司國(guó)星 閆麗娜

【摘要】?jī)蓚€(gè)重要極限公式是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，在對(duì)這兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師往往是先對(duì)這兩個(gè)重要極限公式的兩個(gè)準(zhǔn)則進(jìn)行教學(xué)，然后才能對(duì)這兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行證明.這種教學(xué)方法不僅需要花費(fèi)大量的時(shí)間，而且推導(dǎo)性內(nèi)容較多，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中難以對(duì)這些推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行深刻理解，從而影響了教學(xué)效果.針對(duì)這種情況，本文通過(guò)在兩個(gè)重要極限公式教學(xué)中應(yīng)用MATLAB教學(xué)軟件，并充分引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，利用探索法來(lái)對(duì)這兩個(gè)重要極限公式的教學(xué)策略進(jìn)行深入淺出的探討.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；極限公式；教學(xué)策略

高等數(shù)學(xué)是本科院校中一門非常重要的學(xué)科，而在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，關(guān)于兩個(gè)重要極限公式的教學(xué)一直都是重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，由于在對(duì)這兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行證明和推導(dǎo)過(guò)程中，推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜，并且非常抽象，再加上對(duì)這兩個(gè)重要極限公式的教學(xué)課時(shí)相對(duì)較少，學(xué)生沒(méi)有較多的時(shí)間去推導(dǎo)公式，從而給學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中帶來(lái)了較大的難度，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，MATLAB數(shù)學(xué)軟件得到了廣泛的應(yīng)用.本文通過(guò)應(yīng)用MATLAB數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行教學(xué)，并引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，利用探索法來(lái)對(duì)這兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行講解，以此取得良好的教學(xué)效果.

一、第一重要極限公式的教學(xué)策略

（一）第一重要極限公式 limx→0sinxx=1左極限的教學(xué)探索

第一重要極限公式即 limx→0sinxx=1，本科院校在對(duì)第一重要極限公式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，都會(huì)對(duì)夾逼定理進(jìn)行優(yōu)先講解，然后才會(huì)利用推導(dǎo)公式對(duì)定理進(jìn)行推導(dǎo)和證明.但是，由于推導(dǎo)過(guò)程中需要較多的推導(dǎo)過(guò)程，推導(dǎo)起來(lái)也較為復(fù)雜，而教師對(duì)推導(dǎo)的講解也非常抽象，這就使學(xué)生難以理解推導(dǎo)過(guò)程，從而加大了學(xué)生的難度.通常情況下，教師在對(duì)這一重要極限公式進(jìn)行講解時(shí)，都是先給出公式，然后利用多舉例的辦法使學(xué)生能夠熟悉公式，但這種教學(xué)方式需要占用的課時(shí)較多，并且學(xué)生理解起來(lái)也比較困難.而通過(guò)引入教學(xué)實(shí)驗(yàn)，并借助MATLAB數(shù)學(xué)軟件，采用探索法來(lái)對(duì)第一重要極限公式進(jìn)行探索.下面就對(duì)該重要極限公式的探索方法進(jìn)行講解.首先，需要先打開(kāi)MATLAB數(shù)學(xué)軟件，并對(duì)MATLAB設(shè)置程序，在程序中分別定義極限函數(shù)、探索左極限，并用矩陣來(lái)對(duì)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值進(jìn)行表示，通過(guò)對(duì)MATLAB數(shù)學(xué)軟件設(shè)置后的程序進(jìn)行運(yùn)行得出結(jié)果.在結(jié)果中x的取值非常重要，通過(guò)對(duì)x取值的修改能夠非常方便的探索出函數(shù)的極限.通過(guò)對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，我們發(fā)現(xiàn)在結(jié)果中x的取值都位于軟件的第一排，而第二排則代表著sinxx的取值，并通過(guò)進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x的取值越往左側(cè)進(jìn)行排列，其取值數(shù)就越接近于0，而函數(shù)f（x）=sinxx的取值也就越接近1.此時(shí)，我們?cè)俅螌?duì)MATLAB數(shù)學(xué)軟件的程序進(jìn)行修改，并設(shè)置探索左極限，通過(guò)對(duì)MATLAB數(shù)學(xué)軟件的程序進(jìn)行運(yùn)行和推導(dǎo)可以得到推導(dǎo)過(guò)程，此時(shí)，在軟件推導(dǎo)公式的第一排，顯示的是x的取值，而第二排則代表sinxx的取值.通過(guò)對(duì)推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行分析可以了解到，當(dāng)x的取值為-0.03時(shí)，sinxx的取值最終為0.999 9，這個(gè)函數(shù)值基本非常接近1了，如果再繼續(xù)進(jìn)行推導(dǎo)，后面還會(huì)出現(xiàn)0.999 99，0.999 999，…，并越來(lái)越接近1.因此，通過(guò)對(duì)上述推導(dǎo)內(nèi)容的分析，我們根據(jù)極限描述性定義可以求得 limx→0sinxx=1.

