莫弘

【摘要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本文以數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)理論為基礎(chǔ)，結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出了高中立體幾何問題解決教學(xué)策略.

【關(guān)鍵詞】立體幾何；問題解決；教學(xué)策略

立體幾何知識(shí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形語言交流、空間想象、推理論證以及幾何直觀等能力具有不可替代的作用，然而當(dāng)前大多數(shù)高中學(xué)生普遍認(rèn)為高中立體幾何難學(xué)，公理、定理記了一大堆，但在具體解題時(shí)不知所措，不知道如何運(yùn)用，看見了題目，圖不會(huì)畫，即使有了圖，也存在著“不會(huì)看”的現(xiàn)象.因此，探究高中立體幾何問題教學(xué)策略具有重要的意義.

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)求知欲望

（一）聯(lián)系生活，揭示立體幾何的應(yīng)用價(jià)值

立體幾何在生活中的應(yīng)用隨處可見，教師應(yīng)通過一些豐富的生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際問題中抽象出立體幾何模型，應(yīng)用圖形解決實(shí)際問題.如在學(xué)習(xí)二面角知識(shí)時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了以下問題情境：某一群學(xué)生外出野游，從正西的方向射出的太陽光線與地面所成的角為30°，為了避免太陽的直射，現(xiàn)需要搭建一個(gè)簡(jiǎn)易的遮陽棚，而遮陽布是一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3米、4米、5米的三角形形狀，

圖1

如圖1所示，A，B分別是地面上南北方向的兩個(gè)定點(diǎn)，問當(dāng)遮陽棚ABC與地面所成角為多大時(shí)，其遮影面積最大.

（二）結(jié)合立體幾何模型，經(jīng)歷知識(shí)的形成過程

教師應(yīng)借助學(xué)習(xí)用具、粉筆等教具，應(yīng)用觀察、操作、猜想、設(shè)計(jì)、作圖等手段，結(jié)合立體幾何模型，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)游戲中思考探究、動(dòng)手操作中加深對(duì)立體幾何知識(shí)的理解.例如，在講解柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，筆者讓學(xué)生觀察柱、錐、臺(tái)、球等一些具有代表性的模型，要求學(xué)生總結(jié)出其結(jié)構(gòu)特征.

（三）通過類比，厘清知識(shí)之間的聯(lián)系與差異

教師應(yīng)充分利用平面幾何與立體幾何性質(zhì)上的相似性，通過知識(shí)之間的類比學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí).例

圖2

如，在解如下題目時(shí)，筆者要求學(xué)生類比等面積轉(zhuǎn)化法找到等體積轉(zhuǎn)化法所需的條件.

如圖2所示，已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E為DD′的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到A′B′E的距離.

（四）利用多媒體，增強(qiáng)空間圖形的立體感

教師應(yīng)用多媒體，充分展示柱體、球體等幾何體的分離、組合、旋轉(zhuǎn)等，讓學(xué)生從多個(gè)角度觀察立體圖形，有效增強(qiáng)立體幾何問題的立體感.例如，在學(xué)習(xí)錐體、臺(tái)體和柱體的體積與表面積時(shí)，筆者借助多媒體演示，使學(xué)生明白圓柱、圓錐是圓臺(tái)變化而成的幾何體，并通過空間圖形的分離與組合，得出圓柱、圓錐的側(cè)面積公式是由圓臺(tái)的側(cè)面積公式特殊化后得到的，有效避免學(xué)生煩冗難記的現(xiàn)象.

二、引導(dǎo)學(xué)生感知并理解問題，進(jìn)行問題表征

問題的準(zhǔn)確表征是成功解決問題的第一步，對(duì)于立體幾何中的概念、定理、公理、公式等陳述性知識(shí)，要讓學(xué)生自己理解并掌握組成這個(gè)概念的每一部分.以直線l垂直于平面α為例，則直線l就垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，在這里要讓學(xué)生明白任意一條直線的含義，是平面內(nèi)的隨意一條，而不是無數(shù)條；對(duì)于應(yīng)用知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法等程序性知識(shí)，就是要讓學(xué)生明白題目中的已知量是什么，已知數(shù)據(jù)是什么，可能隱含的條件是什么，要求的結(jié)論是什么，并根據(jù)題意畫出圖形.例如，已知一個(gè)球內(nèi)接四面體的所有棱長(zhǎng)等于2，求這個(gè)球的體積.在解這個(gè)題時(shí)，筆者根據(jù)題意畫出圖形，如圖3所示，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出以下問題表征.

圖3

1.已知條件：四面體A-BCD為球O的內(nèi)接四面體，棱長(zhǎng)等于2；

2.隱含條件：三棱柱側(cè)棱長(zhǎng)相等，即AB=AC=AD，三棱柱的底面BCD為正三角形，球心在底面BCD的高線上，E是正三角形BCD的中心，因此，可得CF⊥BD，CE=23CF.

3.要求結(jié)論：求球的體積，即求出球的半徑即可.

三、探求問題解決的趨勢(shì)確定解決方法

對(duì)于教科書中的一些概念、定理所設(shè)計(jì)的問題，應(yīng)讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決.例如，α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，若n⊥β，m⊥α，m⊥n，則判斷α⊥β命題的真假，在具體教學(xué)過程中，筆者要求學(xué)生兩人一組，一名學(xué)生的兩只手?jǐn)[出平行或垂直的模型，另一名學(xué)生則用兩支筆看作是m，n兩條直線進(jìn)行演示.

對(duì)于一些復(fù)雜的計(jì)算類或證明類幾何問題，在畫圖、識(shí)圖能力的基礎(chǔ)上，應(yīng)用綜合法和向量法進(jìn)行求解.其中綜合法主要解決證明線面位置關(guān)系、二面角等問題，其做法是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題進(jìn)行求解.例如，在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)借助平行四邊形或三角形的中位線構(gòu)建角的關(guān)系.而向量法主要建立好直角坐標(biāo)系，應(yīng)用直線的方向向量或平面的法向量及向量坐標(biāo)，有效避免求證平行、垂直等問題過程中做輔助線和推理的問題.

總之，高中立體幾何問題的解決不僅需要教師創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，而且需要引導(dǎo)學(xué)生感知并理解問題，更為重要的是善于應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，熟練掌握綜合法和向量法，只有這樣，才能不斷提高高中立體幾何教學(xué)的質(zhì)量，才能不斷提高學(xué)生的空間感.

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