季小明

[摘? 要] “直線的傾斜角與斜率”是人教版數(shù)學必修2第一節(jié)的內(nèi)容，其中的傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念，是描述直線傾斜程度的要素，學習本內(nèi)容對于學生掌握解析幾何的研究方法極為重要.

[關鍵詞] 傾斜角;斜率;概念;規(guī)律;過程;思想方法

“直線的傾斜角與斜率”內(nèi)容是解析幾何學習的重要起點，不僅包含一些重要的概念，還有解決解析幾何問題的一般方法，其知識和思想是后續(xù)知識學習的基礎，下面將探討該內(nèi)容的教學建議.

遵循教學規(guī)律，科學引入概念

“直線的傾斜角與斜率”是平面幾何的重要內(nèi)容，其中的“傾斜角”和“斜率”是銜接幾何與代數(shù)的重要概念，也是章節(jié)內(nèi)容開展的基礎. 在教學中需要遵從學生的認知規(guī)律和知識發(fā)展規(guī)律，精化概念引入設計，完成概念自然引入.

學生學習傾斜角與斜率之前已掌握了一次函數(shù)圖像和平面直角坐標系等知識，高中課程標準指出在教學斜率概念時需要以直角坐標系為背景，結(jié)合具體的函數(shù)圖像和幾何圖形，引導學生探究表示直線位置的相關要素. 因此，教學的伊始有必要借助一次函數(shù)的圖像來完成概念的抽象. 如教學中可以給出圖1所示的一次函數(shù)圖像，讓學生思考函數(shù)對應的直線是由哪些要素來確定的，學生根據(jù)知識經(jīng)驗一般可以推理出利用點的坐標來確定直線，此時則可以進一步給出圖2，讓學生思考同樣是通過點P₁的直線，為何兩者的圖像不同. 通過鮮明的對比學生很容易會關注直線上點以外的要素——角度. 此時教師就可以適時地引導學生觀察兩直線圖像的不同點，也可以從直線旋轉(zhuǎn)的角度引導學生思考何種情況下兩條直線可以重合為同一條直線（圖3的l1旋轉(zhuǎn)得到l2），引導學生充分認識平面直角坐標系中需要用一點和傾斜角來確定唯一的直線，認識幾何角存在的意義.

斜率是解析幾何重要的研究內(nèi)容，而研究解析幾何最為重要的方法是代數(shù)法，在使用代數(shù)法進行研究時需要利用直角坐標系中的點，因此教學斜率就需要利用點的集合知識，從點的衍生規(guī)律角度來完成概念教學. 學生結(jié)合已有的知識知道兩點可以確定一條直線，此時就可以引導學生進一步認識直角坐標系中兩點的坐標可確定一次函數(shù)，即利用點的坐標來求解一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，而根據(jù)函數(shù)解析式可以繪制出直觀的函數(shù)圖像，從而完成“兩點坐標→函數(shù)解析式→函數(shù)圖像”的認知規(guī)律構(gòu)建，為后續(xù)直線斜率的教學打下知識基礎.

關注構(gòu)建過程，揭露概念本質(zhì)

教材在安排內(nèi)容時，利用傾斜角與斜率的關系來完成后者的概念衍生，考慮到傾斜角是一個相對特殊且重要的幾何量，因此在構(gòu)建斜率概念時除了需要準確把握兩者的聯(lián)系，還需遵從知識構(gòu)建的規(guī)律. 在實際教學中可以借助直觀的圖像，利用準確的數(shù)學語言，揭示概念的本質(zhì)，全面呈現(xiàn)概念的構(gòu)建過程.

對斜率的概念學習不僅需要將其直觀化，還需要將其坐標化，教學中可以把握生活圖像釋義和幾何公式推演兩條主線，分別完成斜率概念的數(shù)學語言描述.

主線一：生活圖像釋義

首先，給出圖4所示的兩幅圖片，讓學生觀察圖片中的坡面哪個最大. 然后根據(jù)實際圖像進行數(shù)學建模，構(gòu)建圖5所示的幾何模型，引導學生得出“坡面的陡峭程度和坡面與平面所成的角度相關”. 緊接著教師可以給出“前進量”和“升高量”兩個衡量坡面的參量，結(jié)合圖6讓學生進一步思考坡面角度與前進量和升高量之間的關系，自然而然地完成坡度表示的構(gòu)建，即坡度=，最后借用傾斜角來完成坡度概念的數(shù)學化，“坡度”本質(zhì)上就是“傾斜角α的正切值”，即tanα=坡度=.

主線二：幾何公式推演

對斜率概念的坐標化和公式推演需要借助平面直角坐標系，教學中需從“兩點確定一條直線”定理出發(fā)完成數(shù)學模型的構(gòu)建和表達式過程的推導. 學生已經(jīng)掌握不同的兩個點可以表示一條確定的直線，引導學生明確“確定的兩點”與“直線斜率確定”的關系，然后借助直角三角形、正切和平行線的相關知識，構(gòu)建圖7所示的數(shù)學模型：在過點P（x，y）的直線上選取兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2），然后分別過點P1和P2作x軸、y軸的平行線，設兩線的交點為點Q，則點Q的坐標為（x2，y1）. 最后根據(jù)圖7的幾何模型完成斜率公式的推導，即過點P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的直線，其直線的斜率可以表示為k=，即斜率的計算公式.

