林京榕

數(shù)學文化在培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的教育中扮演著重要角色，如何把數(shù)學文化滲透到日常教學中，“潤物細無聲”般地讓學生受到數(shù)學文化的熏陶，在發(fā)揮數(shù)學文化育人功能的同時，追求學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，是每一位數(shù)學教師都必須直面的問題，筆者依托《數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念》的教學設計與實施，對上述問題進行了探討，取得了較好的效果，現(xiàn)將教學設計與同行進行交流.

1教學設計意圖

數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念是高中數(shù)學教材中典型的富有濃厚數(shù)學思想與文化的內(nèi)容，復數(shù)概念的發(fā)展具有豐富的歷史背景，涉及到數(shù)學中類比、抽象、符號化等重要的數(shù)學思想，是典型的數(shù)學抽象過程，是向?qū)W生滲透數(shù)學文化的最好契機.

1.1教材分析

數(shù)系的擴充過程體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的又一次擴充.本節(jié)課學習內(nèi)容的核心教育價值是理解復數(shù)的基本概念和感受數(shù)系擴充的數(shù)學文化，認識到數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展既來自于外部的動力，也來自數(shù)學內(nèi)部的動力，形成正確的數(shù)學觀.

1.2學情分析

在學習本節(jié)之前，學生已學過實數(shù)，理解各種數(shù)集之間的包含關(guān)系，但對數(shù)的發(fā)展歷史和生成規(guī)律還缺乏整體認識與理性思考.本節(jié)課學生的學習困難主要表現(xiàn)在：為什么要引入i？如何引i？i是什么？

1.3教學任務

本節(jié)課的核心教學任務是在問題情境中引導學生了解數(shù)系的擴充過程與復數(shù)的概念，體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴充過程中的作用.引導學生通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題，滲透數(shù)系擴充的基本思想.

1.4教學目標

（1）學生通過具體問題情境感受引入復數(shù)的必要性，類比實數(shù)系的擴充過程實現(xiàn)復數(shù)系的擴充，感受類比思想在數(shù)學研究中的重要作用.

（2）在復數(shù)概念的形成階段，通過提供典型豐富的具體例證，讓學生進行屬性的分析、比較、綜合，歸納，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)；

（3）理解復數(shù)的基本概念，引導學生用準確的數(shù)學語言描述（文字的、符號的），培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維.

1.5教學重點

充分展現(xiàn)從實數(shù)系到復數(shù)系的擴充過程，理解復數(shù)的基本概念.

1.6教學難點

數(shù)系擴充的基本思想及虛數(shù)單位i的理解.

2教學過程設計

情境導入教師講授無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，引發(fā)學生對數(shù)系擴充過程的興趣.

（一）概念引入

問題1數(shù)學家Cardan在《重要的藝術(shù)》（1545年）中出了這么一個題目：把10分成兩部分，使其乘積為40.

他按照自己的習慣，設其中一部分為x.列出方程x（10-x）=40.但求出的根令他大為不解，甚至感到有些恐慌，你知道這是為什么嗎？

師生活動：因為方程x（10-x）=40，即X²-10x+40 =0在實數(shù)集內(nèi)無解，雖然我們認為不可能的，但卡爾丹卻自豪地認為，他找到了解決方法，那就是10=（5+√一15）（5-√15），40=（5+√-15）（5-√-15），但卡爾丹寫得并不輕松，“不管良心受到多大的責備”也要寫出這兩個怪東西，而且發(fā)現(xiàn)它們的之和為10，之積為40，正是要找的數(shù).

你認為√-15能作為“數(shù)”嗎？它表示什么意義？

設計意圖一是激發(fā)學生學生自己發(fā)現(xiàn)問題——在實數(shù)范圍內(nèi)無法做到，產(chǎn)生認知沖突；二是充分暴露數(shù)學家的思維過程，

問題2根據(jù)已有經(jīng)驗，你認為怎么辦就可以解決Cardan的問題？回顧數(shù)系經(jīng)歷了哪幾次擴充？每一次擴充分別解決了哪些問題？

師生活動讓學生充分交流、合作、討論，感受到每一次擴充都要引入新數(shù)，與此同時，感受到數(shù)系擴充是社會發(fā)展的需要，如計數(shù)、平均分配、測量等，同時也是數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要，如：不夠減了、不能整除了、不能總可以開方了等，特別強調(diào)：在正數(shù)范圍內(nèi)，方程x+2=0有解嗎？我們是怎樣讓它有解的？類似地，在有理數(shù)范圍內(nèi)，X²=2有解嗎？我們又是怎樣讓它有解的？

設計意圖一是幫助學生重新建構(gòu)數(shù)集的擴充過程，即自然數(shù)集一整數(shù)集一有理數(shù)集一實數(shù)集，并能提煉出數(shù)系擴充的一般原則.這是本節(jié)課知識的生長點，二是使學生從（x - 5）²= -15出發(fā)，自然想到只要“負數(shù)開方”行得通，這樣的方程就能解了.