（二）第一重要極限公式 limx→0sinxx=1右極限的教學(xué)探索

第一重要極限公式 limx→0sinxx=1右極限的探索方法基本與左極限相同，通過(guò)在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中對(duì)x的取值進(jìn)行修改，輸入探索右極限命令，并對(duì)MATLAB程序進(jìn)行運(yùn)行，來(lái)求得推導(dǎo)過(guò)程.推導(dǎo)過(guò)程中第一排顯示的是x的取值，而第二排則是sinxx的取值，通過(guò)對(duì)推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行探索和分析可以知道，當(dāng)x的取值為0.03時(shí)，sinxx的取值為0999 9，并且非常接近1，而如果再對(duì)程序進(jìn)行運(yùn)行，其數(shù)值也將越來(lái)越接近1.由此依據(jù)極限描述定義可以求得 limx→0sinxx=1.當(dāng)然，利用作圖的方式也能對(duì)第一重要極限公式 limx→0sinxx=1的極限進(jìn)行探索和驗(yàn)證，通過(guò)在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中輸入相應(yīng)程序，并對(duì)程序運(yùn)行就能得出相應(yīng)的圖像，從圖像中就可以找出 limx→0sinxx=1，而如果通過(guò)對(duì)程序進(jìn)行修改，并使其區(qū)間加大，圖像顯示的效果也會(huì)更強(qiáng).總而言之，通過(guò)充分利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件來(lái)進(jìn)行教學(xué)，將極大縮減教學(xué)時(shí)間，并有效避免了復(fù)雜的推導(dǎo)過(guò)程，使學(xué)生的積極性得到了顯著提高.

二、第二重要極限公式的教學(xué)策略

（一）探索法求得第二重要極限公式的探索極限

第二重要極限公式即 limx→∞1+1xx=e，第二重要極限公式也是高等數(shù)學(xué)中的教學(xué)難點(diǎn)，通常情況下，教師在對(duì)第二重要極限公式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，會(huì)先給出定理，該定理為單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果是對(duì)本科理工類學(xué)生進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師一般情況下不會(huì)對(duì)定理進(jìn)行證明，而只有是對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生進(jìn)行教學(xué)時(shí)，才會(huì)對(duì)定理進(jìn)行證明，當(dāng)定理給出以后，教師需要對(duì)實(shí)數(shù)公理進(jìn)行增加，并對(duì)公式進(jìn)行證明，對(duì)第二重要極限公式的證明主要分為四個(gè)層次，第一層次是對(duì)數(shù)列1+1n 單調(diào)增加的證明；第二層次是對(duì)1+1nn 有界數(shù)列的證明；第三層次是利用夾逼定理來(lái)對(duì)該極限公式進(jìn)行推廣，以使其達(dá)到正實(shí)數(shù)；第四層次是采用換元法來(lái)對(duì)該極限公式進(jìn)行推廣，使其達(dá)到負(fù)實(shí)數(shù).哪怕經(jīng)過(guò)這四個(gè)層次的推導(dǎo)證明，也不能對(duì)該極限公式的真正極限進(jìn)行求出.而由于本科院校的高等數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)有限，因此，使學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)難以得到提高.而利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件能夠非常高效的找出該極限公式的探索極限，通過(guò)在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中輸入程序，以此來(lái)定義極限函數(shù)，并運(yùn)行MATLAB程序，可以求得一組數(shù)據(jù).在所求得的數(shù)據(jù)中，第一排數(shù)據(jù)代表著x的取值，而第二排則代表著1+1xx的取值，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，能夠發(fā)現(xiàn)當(dāng)x的取值越大，函數(shù)1+1xx的取值也就越接近2.718.我們能對(duì)x的取值進(jìn)行調(diào)整，并設(shè)置探索極限程序，程序運(yùn)行可得到一組數(shù)據(jù)，該組數(shù)據(jù)中的第一排代表著x的取值，而第二排數(shù)據(jù)則代表1+1xx的取值，同樣可以發(fā)現(xiàn)，隨著x取值的不斷增大，函數(shù)1+1xx的值也越來(lái)越接近2.718 1.

（二）作圖法求得第二重要極限公式的探索極限

除了應(yīng)用探索法來(lái)驗(yàn)證第二重要極限公式的探索極限，還可以采用作圖法來(lái)對(duì)其探索極限進(jìn)行驗(yàn)證.通過(guò)在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中輸入相應(yīng)程序，并對(duì)程序進(jìn)行運(yùn)行，可以求得第二重要極限公式的圖像，當(dāng)圖像出現(xiàn)后再對(duì)程序進(jìn)行修改，并運(yùn)行程序能夠得到全新的圖像，從這兩個(gè)圖像中可以了解到 limx→∞1+1xx=e.通過(guò)作圖法的方式來(lái)證明第二重要極限公式的探索極限不僅能夠使證明結(jié)果變得更加直觀，也能縮減那些不必要的推導(dǎo)公式，從而極大減少了第二重要極限公式的推導(dǎo)時(shí)間，使教學(xué)任務(wù)的完成變得更加高效，通過(guò)這種做法，不僅能夠有效培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，也給學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)提供了科學(xué)有效的方法.通過(guò)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入MATLAB數(shù)學(xué)軟件，不僅能夠有效解決課時(shí)較少的問(wèn)題，也使數(shù)學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)變得更加簡(jiǎn)易.

三、結(jié) 語(yǔ)

總而言之，通過(guò)在高等數(shù)學(xué)中充分應(yīng)用MATLAB數(shù)學(xué)軟件來(lái)對(duì)第一和第二重要極限公式進(jìn)行推導(dǎo)，不僅能夠使推導(dǎo)過(guò)程變得更加簡(jiǎn)便，還能有效節(jié)約課程時(shí)間，使學(xué)生通過(guò)MATLAB數(shù)學(xué)軟件就能進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，從而加深了學(xué)生對(duì)這兩個(gè)重要極限公式的理解，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，使學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力得到了極大的強(qiáng)化.當(dāng)前，本科院校在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中的應(yīng)用相對(duì)較少，更沒(méi)有引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).針對(duì)這種情況，學(xué)校應(yīng)加強(qiáng)信息技術(shù)的使用，并在高等數(shù)學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件，使師生能夠通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的使用來(lái)共同發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，以此高效地完成教學(xué)任務(wù).

【參考文獻(xiàn)】

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