侯衛(wèi)婷

[摘? 要] 共線向量定理由于其形式特征較為復(fù)雜和抽象，所解問題又具有典型性，使得教學(xué)常常陷入掌握套路就是掌握知識的誤區(qū)，要解決這個問題，應(yīng)該從知識的起點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生真正理解和使用共線向量定理.

[關(guān)鍵詞] 共線向量定理;同構(gòu);斜坐標(biāo)系

問題背景，為什么這是一根難啃的骨頭

在高三一輪的復(fù)習(xí)中，我們常面臨這樣的困境：學(xué)生中死記硬背、生搬硬套的多. 在實(shí)際的課前調(diào)查中，約三分之一的學(xué)生能說出形式特征中的“和為1”“終點(diǎn)共線”，其他絕大多數(shù)學(xué)生只能在給出結(jié)論后表示“有印象，學(xué)過的”，個別學(xué)生“毫無印象”. 在問題解決中，約一半的學(xué)生能利用這個定理解決與之相關(guān)的簡單問題，沒有學(xué)生能利用它解決中等難度問題. 問其原因，主要有“不理解這個結(jié)論到底想干什么”“無法在題目中找到使用該結(jié)論的條件”這兩個答案. 翻閱學(xué)生高二的筆記，典型題記錄得標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)，學(xué)習(xí)內(nèi)容卻忘得干干凈凈. 讓其回顧當(dāng)時怎么做出來的，答曰：老師教的時候會. 這個“會”，我們只能理解為當(dāng)時掌握了套路，也就是會熟練地模仿而已.

遺忘率高. 這里的遺忘不僅是從高二到高三的遺忘，根據(jù)筆者以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及與同事的交流，即使在高三教學(xué)后，經(jīng)過一段時間也有一些學(xué)生會徹底遺忘這個知識點(diǎn). 例如，在高三的周考、月考中，只要考前沒有進(jìn)行過針對性的重復(fù)，此類問題的正確率總是不盡如人意.

為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？有幾點(diǎn)是筆者和同事的共識.

首先，這是平面向量這一章中第一個較長的結(jié)論，與前面的向量知識難度不一致，學(xué)生還沒有做好心理上和思維上的準(zhǔn)備. 換言之，此時此論還不在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū). 在這個定理之前，學(xué)生學(xué)習(xí)的向量知識有：向量的定義、加法、減法和數(shù)乘. 這些知識，類比物理中的矢量，學(xué)生是能夠較快完成知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建的，但從“向量共線”到“λ+μ=1”，學(xué)生無法通過感性具體上升到理性具體，也就無法將它納入知識體系之中. 并且它對于數(shù)形結(jié)合和抽象思維的要求較高. 這個知識中出現(xiàn)了三個向量（兩定一動）和一條直線，還要將有向線段與其終點(diǎn)“割裂”開來，并轉(zhuǎn)移到直線視角，幾何要素多，此為一難;將圖形用一個向量表達(dá)式推導(dǎo)和表示出來，此為二難;將點(diǎn)在直線上運(yùn)動抽象為一個等式，如果沒有解析幾何背景很難實(shí)現(xiàn)建構(gòu)，此為三難.

其次，從學(xué)生的角度，所解問題有典型性和套路性，誤導(dǎo)了學(xué)生的思維趨向，以為套路就是方法，故而不求甚解的情緒明顯. 從教師的角度，筆者所在地區(qū)使用的是蘇教版教材，教學(xué)順序是必修1、必修4、必修5、必修2，必修3. 此時學(xué)生的解析幾何基礎(chǔ)還停留在初中的水平上，無法給出更好的解釋，而教參在這里給出的課時也很有限，客觀上只能走馬觀花. 學(xué)生雖然懵懵懂懂，但是模仿能力卻是一流的，再加上此時能做的題目有限，問題形式特點(diǎn)又很明顯，搞出答案并不困難. 能搞出答案，師生間都松了一口氣，認(rèn)為這就足夠了.

聚焦改變，基于起點(diǎn)知識的探究性教學(xué)實(shí)錄

高三時，學(xué)生已經(jīng)擁有了相關(guān)的解析幾何的知識和向量的知識，尤其是平面向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了解析幾何與向量的互聯(lián)互通. 事實(shí)上，解析幾何再往前走一步就是向量幾何，我們的教學(xué)，只需要幫助學(xué)生厘清兩者在底層上的同構(gòu)，就能讓學(xué)生在該知識點(diǎn)的理解和運(yùn)用上實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍.

