在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想的案例研析

陳仕軍

摘 要：數(shù)學(xué)的本質(zhì)特性之一是抽象性。然而，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求抽象的東西形象化，又通過直觀的形象來深化抽象的內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合的思想就是通過數(shù)形之間的對應(yīng)關(guān)系來研究問題、解決問題。通過數(shù)形結(jié)合，可使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀、易理解、易接受；將直觀的圖形數(shù)量化，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以降低難度，使理解更加深刻。數(shù)學(xué)家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。正說明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與促進(jìn)思維品質(zhì)的發(fā)展有著獨(dú)特的價值。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念以及應(yīng)用意識與推理能力。發(fā)展學(xué)生的空間觀念、數(shù)感和符號感在本質(zhì)上講就是一種數(shù)形結(jié)合思想，這三個目標(biāo)之間并非相互獨(dú)立，而是一個互相聯(lián)系、相輔相成、密不可分的統(tǒng)一體。教師在教學(xué)活動中應(yīng)抓住其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生能夠全面、深入、準(zhǔn)確、認(rèn)真地思考問題，抓住事物的本質(zhì)、規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系，重視它們之間的協(xié)調(diào)發(fā)展，這對提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要的意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)課堂；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一、以圖識律，培育數(shù)學(xué)興趣，提高抽象思維能力

對抽象的數(shù)學(xué)算式、代數(shù)式給予直觀形象的推證解釋，以直觀圖形解釋數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)規(guī)律，使得學(xué)生數(shù)形思想同步發(fā)展。例如學(xué)生在課堂中學(xué)習(xí)乘法分配律時都經(jīng)歷“實(shí)例—感知—驗(yàn)證—判析—抽象—定義”這么一個思維過程，從大量的數(shù)學(xué)實(shí)例中學(xué)生初步抽象出運(yùn)算規(guī)律，但尚不能進(jìn)行數(shù)學(xué)思維層次上的推證。就小學(xué)高年段學(xué)生來說，他們具備較強(qiáng)直觀形象思維能力，抽象思維能力正在發(fā)展，我們可以借助下面的課堂活動將這一運(yùn)算規(guī)律予以推證和說明。

課堂活動要求：這是由兩個小長方形拼成的大長方形，請用含字母的式子表示出大長方形的面積。

數(shù)學(xué)課堂活動：

（1）觀察大長方形面積的要素：a（b+c）=大長方形的面積

（2）觀察大長方形面積的構(gòu)成：ab+ac=大長方形的面積

綜合比較兩次得到的結(jié)果，分析后自然推得：a（b+c）=ab+ac

課堂提問：“仔細(xì)觀察，看到這個結(jié)論，你能想到我們曾經(jīng)學(xué)過的什么運(yùn)算律？”學(xué)生：“這就是乘法分配律??！”“原來還可以這樣驗(yàn)證乘法分配律！”“我們發(fā)現(xiàn)乘法分配律的證明用圖表示出來更直觀！”……由于學(xué)生在不知不覺中參與了數(shù)學(xué)運(yùn)算律揭示的過程，思維水平自然有躍進(jìn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣亦更加濃厚。

結(jié)合目前現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂中豐富的信息化教學(xué)手段，將下面的這些運(yùn)算定律更形象地展示給學(xué)生，數(shù)學(xué)不再單調(diào)。

