【摘 要】分析高考試題是為了更好地明確教育方向，感悟教學(xué)實(shí)質(zhì)，指導(dǎo)今后教學(xué)。從創(chuàng)新、素養(yǎng)兩個(gè)角度分析了2017江蘇高考數(shù)學(xué)試題，并從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)出發(fā)提出4點(diǎn)復(fù)習(xí)建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)素養(yǎng)；復(fù)習(xí)教學(xué)；試題賞析

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）03-0040-03

【作者簡介】徐進(jìn)勇，江蘇省海州高級中學(xué)（江蘇連云港，222062）教師，高級教師，江蘇省特級教師。

2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷以必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)為考查內(nèi)容，突出基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，科學(xué)設(shè)計(jì)考試內(nèi)容，強(qiáng)化能力立意、素養(yǎng)導(dǎo)向，優(yōu)化高考選拔功能，彰顯改革導(dǎo)向，有助于推動(dòng)中學(xué)教學(xué)改革。限于篇幅，這里不列出2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的全部試題，僅以部分典型試題為例進(jìn)行分析論述。

一、試題賞析

1.創(chuàng)新。

創(chuàng)新主要體現(xiàn)在試題通過增強(qiáng)情境的探究性、內(nèi)容的融合性、設(shè)問的開放性，啟發(fā)學(xué)生能夠自覺運(yùn)用批判性和創(chuàng)新性思維多角度思考，尋找同一問題的不同的解法，有利于考查學(xué)生的思維層次，發(fā)揮高考試題的選拔功能。具體而言：（1）創(chuàng)新于知識(shí)交匯處。例如，試題的第13題從向量的數(shù)量積出發(fā)，將條件代入轉(zhuǎn)化為二元一次不等式，由于點(diǎn)P在圓上，形成可行域，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍自然化歸到線性規(guī)劃問題上去。試題動(dòng)態(tài)考查了線性規(guī)劃知識(shí)的靈活應(yīng)用，把向量、圓、不等式有機(jī)結(jié)合在一起，并通過數(shù)形結(jié)合直觀形象解決，可謂是知識(shí)、方法、思想交融，深刻考查考生能否打通知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，完成知識(shí)方法轉(zhuǎn)化，形成解題能力。（2）創(chuàng)新于合情推理處。例如，第18題由簡單的正四棱柱形玻璃容器類比聯(lián)想到正四棱臺(tái)形玻璃容器，過渡自然，內(nèi)涵豐富，學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力得到進(jìn)一步拓展、發(fā)揮與檢驗(yàn)；第19題由簡單基本的第一個(gè)問題通過“寫逆命題”這種邏輯思維形式編制了第二問，學(xué)生問題情境熟悉，理性的推理能力又得到彰顯與檢測，很好地體現(xiàn)了高考試題的梯度與層次，試題內(nèi)容樸素簡潔自然而有新意。（3）創(chuàng)新于知識(shí)發(fā)展處。例如，第14題，筆者認(rèn)為首先是在簡單問題“設(shè)f（x）是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1）上， f（x）=x，求方程f（x）-lgx=0的解的個(gè)數(shù)”的基礎(chǔ)上了融入了大學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)的有限與無限、連續(xù)與離散、有理與無理相關(guān)思想，也可以認(rèn)為是對著名狄里赫萊函數(shù) f（x）=1，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)的延伸與發(fā)展。