教學(xué)實(shí)錄：

生：點(diǎn)C是AB的中點(diǎn).

師：正確. 這與我們剛才復(fù)習(xí)的結(jié)論是一致的，點(diǎn)C在直線AB上，而且特殊的，點(diǎn)C還是線段AB的中點(diǎn)，所以這也是平面向量中的中點(diǎn)公式. 那么當(dāng)點(diǎn)C是AB上近A的三等分點(diǎn)時，λ，μ各是多少？

探究之后，學(xué)生可以給出答案：靠近A的四等分點(diǎn).

師：這里的λ還可以取哪些數(shù)？

至此，才真正完成了這個知識點(diǎn)的講解，或者說是對高二的一次補(bǔ)課. 但如果只到這里，所實(shí)現(xiàn)的無非是從感性具體到理性具體的教學(xué)，它并沒有回答下面的問題：它的價(jià)值取向到底是什么呢？

學(xué)生研究過后能給出正確答案. 教師追問三個式子有沒有相關(guān)性時，個別學(xué)生提出了“系數(shù)之和總為2”.

師：如果將它總結(jié)為λ+μ=2，同學(xué)們可以類比剛才的結(jié)論，猜測它的幾何特征嗎？

生：A′，B′，C′三點(diǎn)共線.

師：我們能把1變成2，還能變成幾呢，這種變化對應(yīng)的結(jié)論又是什么呢？

學(xué)生從3，4開始，漸漸有學(xué)生說到了“一切正數(shù)”. 教師追問：比如“π”？

師：這個a有什么要求嗎？

生：正數(shù)即可.

但下面也有學(xué)生說負(fù)數(shù)也行. 接著教師讓學(xué)生自行探究負(fù)數(shù)的情況，順便也提出了“0”行不行的問題，學(xué)生均給出了完整解答.

師：從一個特殊結(jié)論出發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)，只要讓結(jié)論中的“1”動起來，就能把這個特殊的結(jié)論一般化. 那么，當(dāng)這個a取不同的數(shù)字時，所對應(yīng)的直線之間是什么位置關(guān)系呢？

生：平行關(guān)系.

師：也就是說，這個結(jié)論在幾何上可以用一組基底來刻畫平行直線系. 我們在解析幾何中是學(xué)過平行直線系的，例如，x+y=a，那么兩者之間是一致的嗎？

學(xué)生意見主要有：“一樣，就是把x換成λ，y換成μ”“不一樣，基底不是坐標(biāo)系”.

一個學(xué)生給出了如下意見：我認(rèn)為是一樣的，因?yàn)槔蠋熤v過，平面直角坐標(biāo)系就是一組特殊的基底，可以把兩條坐標(biāo)軸看作是互相垂直的一組單位向量. 也就是說，今天的結(jié)論是我們在解析幾何中學(xué)的平行直線系的更一般情況.

這個說法獲得了所有人的贊同，于是，教師追問：在直角坐標(biāo)系下，我們能寫出無限多條直線，比如x+2y=3，在基底背景下，我們能找到λ+2μ=3所對應(yīng)的直線嗎？

經(jīng)過一番討論，有一位同學(xué)給出了這樣的解釋：“類比坐標(biāo)系，我先畫出x+2y=3，那么我只要認(rèn)為這個夾角不是直角，模長不是1不就行了嗎. ”

師：這個類比非常棒. x+2y=a呢，怎么畫？

生：平移，這是平行直線系.

師：那么類比這個探索過程，你還能畫出哪些直線呢？

經(jīng)過了這一段的思考，學(xué)生的思維一下子打開了，有羅列具體直線的，也有直接指向直線的一般形式的.

教師趁熱打鐵：aλ+bμ=c所對應(yīng)的直線. 由于“字母太多”，部分學(xué)生還是耗費(fèi)了一段時間. 但最終都能給出結(jié)論：其操作特征與上面完全一致，只是“由特殊變成了一般”.

師：同學(xué)們，我們今天在基底背景下研究的aλ+bμ=c，與解析幾何背景下研究的ax+by=c，有著非常明確的對應(yīng)關(guān)系. 我們剛才也提到過，之所以會有這樣的結(jié)果，是因?yàn)榭梢园哑矫嬷苯亲鴺?biāo)系看作是一組特殊的基底. 那么反過來，可不可以把一組基底看作是更一般的坐標(biāo)系呢？我們把這樣的坐標(biāo)系稱作斜坐標(biāo)系. 所以，今天復(fù)習(xí)的這個結(jié)論，其基本功能是什么呢？

生：用來在斜坐標(biāo)系中求直線方程.