1.課堂多媒體動態(tài)演示：

（1）先動態(tài)閃動線段a與線段b合并，再以合并后的線段與線段c合并；

（2）先動態(tài)閃動線段b與線段c合并，再以合并后的線段與線段a合并。

動態(tài)比較兩次總長度，揭示加法結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）

2.課堂多媒體動態(tài)演示：

（1）小球從左至右滾動距離a，再滾動距離b，整體閃動小球滾動的總距離；

（2）小球從右至左滾動距離b，再滾動距離a，整體閃動小球滾動的總距離。

動態(tài)比較兩次總長度，揭示加法交換律a+b=b+a。

3.課堂多媒體動態(tài)演示：

（1）閃動長方形寬a，向右平移距離b，形成完整長方形；

（2）閃動長方形長b，向上平移距離a，形成完整長方形。

動態(tài)比較兩次長方形面積，揭示加法交換律a×b=b×a。

4.課堂多媒體動態(tài)演示：

（1）閃動長方體框架底面（a×b），向上運(yùn)動，形成完整長方體；

（2）閃動長方體框架右側(cè)面（a×b），向左運(yùn)動，形成完整長方體。

動態(tài)比較兩次運(yùn)動的結(jié)果，揭示乘法結(jié)合律（a×b）×c=a×（b×c）

在數(shù)學(xué)課堂活動中，借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)手段，在提高學(xué)生空間觀念的同時，揭示抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算律，“以形識數(shù)性”，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力。

二、借數(shù)觀圖，感悟事物本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度

以已有的知識經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問題是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動達(dá)成性指標(biāo)之一，是學(xué)生思維發(fā)展水平最直接的反映。借助數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)性質(zhì)解決直觀幾何問題，實(shí)現(xiàn)“化難為易、化繁為簡”。就數(shù)學(xué)中的“相等的兩數(shù)同時減去（或加上）一個數(shù)，所得的差（或和）也一定相等”這一性質(zhì)，在學(xué)生儲備足夠的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)后，他們不僅能理解，也能舉出實(shí)例說明。數(shù)學(xué)課堂中我們以字母把它抽象概括出來：“若a=b，則a-c=b-c或a+c=b+c”。這既是對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的需要。

在學(xué)生理解這兩個等式后，讓他們思考下一題。

如圖討論：陰影部分三角形ABC和三角形ECD面積之間的關(guān)系。

學(xué)生討論分析：三角形ABE面積等于三角形ADE面積，因此這兩個三角形同時減去三角形AEC的面積后，所得到兩個新三角形的面積也相等（借助多媒體演示使教學(xué)更直觀、形象）。

我們的教學(xué)不能僅停留在問題的求解上，應(yīng)適時引導(dǎo)“本題的解答實(shí)際上運(yùn)用了數(shù)學(xué)的什么性質(zhì)？a-c=b-c”，從而建立數(shù)學(xué)性質(zhì)與直觀幾何之間的關(guān)系，為學(xué)生用代數(shù)知識解決幾何形體問題搭起橋梁，提升“數(shù)形結(jié)合”的能力，感悟事物本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。

為進(jìn)一步拓展學(xué)生思維的深度，教師可以設(shè)計(jì)這樣一道題由學(xué)生自主探索解答。如圖求陰影部分面積：

綜合評析時，引導(dǎo)學(xué)生思考我們運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)性質(zhì)？

（注：長方形ABCD面積=長方形DEFG面積）

三、數(shù)形相輔，深化數(shù)學(xué)體驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂厚度

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合思想，對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、符號感和空間觀念，發(fā)展學(xué)生思維能力，提升動手實(shí)踐、自主探索、合作交流的能力大有裨益。教師在教學(xué)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)時，通常會組織學(xué)生開展小組活動，把平行四邊形剪拼成他們已有的知識經(jīng)驗(yàn)——長方形。

學(xué)生在課堂操作實(shí)踐活動中的剪拼方法歸成兩大類（如下圖）：

對比拼成的長方形與原來的平行四邊形的關(guān)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式：S=a×h。

在學(xué)生具備上述知識的基礎(chǔ)上，不少教師都讓學(xué)生練習(xí)過這樣一道題：已知題中的三個量，求一個未知量。

這對多數(shù)學(xué)生而言解答并非困難，也能得到數(shù)學(xué)等式：a×b=c×d。a×b和c×d都表示同一個平行四邊形的面積，教師在課堂教學(xué)過程中往往都能評析到，并對等式的合理性作出解釋。但如果教師有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”思想，就可以對這一教學(xué)資源作進(jìn)一步挖掘。結(jié)合圖1，在引導(dǎo)學(xué)生在觀察平行四邊形面積推導(dǎo)的剪拼方法后，幫助學(xué)生在頭腦中形成a×b與剪拼方法一，c×d與剪拼方法二之間的對應(yīng)感觀，必將促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與空間觀念的協(xié)調(diào)發(fā)展，我們的數(shù)學(xué)課堂也必將變得更厚實(shí)。

