。投資者在被單一資產(chǎn)可觀的收益率吸引時(shí)，卻不能忽視投資單一資產(chǎn)承受的巨大風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于單一資產(chǎn)而言，收益和風(fēng)險(xiǎn)是相匹配的，并不存在高收益低風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)。因此如果投資者希望在不損失收益的情況下，降低資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，就需要進(jìn)行分散投資，有效的進(jìn)行資產(chǎn)配置——以合適的比例投資適當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)組合。如此我們可以改善風(fēng)險(xiǎn)-收益比率，達(dá)到我們穩(wěn)健投資的目的。

對(duì)于個(gè)人而言，進(jìn)行合理的資產(chǎn)配置可以在保證可觀的資產(chǎn)收益率的同時(shí)保證資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的可控。假設(shè)市場(chǎng)投資主體為理性投資者，都追求利益最大化，而市場(chǎng)具有客觀的評(píng)價(jià)機(jī)制，這使得整個(gè)社會(huì)的資金具有更好的流通性和充分的使用效率，而最終達(dá)到資源優(yōu)化配置的效果。

二、金融資產(chǎn)的配置思路

資產(chǎn)配置是自上而下的一個(gè)投資過(guò)程，大致思路如下：首先由投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好來(lái)決定以適當(dāng)?shù)谋壤龑①Y金分配于資產(chǎn)配置風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間，這里涉及到風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和無(wú)差異曲線的概念。無(wú)差異性表現(xiàn)在“曲線”上的每一點(diǎn)，即不同的資產(chǎn)配置組合對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)都是“無(wú)差異”的，即曲線上每個(gè)投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)相匹配的效用值是相同的。我們可以由投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)來(lái)計(jì)算出投資組合中投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的合適比例。

其次在風(fēng)險(xiǎn)類資產(chǎn)中的小類進(jìn)行選擇即確定投資組合的備選投資池應(yīng)該如何進(jìn)行選擇資產(chǎn)種類。這里介紹一種通過(guò)選擇逆周期性的投資標(biāo)的而最大程度規(guī)避經(jīng)濟(jì)周期波動(dòng)帶來(lái)的不利風(fēng)險(xiǎn)的投資思路——“美林時(shí)鐘”。該理論具體將經(jīng)濟(jì)劃分為四個(gè)周期并對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的逆周期投資標(biāo)的，依次是：經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇期對(duì)應(yīng)小盤(pán)股、房地產(chǎn)和新興市場(chǎng)股票；經(jīng)濟(jì)過(guò)熱期對(duì)應(yīng)于大宗商品、發(fā)達(dá)市場(chǎng)股票、通脹保護(hù)債券；經(jīng)濟(jì)停滯期對(duì)應(yīng)于大盤(pán)藍(lán)籌股、短期國(guó)庫(kù)券、成長(zhǎng)型股票以及經(jīng)濟(jì)衰退期對(duì)應(yīng)于中長(zhǎng)期國(guó)債、公司債和價(jià)值型股票。而各類風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)內(nèi)部的相對(duì)比例則是由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的證券特征來(lái)決定的，包括其期望收益率、方差、協(xié)方差等。在確定好投資的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)種類后，具體相對(duì)比例的計(jì)算將在第三部分詳細(xì)說(shuō)明。

最后是各小類風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)內(nèi)部中的證券選擇，在實(shí)際操作中則會(huì)涉及到具體個(gè)股、具體債券等的證券選擇。而具體的選擇方法則根據(jù)投資者不同而不同。譬如在個(gè)股的選擇上，投資者比較普遍的使用行業(yè)研究的方法：將個(gè)股按行業(yè)分類，研究同一行業(yè)的上中下游行業(yè)；研究該行業(yè)的市場(chǎng)格局、龍頭企業(yè)等；最后研究行業(yè)中各家公司的財(cái)報(bào)、預(yù)期增長(zhǎng)率等。

三、資產(chǎn)配置中的數(shù)學(xué)模型

在明確投資的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)種類范圍后，具體各類資產(chǎn)的大類相對(duì)比例可由不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定量分析，得到明確的配置比例。