2.素養(yǎng)。

“數(shù)學(xué)素養(yǎng)指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)活動(dòng)對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、感悟和反思，并在真實(shí)情境中表現(xiàn)出來的一種綜合性特征。廣義地講是一種綜合特征，狹義地講，是指在真實(shí)情境中有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能理性處理問題的行為特征?！盵1]試題通過多渠道滲透考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。第14題透露著深刻數(shù)學(xué)語言所表達(dá)的文化氣息，體現(xiàn)“能用語言表達(dá)是衡量學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)理解的標(biāo)志”[2]。第18題考查學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。事實(shí)上，三角學(xué)是一門古老的數(shù)學(xué)分支，古代希臘學(xué)者早就開始了對三角形邊角關(guān)系的關(guān)注，隨后的勾股定理的發(fā)現(xiàn)更是數(shù)學(xué)史上的一件盛事。蘇教版、人教A版教科書都是以勾股定理作為知識(shí)的生長點(diǎn)，從特殊到一般，猜想出正弦定理，然后再通過作高將問題轉(zhuǎn)化為“直角三角形中三角比”的問題。第18題的第二問正是將第一問中用比例和勾股定理解決的問題轉(zhuǎn)化為用正弦定理解決，這其中蘊(yùn)含著它們內(nèi)部的必然聯(lián)系，反映數(shù)學(xué)中正弦定理的發(fā)展歷史[3]。第19題以數(shù)列知識(shí)為載體，突出考查學(xué)生的邏輯推理能力，學(xué)生在推出an-1+an+1=2an后，是否關(guān)注到n≥4的條件，是否能想到要驗(yàn)證a1，a2兩項(xiàng)，這其中考查學(xué)生縝密思維、嚴(yán)格推理的理性思維能力，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的核心是發(fā)展學(xué)生的理性思維。第18題應(yīng)用題、第20題函數(shù)題都通過揭示知識(shí)的產(chǎn)生背景和形成過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展特點(diǎn)。要順利解決這些難題，學(xué)生還要具有深刻的通過對數(shù)學(xué)思維方法總結(jié)、提煉呈現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，具備用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)性質(zhì)，使問題得到解決。整個(gè)試卷綜合考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對數(shù)學(xué)課程和教學(xué)改革均具有積極的導(dǎo)向和促進(jìn)作用。

二、教學(xué)啟示

1.追求知識(shí)本源，體會(huì)知識(shí)建構(gòu)過程。

漫長的數(shù)學(xué)發(fā)展史，凝結(jié)著無數(shù)數(shù)學(xué)家的心血。每個(gè)概念、定理、公式的產(chǎn)生與發(fā)展都有它的必然、地位及意義，教學(xué)時(shí)教師要讓學(xué)生參與知識(shí)的建構(gòu)過程，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)本原，不僅僅知道是什么，還應(yīng)知道是怎么來的，又走向何處，以此調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)因。例如，教學(xué)“線性規(guī)劃”這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，首先要讓學(xué)生嘗試多個(gè)不等式運(yùn)算帶來的不等價(jià)性，讓學(xué)生思考如何解決這樣的矛盾，在思索中搭建出區(qū)域結(jié)構(gòu)，孕育出“線性規(guī)劃”這種以數(shù)構(gòu)形、以形研數(shù)的巧妙解法。在方法產(chǎn)生后要再引導(dǎo)學(xué)生反思它能解決怎樣的問題。教學(xué)時(shí)如能有這樣的心路歷程，我想學(xué)生高考時(shí)解決第13題會(huì)顯得較為輕松。

2.構(gòu)建知識(shí)體系，形成創(chuàng)新能力。

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基本追求應(yīng)該是：幫助學(xué)生在再學(xué)習(xí)的過程中重構(gòu)并完善其知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和方法體系。[4]系統(tǒng)論告訴我們：系統(tǒng)地組織起來的材料所提供的信息，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于部分材料提供的信息之和。創(chuàng)造心理學(xué)研究表明：新的發(fā)明創(chuàng)新主要取決于整體性的“認(rèn)知框架”的轉(zhuǎn)換，而整體性的“認(rèn)知框架”的形成則在于對對象整體性的把握。因此，對對象整體性的把握是形成創(chuàng)新思維能力的必要條件。

就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，只有將各個(gè)單元和分散的知識(shí)納入數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)之中，形成整體性的認(rèn)知框架，才能顯示其應(yīng)有的活力。因此，數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)要把平時(shí)學(xué)習(xí)的各個(gè)單元的、局部的、分散的、零碎的知識(shí)及解題的數(shù)學(xué)思想、方法和規(guī)律進(jìn)行縱橫聯(lián)系，“以線串珠”，使之系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化。例如，試題中的第7題，集函數(shù)定義域、一元二次不等式解法、幾何概型于一體；第11題將函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與基本不等式融合；第12題是向量與三角的結(jié)合；第13題是向量、圓、不等式的結(jié)合。知識(shí)點(diǎn)的融合體現(xiàn)了知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的邏輯連貫性，較好地反映考生對知識(shí)本質(zhì)理解和方法貫通程度，一定意義上反映出學(xué)生的創(chuàng)新力。endprint

