馬麗娜，李書海，張海燕

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

1 引言

令A(yù)表示單位圓盤U＝內(nèi)解析且具有如下形式的函數(shù)類.

設(shè)Σ表示去心單位圓盤U?U＼{0}內(nèi)解析且具有如下形式的亞單純?nèi)~函數(shù)類

對于每一個函數(shù)f(z)∈Σ，具有逆函數(shù)f－1，定義為

及

對于具有(1)形式的函數(shù)f(z)的逆函數(shù)f－1具有如下形式，

若函數(shù)f和f－1都在U?內(nèi)單葉，則稱函數(shù)f(z)∈Σ在U?內(nèi)亞純雙向單葉.近來，許多學(xué)者對亞純雙向單葉函數(shù)進(jìn)行了研究，詳見文獻(xiàn)[1-7].

令P表示在U內(nèi)解析且具有如下形式

的函數(shù)p(z)的全體，且Rep(z)>0.

設(shè)函數(shù)u(z)和v(z)在A中解析，若存在一個Schwarz函數(shù)?，在U內(nèi)滿足?( 0)＝0和使得u(z)＝v( ?(z))(z∈U)，則稱函數(shù)u(z)從屬于v(z)，記作u(z)?v(z).另外，若v在U內(nèi)單葉，則u(z)?v(z)等價于

函數(shù)f(z)∈A屬于函數(shù)類S?(φ)，如果滿足如下條件

其中φ(z)∈P.函數(shù)類S?(φ)和相應(yīng)的凸函數(shù)類K(φ)由Ma和Minda定義[8].

1959年，Sakaguchi[9]引入關(guān)于對稱點的星象函數(shù)類當(dāng)且僅當(dāng)

1987年，El-Ashwa和Thomas[10]引入并研究了關(guān)于共軛點的星象函數(shù)類及關(guān)于對稱共軛點的星象函數(shù)類，分別滿足如下條件

本文將研究一類具有對稱共軛點的亞純雙向單葉倒星象函數(shù)類如下，

定義1.1函數(shù)f(z)∈Σ屬于關(guān)于對稱共軛點的亞純雙向單葉倒星象函數(shù)類ΣSsc(φ)當(dāng)且僅當(dāng)

及

其中g(shù)(ω)＝f－1(ω)，φ(z)＝1＋B1z＋B2z2＋…，B1>0，β<1.

2 積分表達(dá)式

首先，定義的函數(shù)類的積分表達(dá)式.所得結(jié)論推廣了亞純p葉函數(shù)類的一般已得到的積分表達(dá)式[11－13].

定理2.1若f(z)∈ ΣSsc(φ)，則

其中u(z)在U內(nèi)解析且u(0)＝0及

證明:因為f(z)∈ ΣSsc(φ)，則

及

根據(jù)從屬關(guān)系定義，存在解析函數(shù)u，v:U→U滿足u(0)＝v(0)＝0，，使得

根據(jù)(8)和(12)式，有

根據(jù)Hadamard積(卷積)的性質(zhì)，有

因此，利用式(11)，(13)及(14)，有

從而定理2.1得證.

3 系數(shù)估計

引理3.1[14]如果p(z)＝

上面的不等式估計是精確的.當(dāng)函數(shù)p(z)時，不等式的等號成立.

引理3.2[15-16]如果p(z)＝則存在復(fù)數(shù)x，y，且使得

定理3.1函數(shù)f(z)具有(1)式形式，若f(z)∈ΣSsc(φ)，則有如下系數(shù)估計

及

上面估計是精確的.

證明:因為f(z)∈ΣSsc(φ)，根據(jù)定義1.1及根據(jù)從屬關(guān)系定義，存在解析函數(shù)u，v:U→U滿足u(0)＝使得

及

令

及

從而有

分別定義函數(shù)p(z)和q(ω)如下

即，

顯然p，q∈P.從而，有

根據(jù)式(15)-(20)，得p1＝q1＝0，及

因此，有p2＝－q2，p3＝－q3.

利用引理3.1，得

另一方面，

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