1.固定比例的資產(chǎn)配置組合

在資產(chǎn)配置初期，投資者大多以固定比例進(jìn)行資產(chǎn)配置。在僅考慮股票和債券這兩種投資標(biāo)的時(shí)，最常用而經(jīng)典的配置方式是60/40投資組合，即在投資組合中持有60%的股票和40%的債券。當(dāng)持有更多種類的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，有投資者則對(duì)每類資產(chǎn)分配1/N的權(quán)重，其中N為整個(gè)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)種類總數(shù)，即對(duì)所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)均勻分配。同時(shí)也有投資者依據(jù)自己的投資理念，對(duì)多種類的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行較為固定的配比，但在不同種類資產(chǎn)之間有所側(cè)重。譬如著名的耶魯捐贈(zèng)基金投資人——大衛(wèi)·斯文森，他在20余年期間保持了年均凈收益率16%左右的優(yōu)秀業(yè)績(jī)。根據(jù)耶魯捐贈(zèng)金公開(kāi)的近幾年年度報(bào)告來(lái)看，投資組合中的各類資產(chǎn)占比較為固定，其中主要包括美國(guó)股票、國(guó)外股票、固定收益、房地產(chǎn)、自然資源和現(xiàn)金等其他類資產(chǎn)。

2.馬科維茲資產(chǎn)組合選擇模型

以投資組合的期望收益為縱軸、波動(dòng)率為橫軸繪制出的函數(shù)圖像即為此兩種投資標(biāo)的的投資可行集。特別需要指出的是兩種標(biāo)的資產(chǎn)的協(xié)方差（大于兩種資產(chǎn)標(biāo)的則為協(xié)方差矩陣）會(huì)決定不同的投資可行集。當(dāng)協(xié)方差為負(fù)時(shí)，投資組合的方差則會(huì)降低。更特殊的當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ=-1時(shí)即完全負(fù)相關(guān)時(shí)存在零方差組合即可以完全對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)最大化了分散投資的好處。由于對(duì)于任意風(fēng)險(xiǎn)水平，我們只關(guān)注期望收益率最高的組合集，因此將最小方差邊界上方的點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)有效邊界。我們通過(guò)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為截距向風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)有效邊界做切線，切點(diǎn)即為最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)組合。此時(shí)我們得到的報(bào)酬/波動(dòng)性比率最高的一條資產(chǎn)配置線。最后我們可以通過(guò)投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和無(wú)差異曲線在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間確定最優(yōu)組合。

3.風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型

風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型是指由風(fēng)險(xiǎn)的角度出發(fā)，給予投資組合中各類資產(chǎn)不同的權(quán)重，而實(shí)現(xiàn)各類不同資產(chǎn)在投資組合中所貢獻(xiàn)的加權(quán)風(fēng)險(xiǎn)“平價(jià)”，即基本相當(dāng)。風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)可以理解為各類資產(chǎn)的損失貢獻(xiàn)。風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型配置的不是“資產(chǎn)”而是“風(fēng)險(xiǎn)”。在模型中將資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率作為衡量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格服從或近似服從正態(tài)分布時(shí)，模型有較好的表現(xiàn)；相反當(dāng)服從“尖峰厚尾”的分布時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)偏差。

美國(guó)著名的基金公司——橋水基金被廣為贊譽(yù)的“全天候策略”，就是應(yīng)用了風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型的核心思想，從而達(dá)到了多元化投資，保證投資組合風(fēng)險(xiǎn)可控，進(jìn)而取得更為穩(wěn)健的投資收益。

四、模型的改進(jìn)和拓展方向

上述的資產(chǎn)配置模型方法盡管在實(shí)踐中得到了廣泛而有效的應(yīng)用，但仍有不足之處和繼續(xù)改進(jìn)拓展的空間。以經(jīng)典的馬科維茲模型為例，雖然馬科維茲模型將資產(chǎn)配置由定型分析發(fā)展到定量分析，具有里程碑的意義，但模型仍有改進(jìn)的空間。模型中的一個(gè)重要前提假設(shè)是資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)收益服從正態(tài)分布。但由大量的真實(shí)金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)表明，資產(chǎn)收益率的分布，服從“尖峰厚尾”的分布。正態(tài)分布的偏度為0，峰度為3，而“尖峰厚尾”則名副其實(shí)：數(shù)據(jù)的分布有一定的偏斜、不對(duì)稱并且更集中。由圖像直觀的來(lái)說(shuō)，資產(chǎn)的收益率出現(xiàn)極端值的概率要比正態(tài)分布數(shù)據(jù)出現(xiàn)極端值的概率更大。這說(shuō)明在模型中僅僅使用收益率的一、二階矩——期望和方差來(lái)刻畫(huà)證券的風(fēng)險(xiǎn)特征是不夠的，仍有剩余的有價(jià)值信息隱含在收益率數(shù)據(jù)的更高階矩形——三、四階矩，即偏度和峰度中。更加充分的挖掘數(shù)據(jù)中的信息對(duì)于模型的構(gòu)建勢(shì)必有更好的效果。

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