劉藝聰

摘 要：投入與產(chǎn)出是商人最關(guān)心的問題，所有的商人都希望自家能夠以最少的投入獲得最多的回報(bào)，這時(shí)候就需要運(yùn)用數(shù)學(xué)手段去判斷如何能夠獲得盡可能多的利潤。在高中階段我們能夠接觸到的簡單的方法就是不等式組和線性規(guī)劃了。本文將簡要介紹這兩種方法并舉出例子。

關(guān)鍵詞：投入 產(chǎn)出 不等式組 線性規(guī)劃

中圖分類號：G634 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1003-9082（2018）01-0-01

商人追求的就是利潤，以最少的投入達(dá)到最多的利潤是做生意中需要考慮的極為重要的問題。實(shí)際生活中總是有著各種各樣的限制，獲取利潤就是要在這些限制條件中選擇出合適的方案并執(zhí)行。如何做到少投入與多產(chǎn)出，這就需要我們羅列限制條件，從中抽取出有用的條件，根據(jù)條件建立數(shù)學(xué)模型，尋求最佳的方案。

一、不等式組的應(yīng)用

不等關(guān)系和相等關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，它們在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中有著非常重要的地位。實(shí)際的生產(chǎn)生活中，許多的條件和限制不是一一對應(yīng)的相等關(guān)系，而是確定了一個(gè)范圍的不等關(guān)系。投資決策、生產(chǎn)規(guī)劃、環(huán)境保護(hù)、人口控制、交通運(yùn)輸?shù)鹊确矫娴膯栴}，都會(huì)利用不等式進(jìn)行論證和求解。

例題1 某廠生產(chǎn)過程中需要某種配件，可以外購，也可以自己生產(chǎn)。如果外購，配件供應(yīng)商規(guī)定：若購買1000個(gè)以下（含1000個(gè)）則按每個(gè)1.10元計(jì)價(jià)；若超過1000個(gè)，則前1000個(gè)按每個(gè)1.10元計(jì)價(jià)，超過部分按每個(gè)1.00元計(jì)價(jià)；如果自己生產(chǎn)，則固定成本需增加800元，另外每生產(chǎn)一個(gè)配件的材料費(fèi)和人工費(fèi)共需要0.60元。作為決策者，應(yīng)該怎么選擇方案[1]？

解：設(shè)需要該配件個(gè)，外購需要的資金為y1元，自己生產(chǎn)需要的資金為y2元。由題意則有

當(dāng)時(shí)，設(shè)，即，解得，顯然，當(dāng)生產(chǎn)的零件數(shù)量小于1000件時(shí)，外購比較合算。

當(dāng)是，設(shè)，即，解得，即當(dāng)生產(chǎn)的零件數(shù)量大于1750時(shí)，自產(chǎn)比較合算。

綜上，當(dāng)該零件的需求小于1750時(shí)，外購較為合算；當(dāng)該零件的需求大于1750時(shí)，自產(chǎn)比較合算；當(dāng)該零件的需求等于1750時(shí)，外購和自產(chǎn)消耗相等，都可以。

解析：本題目比較簡單，實(shí)際生活中的問題會(huì)擁有更多的條件，但是解決問題的想法和思路與此題目是別無二致的。分段在生活中是很常見的情況，比如分段收費(fèi)的公交車等，面對分段的情況，需要每段分別計(jì)算，并且得出答案的同時(shí)思考是否在范圍內(nèi)，保證答案不會(huì)出錯(cuò)。

二、線性規(guī)劃的應(yīng)用

許多的應(yīng)用領(lǐng)域，會(huì)遇到如何對有限的資源（人力、物力、財(cái)力）進(jìn)行合理的利用，達(dá)到最優(yōu)的效果的問題，這類問題往往可以通過線性規(guī)劃的方法得到解決。線性規(guī)劃模型可以應(yīng)用在許多的領(lǐng)域，例如技術(shù)問題、國民經(jīng)濟(jì)、軍事領(lǐng)域和管理決策領(lǐng)域，它是一種現(xiàn)代科學(xué)管理的重要方法和手段。

線性規(guī)劃的研究對象大體分為兩類：

（1）在任務(wù)確定后，如何計(jì)劃、安排，使用最低限度的人、財(cái)、物等資源去實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)，追求生產(chǎn)成本、費(fèi)用最小，即怎么少投入。

（2）在現(xiàn)有的人、財(cái)、物等資源的條件下，研究如何合理地計(jì)劃、安排，可以使某一目標(biāo)達(dá)到最大，如產(chǎn)量、利潤目標(biāo)等，即怎么多產(chǎn)出。

線性規(guī)劃中研究的問題要求目標(biāo)與約束條件函數(shù)均是線性的，并且只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，在實(shí)際的生活中，大量的問題是線性的，有許多是接近線性的，因此線性規(guī)劃具有很大的應(yīng)用價(jià)值。

例題2 某公司煉鐵需要兩種鐵礦石A和B，其中A礦石的含鐵率為50%，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量為1萬噸，每萬噸鐵礦石的價(jià)格為300萬，B礦石的含鐵率為70%，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量為0.5萬噸，每萬噸鐵礦石的價(jià)格為600萬。若至少需要生產(chǎn)1.9萬噸鐵且要求CO2的排放量不超過2萬噸，則購買鐵礦石的費(fèi)用至少為多少萬元[2]？

解：設(shè)鐵礦石A買了x萬噸，鐵礦石B買了y萬噸，購買鐵礦石的費(fèi)用為z百萬元，則由題設(shè)可知，本題目中x，y滿足約束條件

，即，所求為滿足條件時(shí)的最小值。

將不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖1中的陰影部分所示標(biāo)注出來。直線，也就是進(jìn)行平移，當(dāng)經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)，取得最小值。

解方程組，得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），所以z的最小值為15。即購買鐵礦石的最少費(fèi)用為15百萬元，即1500萬元。

解析：本題為較為簡單的實(shí)際應(yīng)用類型，即在條件限制的情況下尋求費(fèi)用最低的問題，主要還是使用了圖解法。

對于只有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問題，圖解法是個(gè)非常好的方法，不僅簡單直觀，而且可以非常簡單得了解線性規(guī)劃問題求解的基本原理。圖解法求解線性規(guī)劃模型分三步：（1）作出可行區(qū)域，并求出頂點(diǎn)；（2）作出目標(biāo)函數(shù)的等值線，一般作出通過原點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)等值線，然后將該直線平移并保持與可行解區(qū)域有焦點(diǎn)，得到一簇平行線；（3）找出臨界的等值線，得到最優(yōu)解[3]。

少投入與多產(chǎn)出是一類應(yīng)用性很強(qiáng)的題目，生活中許許多多的場景是可以套用以上兩種方法來處理的。另外生活中常常有可以運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的實(shí)例和場景，只是人們在面臨問題時(shí)想不到向數(shù)學(xué)知識(shí)延伸，往往是手中掌握著解決問題的利器而不自知。我們學(xué)習(xí)知識(shí)不僅僅是為了升學(xué)，學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)改變自己的生活，也是很有趣的一件事。

參考文獻(xiàn)

[1]任生錄. 高中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題——建模單元題組典型（第二版）[M]. 上海：上海大學(xué)出版社，2012，38-42.

[2]李春機(jī). 例談2010年高考線性規(guī)劃問題，把握線性規(guī)劃教學(xué)[J]. 新課程（教育學(xué)術(shù)），2011，（03）：21-22.

[3]上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽組織委員會(huì). 中學(xué)數(shù)學(xué)建模與賽題集錦（第二版）[M]. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2014，105-109.