在完成兩條主線的構(gòu)建后只需要將斜率公式與坡度聯(lián)系起來即可，實際問題中的坡度就是數(shù)學上的斜率，即坡度==k==tanα，則學生很容易理解斜率計算公式中的y2-y1和x2-x1就是在計算模型中的升高量和前進量，這為后續(xù)學生利用數(shù)學知識解決實際問題是十分有利的.

通過上述兩條主線的不同構(gòu)建過程，顯然可以發(fā)現(xiàn)：根據(jù)點的坐標可以推算直線的斜率k，利用“兩個不同的定點→斜率k→直線點斜式y(tǒng)-y1=k（x-x1）”的推演模式可以實現(xiàn)點坐標到函數(shù)表達式的推導，這從本質(zhì)上可幫助學生理解“點坐標”“直線斜率”和“函數(shù)解析式”三者之間的關系.

滲透數(shù)學思想，提升核心素養(yǎng)

“直線的傾斜角與斜率”章節(jié)內(nèi)容的教學中隱含著一定的思想核心，即引導學生掌握對應的思想方法. 相對而言數(shù)學思想更為抽象，學生學習起來更為吃力，但卻是數(shù)學的精髓所在，對于提升學生的數(shù)學思維是十分重要的. 在實際教學過程中教師可以采用思想方法滲透于知識內(nèi)容的方式，即寄“無形思想”于“有形知識”中.

本節(jié)內(nèi)容教學時需要滲透的思想方法有模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和化歸統(tǒng)一思想. 模型思想主要體現(xiàn)在教學引入環(huán)節(jié)的生活實例問題的模型抽象，數(shù)形結(jié)合思想存在于直線傾斜角α與直線變化情況的辨析中，討論不同一次函數(shù)圖像的斜率情況時需滲透分類討論思想，而化歸統(tǒng)一思想則體現(xiàn)在傾斜角、斜率和坐標三者關系的深化中，教學滲透具體情形如下：

1. 模型思想

課例引入階段采用情景教學方式，首先給出具體的實物圖像，然后對實物進行建模，最后從中抽象幾何模型，如圖8. 給出常見的高射炮圖像，以地面和垂直于地面的直線為坐標軸建坐標系，將高射炮的炮管抽象成數(shù)學模型，引導學生了解引入傾斜角的概念是為了描述相關實物的傾斜程度. 而從實物圖像到數(shù)學幾何的轉(zhuǎn)化過程就是數(shù)學建模的過程，數(shù)學模型是描述和分析生活實物的重要手段.

2. 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，即將數(shù)學圖像與代數(shù)知識相結(jié)合的思想，引導學生理解傾斜角的概念和存在意義時可以采用該思想. 如教學中可以利用幾何畫板呈現(xiàn)傾斜角變化對一次函數(shù)圖像的影響（圖9），幫助學生建立“傾斜角α變化→直線圖像變化→函數(shù)表達式y(tǒng)=kx+b中的k變化”的深刻認識，通過動態(tài)的變化圖將數(shù)與形相結(jié)合. 另外，在探究傾斜角α的取值范圍時也可以采用數(shù)形結(jié)合的方式，讓學生觀察直線旋轉(zhuǎn)過程中α的變化情況，從而找到傾斜角的取值范圍，充分理解傾斜角的概念.

3. 分類討論思想

一次函數(shù)的圖像根據(jù)斜率存在性可以分為兩種情形，因此在教學直線上任意兩點均可以確定直線的傾斜角時采用分類討論思想來完成討論，如圖10，引導學生分別對α=90°和α≠90°兩種情形的直線斜率進行計算，從而得出：α≠90°時，tanα=（x1≠x2）;α=90°時，tanα不存在. 另外，在討論α的取值范圍與斜率k的符號的關系時也可以采用該思想，可將k分為k<0、k>0、k=0和k不存在四種情形.

4. 化歸統(tǒng)一思想

理解傾斜角α、斜率k與點坐標三者關系是幫助學生形成解題策略，提升繼續(xù)深造能力的關鍵，在實際教學中可以結(jié)合具體的問題來進行. 首先給出兩個點的具體坐標，如點A（-3，1）和B（-4，2），讓學生求解過點A和B的直線的斜率，以及對應的傾斜角. 學生從點坐標求解直線斜率和傾斜角的過程中可以提煉出求解一般問題的思想方法，逐步培養(yǎng)學生化歸統(tǒng)一的思想. 另外也可以反向求解，給出過點A（-2，4）和B（-4，y）的直線的斜率k=2，讓學生反推點B的縱坐標，進一步構(gòu)建由點坐標為引導的解題模型.

總之，本章節(jié)的核心內(nèi)容是直線傾斜角和斜率的概念詮釋與公式搭建，課堂教學應以概念的幾何與代數(shù)屬性為基礎，基于學生的認知，從知識的發(fā)展規(guī)律入手來開展;關注概念的構(gòu)建過程，主抓教學主線，滲透數(shù)學思想，在深化學生概念理解的基礎上搭建解決實例問題的模型平臺，培養(yǎng)學生的學科思想，提升學生的解題能力.