師：這個說法不夠準(zhǔn)確，是給直線方程讓你畫出來吧. 不過這是一個好問題，例如，在直角系中兩點(diǎn)確定一條直線，那么在基底下一定也有類似的結(jié)構(gòu)，這就需要大家課后研究了. 但毫無疑問的是，因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是斜坐標(biāo)系的一種特殊情況，那么兩者的操作必然對應(yīng)，也就是要遵循從特殊到一般的思維方式.

教后反思，通往核心素養(yǎng)的必由之路

為什么進(jìn)行這個拓展？有三個理由. 一是它符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū). 回顧解析幾何的構(gòu)建過程，在建立直角坐標(biāo)系后，按照難易程度依次研究了點(diǎn)、直線和曲線. 類比這個過程，在向量中首先學(xué)習(xí)了向量的表示，接著研究向量運(yùn)動的規(guī)律，也就是有向線段終點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，自然是先直線運(yùn)動，再曲線運(yùn)動. 這是學(xué)生“跳一跳就能夠得到的”. 二是向量幾何作為現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)工具，其價(jià)值不可估量. 不論是其知識內(nèi)涵，還是其思維模式，都是“實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代社會中人的發(fā)展的必備要素”，自然也就暗合了核心素養(yǎng)的要求. 三是解析幾何和平面向量都是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，不應(yīng)該在知識上出現(xiàn)盲區(qū)和暗坑.

應(yīng)試教育之所以有市場，根本原因在于師生的趨利性，如果應(yīng)試教育是不利的，那么無需外界的鼓與呼，教育內(nèi)部自然會做出改變. 例如，現(xiàn)在的高考，其導(dǎo)向性已經(jīng)非常明顯地偏向于對知識的深度理解和靈活運(yùn)動，這就倒逼了一線教師的改變. 筆者本身在教學(xué)實(shí)踐中所產(chǎn)生的改變就很好地說明了這一點(diǎn)：功利性不僅無功，反而有過. 我們的教學(xué)，就應(yīng)該正本清源，理解數(shù)學(xué)，改善教學(xué)，發(fā)展學(xué)生.

從數(shù)學(xué)的角度：什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，圖形和圖形關(guān)系的一門科學(xué). 進(jìn)一步的，還有這樣的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué). 無論哪一種，都表明了數(shù)學(xué)內(nèi)部必須是邏輯一致的. 歷史上，笛卡爾基于這個理念發(fā)現(xiàn)了解析幾何，費(fèi)馬大定理也最終由此得到證明. 從HPM的角度，我們完全可以從笛卡爾一直貫穿到黎曼幾何來理解坐標(biāo)系的本質(zhì)與作用. 理解數(shù)學(xué)，就是從邏輯一致這個基點(diǎn)出發(fā)，探尋知識發(fā)生發(fā)展和變化變異的脈絡(luò)，厘清同構(gòu)知識的譜系分布，才能在教學(xué)中找到那一段區(qū)域，無論如何，將知識在課堂上以靜態(tài)的點(diǎn)狀呈現(xiàn)都是不合理的.

從教學(xué)的角度，陶行知說過：“千教萬教，教人求真.” 數(shù)學(xué)教學(xué)，要教真，更要教求真. 求真是一個過程，是一種活動，是一個可以被訓(xùn)練而習(xí)得的技能（當(dāng)然廣義上它還是素養(yǎng)和信念）. 要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，教師要在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，不斷改善自己的教學(xué)，營造問題情景，幫助學(xué)生，指導(dǎo)學(xué)生，用自己的智慧性勞動期待和鼓舞學(xué)生的成功. 要在這個高度理解教學(xué)的內(nèi)涵，然后再來拓展專業(yè)技術(shù)能力.

從學(xué)生的角度，數(shù)學(xué)新課改的目標(biāo)是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題，用數(shù)學(xué)的思維想問題，用數(shù)學(xué)的語言講問題，也就是核心素養(yǎng)的三個層面：抽象，邏輯，建模. 本課中用具體數(shù)據(jù)的提煉讓學(xué)生經(jīng)歷從1到a的抽象，用直角坐標(biāo)到斜坐標(biāo)的變化讓學(xué)生進(jìn)行邏輯推理，用推理的結(jié)果解釋一般式的刻畫來體驗(yàn)?zāi)Ｊ交ò凑帐穼幹薪淌诘挠^點(diǎn)，這只能叫模式，還不能叫建模），無一不是對核心素養(yǎng)的一次嘗試.