邢敦菊

【摘要】解三角形是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修五的內(nèi)容，這一章節(jié)是高考數(shù)學(xué)的必考點(diǎn)，也是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，這一部分內(nèi)容通常會(huì)作為較易題來考查，也是學(xué)生容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn).解三角形有固定的解題策略和解題思路，本人結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出以下幾點(diǎn)的解題策略，僅供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解三角形；解題策略

解三角形是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平行向量的基礎(chǔ)上，通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形邊與角之間關(guān)系，并運(yùn)用他們解決一些實(shí)際問題的知識(shí).解三角形通常離不開正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，這一點(diǎn)也是這一章的課標(biāo)要求.而因題制宜地運(yùn)用這兩個(gè)定理，就需要以下幾種解題策略的支撐.

一、轉(zhuǎn)化與劃歸

所謂的轉(zhuǎn)化與劃歸思想，就是通過對(duì)原題目的觀察與分析，根據(jù)做題經(jīng)驗(yàn)將原題目轉(zhuǎn)化為新題目，通過對(duì)新題目的求解，達(dá)到對(duì)原題目求解的目的.這一思想不僅是解答數(shù)學(xué)題時(shí)常用的策略，也是一種重要的教學(xué)思想和解決問題的方法.在數(shù)學(xué)中，常見的轉(zhuǎn)化與劃歸思想就是“切劃弦”“抽象化具體”“角化邊”“邊化角”.以下題為例：

在△ABC中，已知b=2，c=1，B=45°，則a等于（ ）.

A.6-22

B.6+22

C.2+12

D.3-2

解析 由正弦定理，得sinC=csinBb=sin45°×12=12，又b>c，∴C=30°，從而A=180°-（B+C）=105°，∴a=bsinAsinB，得a=6+22.

答案 B.

這道題就是通過運(yùn)用正弦定理，將解三角形問題轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)，再進(jìn)行求解，降低了題目的難度，也加快了解題速度，為后面較難的題目節(jié)省足夠的時(shí)間[1].

二、函數(shù)與方程思想

從專業(yè)的角度來說，函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的思想，只是這兩類思想通常會(huì)結(jié)合起來運(yùn)用.所謂函數(shù)，就是通過觀察各個(gè)變量，建立彼此之間的關(guān)系，從而建立函數(shù)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)圖像.函數(shù)思想是挖掘題目的本質(zhì)，將題目“抽筋扒皮”恢復(fù)到最原始的狀態(tài)，這樣就為解題提供了很大的便利.所謂方程思想，和函數(shù)類似，通過分析變量間的關(guān)系，建立方程或方程組.函數(shù)思想與方程思想是合二為一密不可分的，也是可以相互轉(zhuǎn)化的，這一思想是高中數(shù)學(xué)最重要也是最基本的思想[2].

以下題為例：△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊.如果a，b，c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為23，那么b為多少？這道題就是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將數(shù)學(xué)條件轉(zhuǎn)化為方程.函數(shù)與方程思想也是考試中心發(fā)布的考試大綱中提及的高考常用幾大數(shù)學(xué)思想之一，其重要性可見一斑[3].

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中最常用的思想，只要涉及抽象思維的題，基本都離不開這一思想的運(yùn)用.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的關(guān)系，將數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，從而更直觀地觀察出各個(gè)條件之間的關(guān)系，建立聯(lián)系.數(shù)形結(jié)合最重要的作用就是輔助做題，以數(shù)輔形，以形解題，將復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化.同樣以下題為例：在△ABC中，已知B=2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積為4∶3的兩部分，則cosA等于多少？這道題不畫圖單憑想象，解出來是很費(fèi)時(shí)間的，但是如果以圖形輔助做題，難度就大為降低了：畫出一個(gè)三角形，標(biāo)上邊和角，由A與B的度數(shù)之比，得出AC大于BC，利用角平分線定理根據(jù)角平分線CD將三角形分成的面積之比為4∶3，得到BC與AC之比，再利用正弦定理得出sinA與sinB之比，將B=2A代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即可求出cosA的值.其實(shí)在任何題目中，都可嘗試用數(shù)形結(jié)合的方法解題，即便有的題目不適用于數(shù)形結(jié)合，相信這種方法也會(huì)讓思路柳暗花明.

四、分類討論思想

由于有的題目給出的條件不具有普適性，所以通常情況下我們會(huì)根據(jù)題目要求將數(shù)據(jù)分類，匹配不同的條件，讓題目中冗雜的條件簡潔化，一來讓題目更具有直觀性，二來避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.數(shù)學(xué)中最簡單的分類討論思想就是，比如，當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)（x）=A，當(dāng)x≤1時(shí)，F(xiàn)（x）=B.分類討論時(shí)要注意細(xì)節(jié)，掌握分類討論的原則和方法，做到不遺漏、不重復(fù).在解三角形中，分類討論思想不是常用的策略，但卻是大綱中強(qiáng)調(diào)的一種思想，因此，我們應(yīng)該給予足夠的重視，在平時(shí)的聯(lián)系中注重這種方法的應(yīng)用.舉個(gè)例子，在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，ac=3，三角形ABC的面積為334.（1）求B；（2）若b=2，求△ABC的周長.解：（1）因?yàn)镾△ABC=12acsinB，所以12×3sinB=334，即sinB=32.又因?yàn)?

五、整體思想

整體思想一般有整體代入和整體求值兩種方法，都是數(shù)學(xué)中常用的思想，當(dāng)由已知的條件無法求出數(shù)據(jù)的值時(shí)或者求法比較煩瑣時(shí)，常用整體代入的思想求出整體的值.而整體求值思想常用于解三角形題目中，求三角形面積時(shí)，通常會(huì)結(jié)合正弦定理或余弦定理求出各個(gè)邊長及各個(gè)角度的正弦余弦值.

例如，已知1a-1b=4，則a-2ab-b2a-2b+7ab的值等于多少？根據(jù)條件顯然無法計(jì)算a，b的值，只能考慮在所求代數(shù)式中構(gòu)造出1a-1b的形式，再整體代入求解.

總之，解三角形是高考數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)又不容易拉開差距的一部分，但同時(shí)又是高考中占比較大的一部分，同學(xué)們?nèi)f萬不能在這一章節(jié)上面失分，值得同學(xué)們引起重視.解三角形在高考中處于較易題的程度，要想拿滿分需要掌握固定的“套路”，畢竟“自古套路得人心”，相信同學(xué)們掌握了上述幾種解題策略，并在平時(shí)的訓(xùn)練中多加練習(xí)，相信同學(xué)們在解三角形時(shí)就會(huì)得心應(yīng)手了.

【參考文獻(xiàn)】

[1]唐瑞芬，朱成杰.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

[2]李玉琪.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與實(shí)踐研究[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.