孟得新

摘 要：本文主要研究的是Alice-Bob系統(tǒng)建模過程中提煉出來關(guān)于矩陣運算的問題，即如何求解M和x0，使得M2=I且Mx0=-x0。對于空間變量x'和x滿足（平移的）對稱變換的情況，我們給出了計算M和x0的詳細過程。本文的計算過程體現(xiàn)了線性代數(shù)中分塊矩陣和相似矩陣等運算技巧在數(shù)學(xué)建模過程中起到的重要作用，說明線性代數(shù)和數(shù)學(xué)建模相輔相成，互相促進。

關(guān)鍵詞：Alice-Bob系統(tǒng) 矩陣運算 數(shù)學(xué)建模

中圖分類號：TP319 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）11（a）-0-03

Absrtact：Under investigated in this paper is the problem of matrix operation originated from the modeling process of Alice-Bob physical system， that is， how to solve M and x0 such that M2=I and Mx0=-x0. For the case that x' and x satisfy （shifted） parity transformation， we give the detailed process of calculating M and x0. The computational process in this paper embodies the important tole of block matrix and similar matrix in linear algebra in the process of mathematical modeling. It shows that linear algebra and mathematical modeling complement and promote each other.

Key Words：Alice-Bob physical system； Matrix operation； Mathematical modeling

人類近現(xiàn)代自然科學(xué)的發(fā)展史，可以認為是一部圍繞數(shù)學(xué)建模的發(fā)展史。從開普勒的行星運動三大定律、牛頓的萬有引力定律，到麥克斯韋的電磁理論、愛因斯坦的相對論理論，再到楊振寧和米爾斯的規(guī)范場理論，數(shù)學(xué)物理學(xué)家們一直致力于用新的理論和方法來描述世界，而這些新的理論都是用數(shù)學(xué)語言或者說是數(shù)學(xué)公式來描述的。這就是我們常說的數(shù)學(xué)建模，也即是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來描述一種過程，解釋一種現(xiàn)象，探索一種規(guī)律，優(yōu)化一種設(shè)計，等等。數(shù)學(xué)是各門科學(xué)的基礎(chǔ)，不僅在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中，而且在經(jīng)濟科學(xué)、管理科學(xué)，甚至人文、社會科學(xué)中，為了準(zhǔn)確和定量地考慮問題，得到有充分根據(jù)的規(guī)律性認識，數(shù)學(xué)都成了必備的重要基礎(chǔ)，因此解決各個學(xué)科問題的第一步，往往離不開數(shù)學(xué)建模[1-2]。本文將選取名為Alice-Bob（AB）物理系統(tǒng)的建模過程，舉例說明矩陣運算在數(shù)學(xué)建模過程中的具體應(yīng)用應(yīng)用[3-4]。本文的第二部分介紹從兩地物理系統(tǒng)的建模過程中提煉出的數(shù)學(xué)問題，第三部分就對稱變換和平移的對稱變換兩種情況求解該問題，第四部分是本文的結(jié)論。

1 兩地物理系統(tǒng)與數(shù)學(xué)問題提煉

一維物理模型通常建立在一個時間地點（x，t）。但是，不同的物理問題可能發(fā)生在有關(guān)聯(lián)的兩個地點，例如1997年的EI Nino事件引起了1998年特大洪水，例如從2007年夏天北冰洋的冰減少，到2008年中國南方有很強的凍雨、很強烈的冰雪災(zāi)害，這兩件事是有關(guān)聯(lián)的，而且發(fā)生在不同的時間、不同的地點，如注明的蝴蝶效應(yīng)等[3]。不同時間不同地點的事物都有關(guān)聯(lián)，專家學(xué)者經(jīng)過觀察，建立模型去描述這些現(xiàn)象。從數(shù)學(xué)上講，當(dāng)Alice的狀態(tài)A（x，t）已知時，Bob的狀態(tài)B（x'，t'）可以由一個合適的變換得到，即有B（x'，t'）=fA（x，t）。

這里f是一個算子，（x'，t'）和（x，t）不同。由A（x，t）和B（x'，t'）的等價性可知x'=（x'i，i=1，2，…，n）與x=（xi，i=1，2，…，n）的連接公式為x'=fxx=f -1x，且f和f -1形式完全相同[4]，因此有 f2=1。

對于x'和x之間具體的變換，如何求得上式的解呢？這就是我們要解決的問題。

2 問題求解

在論文文獻[3]和[4]中，樓森岳教授給出了計算結(jié)果，但未給出計算過程。作為線性代數(shù)技巧在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用案例，我們給出具體的計算過程如下。

我們考慮兩種簡單的情況：

如果x'和x的變換是對稱變換，即x'=-x，再設(shè)f=Mn×n，M是n階方矩，問題就轉(zhuǎn)換成如何求解一個n階矩陣M，使得M2=I，I是n階單位陣。

如果x'和x的變換是平移的對稱變換，即x'=-x+x0，x0是平移距離，再設(shè)f=Mn×n，M是n階方矩，問題就轉(zhuǎn)換成如何求解一個n階矩陣M，使得M2=I且Mx0=-x0，I是n階單位陣。

由于x0=0時，第二種情況將退化到第一種情況，因此我們只討論更一般的第二種情況。

3 結(jié)語

本文主要研究的是在兩地物理（Alice-Bob）系統(tǒng)建模過程中提煉出來關(guān)于矩陣運算的問題，即如何求解一個M和x0，使得M2=I且Mx0=-x0。對于x'和x滿足（平移的）對稱變換的情況，我們給出了計算M和x0的詳細過程，這些結(jié)果與文獻[3]和[4]中的結(jié)果相同。隨著科技的飛躍發(fā)展，不論是線性代數(shù)，還是其他數(shù)學(xué)分支，都在不斷吸收其他領(lǐng)域的新成果，同時它們在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用也是越來越廣泛。

參考文獻

[1] 李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)教學(xué)，2005（1）：9-11.

[2] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[3] LouSY，HuangFei.Alice-BobPhysics：CoherentSolutionsofNonlocalKdVSystems[J].ScientificReports，2017，7（1）：869.

[4] LouSY.Alice-Bobsystems，Ps-Td-Cprinciplesandmulti-solitonsolutions[M].Eprint arXiv，2016.