3.導(dǎo)引學(xué)生思維，提高獨(dú)立解決問題能力。

對于課堂教學(xué)，江蘇省高中數(shù)學(xué)教研員李善良教師曾客觀形象地說，教學(xué)像登山，目標(biāo)是山頂，有三種方法到達(dá)山頂：（1）講出知識(shí)——直達(dá)（電梯式教學(xué)）；（2）教師在前面，學(xué)生后跟——引；（3）學(xué)生在前走，老師在后，如學(xué)生行進(jìn)中有問題再問老師——導(dǎo)。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的知識(shí)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來。”考試作答，要求學(xué)生獨(dú)立思考，沒有人去提示他，高考更是如此，學(xué)生在一定的壓力下如何才能迅速捕捉到解題的突破口？最好的辦法是平時(shí)要加強(qiáng)實(shí)戰(zhàn)，教學(xué)中教師時(shí)常要把學(xué)生推到矛盾困難前面，在問題情境創(chuàng)設(shè)成熟后應(yīng)推動(dòng)學(xué)生自己提出問題并獨(dú)立解決問題。

教師還要多鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)，因?yàn)楸磉_(dá)的過程有利于他們澄清和梳理自己的思維，進(jìn)而發(fā)展他們獨(dú)立獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和思考問題的能力。同時(shí)還要加強(qiáng)運(yùn)算、推理的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，使學(xué)生得到邏輯思維方法的訓(xùn)練，形成思維能力。

學(xué)生個(gè)體是有差異的，學(xué)生思考問題、探究問題存在時(shí)間差異和路徑差異，這種差異應(yīng)發(fā)展為思維的碰撞，構(gòu)成爭論、判斷、交流的源泉。這其中也對教師提出了高要求，正如章建躍博士指出：“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，對學(xué)生思維火花的敏感性首先來源于教學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師想引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，其前提是他自己知道怎么想；教師想讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，首先他自己要成為一個(gè)發(fā)現(xiàn)者?！盵5]同時(shí)教師還要善于抓住“千金難買”的“教學(xué)意外”，將課堂生成的資源巧妙靈活地整合到知識(shí)思維的鏈條中，師生思維有交鋒、有深度，課堂才有活力與靈氣。

4.關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)生命成長。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是指具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能，也不是簡單的數(shù)學(xué)解題能力，數(shù)學(xué)素養(yǎng)依賴于數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，又高于數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，凌駕于數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法之上。數(shù)學(xué)素養(yǎng)體現(xiàn)在“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界”?？v觀這套試卷，從試題語言表達(dá)、結(jié)構(gòu)形式、作答能力要求無不突出表現(xiàn)這些特點(diǎn)，滲透“數(shù)學(xué)育人”功能。

數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能可以通過數(shù)學(xué)教學(xué)傳授，而數(shù)學(xué)素養(yǎng)不能簡單地用接受的方式直接從他人那里獲得，數(shù)學(xué)素養(yǎng)只能在學(xué)生所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)中產(chǎn)生，并依賴于學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、感悟與反思。這就需要我們教師在對待每一節(jié)課，甚至每一個(gè)概念、公式、定理，小到每一個(gè)問題，都要鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察審視，大膽質(zhì)疑與嘗試，遇到困難，師生一起對問題空間再度表征，對問題結(jié)構(gòu)再度剖析，不斷在否定中跨越，在反思中升華，展示艱辛而快樂的探索歷程，體會(huì)大道至簡的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生不斷求真求精的理性精神。同時(shí)，要注重在知識(shí)教育基礎(chǔ)上，將教學(xué)上升到心靈與智慧的培養(yǎng)、價(jià)值觀念的形成、精神陶冶的高度。充分利用數(shù)學(xué)知識(shí)和相應(yīng)的其他一切可以利用的文化資源，進(jìn)行文化積累和文化升華，以實(shí)現(xiàn)審美、陶冶、文化遺傳的教育功能，實(shí)現(xiàn)“教育是知識(shí)獲得過程”向“教育是文化過程”的轉(zhuǎn)變，促進(jìn)生命個(gè)體的總體生成。

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