問題3（）²=-15=15×（-l）.

設計意圖教師引領學生再現(xiàn)卡當問題，將問題轉(zhuǎn)化為求x²=-1有解.

教師講授i的引入歷史.簡略介紹意大利數(shù)學家邦貝利給出了虛數(shù)單位與實數(shù)的四則運算；強調(diào)在進行四則運算時原有的加法與乘法的運算律（包括交換律、結(jié)合律和分配律）仍然成立.

（二）概念形成

問題4在成功地引入i后，請說出方程X²=-1的解？你能寫出卡當要找的數(shù)嗎？根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們希望i能與實數(shù)一起進行運算，你覺得會產(chǎn)生哪些類型的新數(shù)？ 設計意圖讓學生自己“創(chuàng)造”出2i，31，2+3i，2-3i，-i，……

追問1這些“新數(shù)”能用一種統(tǒng)一的形式表示嗎？

追問2如果把實數(shù)與i進行加、乘后得到的數(shù)集記作C，那么實數(shù)集R與集合C有什么關(guān)系？

設計意圖引導學生進行抽象，得出這種“新數(shù)”的一般符號表示a+bi（其中a，b為實數(shù)），感受為什么把集合{a+bi|a，b∈R}作為實數(shù)集擴充后的新數(shù)集，并得出實數(shù)集R是C的子集.

（三）概念固化

（1）復數(shù)的定義；（2）復數(shù)的表示；（3）復數(shù)的分類；（4）復數(shù)集，

問題5閱讀教科書（人教版選修2-2第103頁第一、二自然段），復數(shù)的基本概念有哪些？endprint

師生活動學生自主完成復數(shù)的概念學案，教師介紹“復數(shù)”的概念，“實部”、“虛部”的概念及概念中的注意點，并簡單介紹德國著名數(shù)學家高斯首先給出了復數(shù)的概念.

設計意圖由特殊到一般，抽象概括出復數(shù)的代數(shù)形式，初步理解復數(shù)概念，培養(yǎng)學生抽象概括能力.

問題6形如a+bi（a，b，∈R）一定是虛數(shù)嗎？那么什么情況下是實數(shù)呢？有沒有比虛數(shù)更簡單的虛數(shù)？

師生活動學生經(jīng)歷對a+bi中，a，b是否為零的討論的全過程，

設計意圖引導學生由實數(shù)a，b的不同取值對復數(shù)進行分類，從而深化復數(shù)的概念，攻克本節(jié)課的重點.

問題7請你說出下列集合之間的關(guān)系：N，Z，Q， R，C.

教師結(jié)合PPT簡單介紹復數(shù)的發(fā)展歷史，

設計意圖采用概念同化的方式完善認知結(jié)構(gòu)，用符號語言重現(xiàn)數(shù)系擴充的過程，像樹的年輪一樣的生長.通過向?qū)W生介紹復數(shù)的發(fā)展史，說明雖然現(xiàn)在看來簡單的數(shù)系，但它的發(fā)展卻歷經(jīng)艱難與艱險.數(shù)學的發(fā)展如同數(shù)系的發(fā)展需要經(jīng)歷幾代數(shù)學家付諸于長時間的努力與毅力才能得到完善，通過暗線的設置順利地完成了本節(jié)課的情感態(tài)度價值觀的教學目標.

（四）概念應用

問題8實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z=m²-1+（m-1）i？

A.實數(shù) B.虛數(shù) C.純虛數(shù)

設計意圖讓學生熟悉復數(shù)的分類標準，在解決問題的過程中內(nèi)化復數(shù)的有關(guān)概念，

問題9在復數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程ax²+ bx+c=0（a≠0）解的情況如何？

設計意圖首尾呼應，要讓學生自始自終地參與這一探索過程，激發(fā)學生創(chuàng)造思維的發(fā)展.

