姚馨哲

【摘要】算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)必學(xué)和高考必考內(nèi)容，而對算法考查經(jīng)常會與其他數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來考查.本文對算法模塊和其他數(shù)學(xué)模塊整合進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】算法；高中數(shù)學(xué)；整合

對于計(jì)算機(jī)科學(xué)來說，算法是至關(guān)重要的內(nèi)容.算法是高中數(shù)學(xué)必學(xué)和必考的知識模塊.在高中數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某類問題的明確和有限的步驟.[1]在設(shè)計(jì)算法時，要保證算法正確、盡量簡單，步驟盡量少，且計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行.表示一個算法常用的方法有：自然語言、程序框圖（傳統(tǒng)流程圖）、N-S流程圖和偽代碼等.程序框圖表示的算法具有靈活、自由、形象、直觀的優(yōu)點(diǎn).下面用程序框圖表示的算法來探討算法和其他高中知識的整合.

一、算法與方程、解析幾何、導(dǎo)數(shù)

求方程在某區(qū)間的近似根可以采用二分法，求方程在某實(shí)數(shù)附近近似根可以用牛頓迭代法.牛頓迭代法思想是：先任意設(shè)定一個與真實(shí)的根x*接近的值x0作為近似根，由x0求出f（x0），過點(diǎn)（x0，f（x0））作f（x）的切線交x軸于x1，把它作為第二次近似根，再由x1求出f（x1），過點(diǎn)（x1，f（x1））作f（x）的切線交x軸于x2，再由x2求出f（x2），再作切線……如此繼續(xù)下去，直到足夠接近真正的根x*為止.[2]

請畫出用牛頓迭代法求方程2x3-4x2+3x-6=0在15附近近似根（精確度10-4）的程序框圖.

解 由圖1可以看出：過點(diǎn)（x0，f（x0））的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），切線方程中令y=0，可以求出切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1=x0-f（x0）f′（x0）.為便于計(jì)算f（x）=2x3-4x2+3x-6可以寫成f（x）=（（2x-4）x+3）x-6，則函數(shù)在x0處的函數(shù)值為f（x0）=（（2x0-4）x0+3）x0-6；函數(shù)f（x）=2x3-4x2+3x-6的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=6x2-8x+3=（6x-8）x+3，函數(shù)f（x）當(dāng)x=x0時的導(dǎo)數(shù)為f′（x0）=（6x0-8）x0+3.

程序框圖如圖2所示.

牛頓迭代法求方程在某值附近的近似根，用到算法、函數(shù)、方程、解析幾何中的直線，以及用導(dǎo)數(shù)求曲線斜率，綜合性較強(qiáng).

二、算法與函數(shù)

已知程序框圖如圖3所示，若f（x）=9，則x=.

分析 本題程序框圖中有兩個判斷框，本質(zhì)上是分段函數(shù)f（x）=（x+2）2（x<0），3（x=0），3x（x>0）. 已知f（x）=9，求x的值.

解 （1）當(dāng)x<0時，由流程圖可知f（x）=（x+2）2，要輸出的函數(shù)值f（x）=9，則（x+2）2=9可得x=-5或x=1（舍去），故輸入的x的值應(yīng)為-5.

（2）當(dāng)x>0時，由流程圖知f（x）=3x要輸出的函數(shù)值f（x）=9，則3x=9可得x=2，故輸入x的值應(yīng)為2.

綜上可知x=2或x=-5.

三、算法與統(tǒng)計(jì)

為弘揚(yáng)民族文化，提高學(xué)生國學(xué)素養(yǎng)，某中學(xué)高二年級舉辦了一次“我愛古詩詞”國學(xué)知識競賽活動，共有500名學(xué)生參加了這次競賽.為了解本次競賽的成績情況，從中抽取了50名學(xué)生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請根據(jù)頻率分布表和算法流程圖（圖4），求輸出S的值.

序號（i）分組（分?jǐn)?shù)）組中值（Gi）頻數(shù)（人數(shù)）頻率（Fi）

1[60，70）6560.12

2[70，80）75200.4

3[80，90）85120.24

4[90，100]95120.24

合計(jì)501

解 用追蹤變量法S=0，i=1.

（1）i≤4成立，

Gi=65，F(xiàn)i=0.12，S=0+65·0.12=7.8，i=2.

（2）i≤4成立，

Gi=75，F(xiàn)i=0.4，S=7.8+75·0.4=37.8，i=3.

（3）i≤4成立，

Gi=85，F(xiàn)i=0.24，S=37.8+85·0.24=58.2，i=4.

（4）i≤4成立，

Gi=95，F(xiàn)i=0.24，S=58.2+95·0.24=81，i=5.

（5）i≤4不成立，循環(huán)結(jié)束，輸出變量S=81，程序結(jié)束.

通過分析還可以得出，此算法是求50名學(xué)生分?jǐn)?shù)的近似平均值.

四、算法與排列

某校高二年級某班要從15名候選人中選出7名組成班委會，分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、紀(jì)律委員、生活委員、宣傳委員、組織委員和體育委員，求組成班委會的方案數(shù)目.如圖5是計(jì)算班委會的方案數(shù)目的程序框圖.在流程圖的判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件是什么？

解 從15名候選人選出7名分別擔(dān)任一個職位，屬于排列問題，不同的班委會方案數(shù)目為A715=15×14×13×12×11×10×9.

根據(jù)程序框圖，此算法中重復(fù)執(zhí)行的指令中目標(biāo)變量A用累積法求值；不斷計(jì)入目標(biāo)變量的是15，14，13，12，11，10，9存放在循環(huán)變量n中，則其規(guī)律是在前者的基礎(chǔ)上減1，即n=n-1；變量i作為計(jì)數(shù)變量.求7個連續(xù)整數(shù)的乘積，循環(huán)體應(yīng)執(zhí)行7次，因此，判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件為i≤7？或i<8？.

算法是高中數(shù)學(xué)必學(xué)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)體系的重要組成部分，是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ).對于面向過程的程序，著名的計(jì)算機(jī)科學(xué)家沃斯提出，程序=算法+數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，算法是程序的靈魂.因此，在學(xué)習(xí)算法時，要多聯(lián)系實(shí)際，多聯(lián)系學(xué)過的數(shù)學(xué)知識比如，不等式、數(shù)列、概率……體會算法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想.通過對算法的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)邏輯思維能力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對以后進(jìn)一步深造也大有裨益.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)3·必修[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]譚浩強(qiáng).C程序設(shè)計(jì)題解與上機(jī)指導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.endprint