四、數(shù)圖相融，溝通縱橫聯(lián)系，建構(gòu)單元知識框架

在學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)概念則是思維的細(xì)胞，是空間形式和數(shù)量關(guān)系以及它們的本質(zhì)屬性在學(xué)生思維中的體現(xiàn)，他們對概念的理解達(dá)成度是其數(shù)學(xué)思維深刻性與靈活性水平的反映，是作為數(shù)與形的抽象概括的結(jié)果之一。數(shù)學(xué)概念僅憑精講，學(xué)生對概念的本質(zhì)難以產(chǎn)生全面深刻的理解，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，輔助圖形、表格等直觀形象，不但可以幫助學(xué)生正確理解概念，而且利于他們建立知識間的縱橫聯(lián)系，形成他們自己的“數(shù)學(xué)知識樹”。

在“數(shù)的整除”單元復(fù)習(xí)時，出示數(shù)字“1、2、3、4、5、6、7、9、12、24、30、36，提問：根據(jù)給出的這些數(shù)，自由選擇一些數(shù)（可以是1個，也可以是多個）用本單元知識說一句話”。啟發(fā)學(xué)生打開思路后，教師將相關(guān)概念名稱“倍數(shù)、因數(shù)、整除……”展現(xiàn)在投影上。

弄亂屏幕，引導(dǎo)學(xué)生整理這些概念，讓視覺效果更好，概念關(guān)系更有條理。

課堂中，一個概念位置的擺放也會引發(fā)爭論，但學(xué)生思維打開了，收獲了很多，得到多彩的整除單元知識結(jié)構(gòu)圖，這里舉一例。如下圖：

圖2解釋整除與除盡之間的從屬關(guān)系。

圖3解釋非0自然數(shù)按因數(shù)個數(shù)分成三類呈現(xiàn)的并列關(guān)系。

在這樣的數(shù)學(xué)課堂中，“數(shù)圖相融”，以直觀圖形展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的概念及其之間的關(guān)系，學(xué)生更易于消化概念之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別，形成單元整體知識結(jié)構(gòu)。

五、數(shù)形協(xié)調(diào)，演繹數(shù)學(xué)抽象，積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)階段學(xué)生的學(xué)業(yè)水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力往往在他們的計(jì)算正確率、解題策略的運(yùn)用上有所體現(xiàn)，但教師在教學(xué)中不讓學(xué)生對計(jì)算法則（或方法）經(jīng)歷一個探索、理解、發(fā)現(xiàn)的過程，那么學(xué)生只能一味地接受知識的灌輸，其能力與創(chuàng)新思維只會被壓抑而非得以發(fā)展。例如在分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的課堂學(xué)習(xí)后，學(xué)生都能掌握“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”這一計(jì)算方法?？山處熑裟艹浞终J(rèn)識到“數(shù)形結(jié)合”思想在課堂學(xué)習(xí)中的重要價值，再去思考設(shè)計(jì)教學(xué)活動，就可以讓不同學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上獲得不同層次的發(fā)展，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)。

在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中一直有著兩條線：一明一暗，數(shù)學(xué)知識作明線，數(shù)學(xué)思想方法為暗線。然而，今天我們的數(shù)學(xué)課堂中，教師往往習(xí)慣以“知識的達(dá)成度、目標(biāo)的有效性”去評價一節(jié)課的優(yōu)劣，而忽視了數(shù)學(xué)思想方法在課堂上有意識地滲透。知識可能會遺忘，而數(shù)學(xué)思想方法一旦在學(xué)生頭腦中成形，必將讓學(xué)生受益終身。小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維由具體形象到抽象邏輯的重要過渡階段，“數(shù)形結(jié)合”思想方法在課堂中的滲透教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力有著獨(dú)特的價值。教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，深入剖析研究教材、挖掘教材中多項(xiàng)資源，有意識地滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，揚(yáng)數(shù)之長、取形之優(yōu)、數(shù)形相輔、數(shù)形互助，必然會讓學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的培育在數(shù)學(xué)課堂生根發(fā)芽，熠熠生輝！

編輯 高 瓊