（五）回顧反思

問題10請大家談談我們這堂課學習了哪些知識？運用了哪些思想？又有哪些體驗和感悟呢？

其中，教師結(jié)合PPT展現(xiàn)復數(shù)在數(shù)學、力學、電學及其他學科中的應用，例如，利用i2=一1由它所創(chuàng)造的復變函數(shù)理論，成為解決電磁理論、航空理論、原子能及核物理等尖端科學的數(shù)學工具，讓學生明白知識是什么？知識為什么？知識可怎么樣？知識有什么用？

設計意圖對于數(shù)系擴充過程方面以及復數(shù)實質(zhì)理解方面的收獲進行小結(jié)

（六）布置作業(yè)（略）

3教學反思

3.1數(shù)學文化的傳播是自然流淌的

數(shù)學文化的滲透以數(shù)學思想方法為主要載體.本節(jié)課的教學思路，就是通過引導學生再創(chuàng)造復數(shù)概念來滲透數(shù)學文化，本節(jié)課的主要數(shù)學思想方法是類比，

首先，類比“自然數(shù)一有理數(shù)一實數(shù)”的擴充過程，教師從數(shù)學概念體系的發(fā)展要求和解決實際問題的需要出發(fā)，闡述數(shù)系擴充的歷史、原則與方法，引導學生從實數(shù)及其運算中得到啟發(fā)，自然地提出數(shù)系如何擴充、擴充應研究哪些問題，學生借助具體事例，再創(chuàng)造復數(shù)概念，感受類比在數(shù)學研究中的重要作用，感悟數(shù)學對人類及社會發(fā)展的價值.

其次指導學生類比方程X²-2=0來解X²+1=0.再次，指導學生類比a+b√2（a，b∈Q）探討a+bi（a，b∈R）.

本節(jié)課的另一數(shù)學思想是分類.教師指導學生對復數(shù)進行分類、在復數(shù)范圍內(nèi)分類解一元二次方程ax²+ bx+c=O（a≠0）.學生在思考數(shù)學中，自然實現(xiàn)了數(shù)學文化的熏陶，

數(shù)學文化的滲透，以數(shù)學參與為主要途徑.在概念引入環(huán)節(jié)，教師通過問題1～問題3的設置，從學生已有的知識基礎出發(fā)，再現(xiàn)歷史上數(shù)學家卡當?shù)膯栴}，讓學生經(jīng)歷與數(shù)學大師一起發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程，感受到數(shù)學家就在自己的身邊，數(shù)學大師并不神秘，他們也曾有解不開的難題；在虛數(shù)單位i引入環(huán)節(jié)：讓學生追隨數(shù)學大師的足跡一步一步接近復數(shù)與虛數(shù)，慢慢地揭開復數(shù)與虛數(shù)的神秘面紗，小小的“i”硬是經(jīng)過了兩個世紀的努力才被人接受；數(shù)學發(fā)現(xiàn)并不神秘，大師們通常是在別人習以為常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)新問題并窮追不舍的精神，

數(shù)學的統(tǒng)一性是數(shù)學的價值追求，是數(shù)學文化的重要體現(xiàn).在本堂課中，學生體會復數(shù)是包含實數(shù)的更大數(shù)系，體驗了數(shù)學的統(tǒng)一性.學生歸納出復數(shù)的代數(shù)表示形式，體驗數(shù)學的統(tǒng)一性，公式e^iπ+1=0則向?qū)W生展現(xiàn)了數(shù)學的統(tǒng)一性.

3.2數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展是水到渠成的

數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展，自然體現(xiàn)在學生的再創(chuàng)造復數(shù)過程中，復數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)過程是典型的數(shù)學抽象過程.學生通過再創(chuàng)造復數(shù)概念，培養(yǎng)了數(shù)學抽象素養(yǎng).本節(jié)課從數(shù)學概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要（社會需要、運算需要、求解方程需要）出發(fā)，構(gòu)建問題情境1～3，提供契機讓學生思考每一次數(shù)系擴充的主要原因是什么？每一次擴充遵循哪些規(guī)律？啟發(fā)學生從具體問題中提出實數(shù)擴充問題，指導學生從歷次數(shù)系擴充過程中抽象出數(shù)系擴充的主要研究問題：引入一個新的數(shù)，就要定義其運算；定義一種運算，就要研究其運算律.進一步指導學生抽象出數(shù)系擴充的基本原則：使算術(shù)的運算律保持不變.引導學生在問題指引下，逐步抽象出“虛數(shù)單位”i，探討i的運算及性質(zhì)，在構(gòu)建復數(shù)有關(guān)概念這一核心環(huán)節(jié)中，通過設置問題4—問題9，引領學生合乎情理地建構(gòu)新知.其中問題4的追問具有概括性、抽象性和挑戰(zhàn)性，為攻克“復數(shù)的代數(shù)形式為z=a+bi（a，b∈R）”這一難關(guān)奠定基礎.學生在上述問題的引導下，有充分的從具體進入抽象規(guī)定的獨立認識機會，發(fā)展數(shù)學抽象核心素養(yǎng).endprint