劉代云

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，時(shí)常會(huì)遇到判斷同體積長(zhǎng)方體表面積大小的問(wèn)題.例如，用12個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，拼得的這個(gè)長(zhǎng)方體表面積是多少？解答這一問(wèn)題的關(guān)鍵在于搞清楚當(dāng)長(zhǎng)方體體積一定時(shí)，其表面積隨棱長(zhǎng)變化的規(guī)律.否則，就很容易誤認(rèn)為只要遮住最大的面，表面積就最小，于是得出：新長(zhǎng)方體長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米×12=36厘米；表面積（5×4+4×36+36×5）×2=688（平方厘米）.

粗略一看，這好像沒(méi)什么問(wèn)題，但事實(shí)并非如此！要使拼得的長(zhǎng)方體表面積最小，只考慮被遮住的面大還不行，必須同時(shí)考慮被遮住的面要盡量多.這樣，問(wèn)題就變得復(fù)雜起來(lái)，而且用于拼組的長(zhǎng)方體個(gè)數(shù)越多情況就越復(fù)雜.倘若學(xué)生沒(méi)有這方面的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，解決此類問(wèn)題是非常難的.那么，我們應(yīng)該如何去引導(dǎo)學(xué)生，使其知道所拼長(zhǎng)方體表面積隨棱長(zhǎng)變化的規(guī)律，從而讓該問(wèn)題化難為易呢？現(xiàn)就此問(wèn)題探討如下.

假設(shè)某長(zhǎng)方體體積為a3，則其長(zhǎng)、寬、高與棱長(zhǎng)總和及表面積將分別有以下幾種不同情況.

因?yàn)轶w積a3是一定的，4a及2a2為定值，所以影響長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和及表面積大小的關(guān)鍵在于“n+k+1nk，nk+1n+1k，n+1n+1，2n+1n2，n2+2n”這5個(gè)式子的值的大小.不難看出，這5個(gè)關(guān)鍵式子的值是隨n值與k值的變化而變化的.那么，n與k的值又是怎樣影響其大小的呢？

假設(shè)，當(dāng)n與k各自分別增加p和s（p>0，s>0），則以上5種情形下影響長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和及表面積大小的5個(gè)關(guān)鍵式子的值與原來(lái)相比，所起變化分別如下.

（1）在n+k+1nk中，

（n+p）+（k+s）+1（n+p）（k+s）-n+k+1nk

=（n+p）+（k+s）-（n+k）+1（n+p）（k+s）-1nk

=（p+s）-1nk-1（n+p）（k+s）

=（p+s）-（n+p）（k+s）-nknk（n+p）（k+s）

=（p+s）-nk+pk+ns+ps-nknk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pk+ns+psnk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pknk（n+p）（k+s）+s（n+p）nk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pn（n+p）（k+s）+snk（k+s）

>0.

這表明：隨著n值與k值的增加，n+k+1nk的值也在增加.

（2）在nk+1n+1k中，

（n+p）（k+s）+1n+p+1k+s-nk+1n+1k

=（n+p）（k+s）-nk+1n+p+1k+s-1n-1k

=nk+pk+ns+ps-nk-1n-1n+p+1k-1k+s

=pk+ns+ps-n+p-nn（n+p）+k+s-kk（k+s）

=pk+ns+ps-pn（n+p）+sk（k+s）

>0.

這表明：隨著n值與k值的增加，nk+1n+1k的值也在增加.

（3）在n+1n+1中，

（n+p）+1n+p+1-n+1n+1

=（n+p）+1n+p-n+1n

=n+p-n+1n+p-1n

=p-1n-1n+p

=p-n+p-nn（n+p）

=p-pn（n+p）

>0.

這表明：隨著n值的增加，n+1n+1的值還是一樣在增加.

（4）在2n+1n2中，

2（n+p）+1（n+p）2-2n+1n2

=2n+2p-2n+1（n+p）2-1n2

=2p-1n2-1（n+p）2

=2p-（n+p）2-n2n2（n+p）2

=2p-2np+p2n2（n+p）2

=2p-2n+pn2（n+p）2×p

=2p-nn2（n+p）2+n+pn2（n+p）2×p

=2p-1n（n+p）2+1n2（n+p）×p

>0.

這表明：隨著n值的增加，2n+1n2的值照樣在不斷增加.

（5）在n2+2n中，

（n+p）2+2n+p-n2+2n

=（n+p）2-n2+2n+p-2n

=2np+p2-2n-2n+p

=2np+p2-2n+2p-2nn（n+p）

=2np+p2-2pn（n+p）

>0.

這表明：隨著n值的增加，n2+2n的值仍然在不斷增加.

綜上所述，隨著n值與k值的增加，影響長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和及表面積大小的那5個(gè)關(guān)鍵式子的值都會(huì)越來(lái)越大；反之，便都會(huì)越來(lái)越小.而n與k的值越小就代表其形狀越接近正方體.這就是說(shuō)，當(dāng)長(zhǎng)方體體積一定時(shí)，其形狀越接近正方體，它的棱長(zhǎng)總和與表面積就越小.至此，本文開頭所述題目即可解答如下.

分析 因所拼長(zhǎng)方體的體積是原長(zhǎng)方體體積的12倍，所以新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別相當(dāng)于原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大了12的因數(shù)倍.又由于原長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高本身很接近，故，12應(yīng)該是三個(gè)比較接近的因數(shù)的積.

解答 ① 求所拼長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高.

12=2×2×3.

長(zhǎng)：5厘米×2=10厘米；

寬：4厘米×2=8厘米；

高：3厘米×3=9厘米.

因?yàn)樾麻L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高要盡量接近，所以12的較小的因數(shù)應(yīng)該與原長(zhǎng)方體較長(zhǎng)的棱長(zhǎng)相乘；較大的因數(shù)應(yīng)該與原長(zhǎng)方體較短的棱長(zhǎng)相乘.

② 求所拼長(zhǎng)方體的表面積.

（10×8+8×9+9×10）×2

=（80+72+90）×2

=242×2

=484（cm2）.

答：所得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是484 cm2.

這里還有一個(gè)關(guān)鍵，就是必須明白12不一定就是2，2，3這三個(gè)因數(shù)的積.譬如，若原題變?yōu)椤坝?2個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？”

這樣，原長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高本身不是很接近，為了讓新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高盡量接近，12就不應(yīng)該是2，2，3這三個(gè)因數(shù)的積了，必須做相應(yīng)的調(diào)整.具體解答如下.

① 求所拼長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高.

12=1×2×6.

長(zhǎng)：10厘米×1=10厘米；

寬：6厘米×2=12厘米；

高：1厘米×6=6厘米.

② 求所拼長(zhǎng)方體的表面積.

（10×12+12×6+6×10）×2

=（120+72+60）×2

=252×2

=504（cm2）.

答：所得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是504 cm2.

注意：長(zhǎng)方體體積一定時(shí)，其形狀越接近正方體，棱長(zhǎng)總和與表面積越小，這并不意味著棱長(zhǎng)總和越小，表面積就一定會(huì)越小.例如，甲、乙兩長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別是12厘米、10厘米、1厘米和20厘米、3厘米、2厘米.其棱長(zhǎng)總和是甲小乙大，而表面積則是甲大乙小.endprint