鐘滿田

(羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系，廣東 羅定 527200)

1982年首次提出關(guān)于粗糙集的概念[1]。自從1992年以來，國際上許多重要學(xué)術(shù)會議和研討班也把粗糙集理論的研究列入會議和討論班的主要內(nèi)容之一，都極大地促進(jìn)了該理論的發(fā)展及其在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用。在國內(nèi)，從2001年開始每年將舉辦粗糙集與軟計算學(xué)術(shù)會議。粗糙集發(fā)展三十多年來，無論是理論研究還是應(yīng)用研究都取得了很多優(yōu)秀成果，如粗糙集的近似及相關(guān)的數(shù)據(jù)分析和推理方法與算法、基于數(shù)據(jù)等價關(guān)系的數(shù)據(jù)分析方法、對象不可分辨性、屬性冗余性、屬性約減等[2-6]。此外，還有關(guān)于粗糙集的交、并、補是滿足冪等律、交換律、結(jié)合律、吸收律、分配律等條件的分配格；粗糙集具有最大元與最小元、復(fù)原律、對偶律的、完成的、可無限分配的軟代數(shù)，但不是優(yōu)軟代數(shù)，也不是布爾代數(shù)；關(guān)于粗糙集理論的KDD系統(tǒng)已經(jīng)建立，其中最具有代表性的有KDD-R(基于可變精度粗糙集擴(kuò)展模型的KDD工具)、LERS(基于粗糙集實例學(xué)習(xí)系統(tǒng))、Rosetta(基于粗糙集決策分析系統(tǒng))等。綜合國內(nèi)外的研究成果，對粗糙集理論與應(yīng)用研究主要概述為六大方面：一是數(shù)據(jù)預(yù)處理機(jī)制的研究；二是運用啟發(fā)信息來簡化計算的約簡算法研究；三是粗糙集代數(shù)、粗糙集拓?fù)浼捌湫再|(zhì)、粗糙邏輯等方面的研究；四是決策粗糙集模型與其他數(shù)據(jù)挖掘方法結(jié)合問題研究；五是大數(shù)據(jù)集問題的研究；六是決策規(guī)則獲取問題研究。本文以Pawlak粗糙集與拓?fù)淇臻g的關(guān)系為研究背景，重點研究Pawlak粗糙集導(dǎo)出空間的一些拓?fù)涮卣鳌?/p>

1 Pawlak粗糙集與拓?fù)淇臻g的關(guān)系

性質(zhì)1[7]1 314假設(shè)有限集U的一個等價關(guān)系為R，U的任意一個非空子集為X，則式(1)～(7)是成立的。

由性質(zhì)1中的式(1)、 (2)、 (3)、 (7)可知，

性質(zhì)2[7]1 314在等價關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U，TR)中，存在B={[X]R∶x∈U}是(U，TR)的一個基，并且TR的所有集合既是開集又是閉集。

性質(zhì)3[7]1 314等價關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U，TR)既正則又正規(guī)。

性質(zhì)4[7]1 314等價關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U，TR)是Huasdorff空間的充分必要條件是[x]R={x}。

性質(zhì)5[7]1 314等價關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U，TR)是T1空間的充要條件是[x]R={x}。

性質(zhì)6[7]1 314等價關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U，TR)是連通的充要條件是R為U×U。

性質(zhì)7[7]1 314如果(U，TR)是一個拓?fù)淇臻g，滿足是開的劃分的條件并且該劃分是一個基，那么一定存在一個等價關(guān)系R使得(U，TR)=(U，T)成立。

證明先定義U上的一個關(guān)系R∶xRy?bl{x}=bl{y}。在這里記bl{x}是{x}的閉包。很明顯R是U上一個等價關(guān)系，且[x]R=bl{x}，從而有(U，TR)=(U，T)等式成立。

綜上，由性質(zhì)2～性質(zhì)7可以知道，Pawlak粗糙集導(dǎo)出空間(U，TR)等價于一類特殊的拓?fù)淇臻g。

2 導(dǎo)出空間的局部強(qiáng)連通性

定義1[8-10]設(shè)Z是一個等價關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g。若Z不是兩個非空互不相交閉集的并，那么稱Z是連通的。若不存在任何基數(shù)m(2≤m≤m0，其中m0是有理數(shù)集的基數(shù))，滿足Z是m個非空且互不相交閉集的并，那么就稱Z是強(qiáng)連通的。

定義2[11-14]設(shè)Z是一個等價關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g。若?z∈Z以及Z中每一個包含z的開集W，都存在一個具有強(qiáng)連通性的開集V滿足條件z∈V?W，那么稱Z是一個導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g。易見導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g及其間的連續(xù)映射構(gòu)成一個范疇，記作LXFC。

2.1 等價性

定理1假設(shè)(Z，T)是一個等價關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g，那么下面三個命題(1)、(2)、(3)等價，并且還可以得到推論1。

1)Z是局部強(qiáng)連通的；2)Z的每一個開子空間的每個強(qiáng)連通分支均是開集；3)(T，?)至少有一個由具有強(qiáng)連通性開集組成的并生成集。

推論1 局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g具有強(qiáng)連通性，它的任一強(qiáng)連通分支均既是開集又是閉集，因而每個導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻gZ，都可以分解為Z的強(qiáng)連通分支的直和。

2.2 開遺傳性及連續(xù)性

定理21)導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g局部強(qiáng)連通性是開遺傳的。

2)導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g在連續(xù)開滿射下的像還是局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g。

證明1)設(shè)Z是局部強(qiáng)連通空間，Z的開子集A?Z。Z的由強(qiáng)連通性開集組成的并生成集為B。由拓?fù)鋵W(xué)知識理論易知，具有強(qiáng)連通性開集族BA={B*∈B|B*?A}是A的其中一個并生成的開集。因此，A就是一個局部強(qiáng)連通空間。

2.3 直和性

證明1)必要性 因為Zj是Z的開集，所以由定理2的(1)可知Zj是導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通空間(?j∈J)。

2.4 范疇性

定理4導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g及其間的連續(xù)映射構(gòu)成的范疇LXFC具有下面性質(zhì)：

1)對于每一個集合Z、每一個LXFC-對象族{Zj，Tj}j∈J、每一個映像族{fj：Zj→Z}j∈J，Z上存在唯一個局部強(qiáng)連通導(dǎo)出的拓?fù)銽Z，使得它(即終結(jié)構(gòu))滿足(條件1)對于?LXFC-對象族(Y，{T}Y)及其任一映射g：Z→Y，g： (Z，TZ)→(Y，TY)是一個LXFC-態(tài)射的充分必要條件是g°fj：(Zj，Tj)→(Y，TY)是一個LXFC-態(tài)射(?j∈J)。

2)對于每一個集合Z、每一個LXFC-對象族{Zj，Tj}j∈J、每一個映像族{fj：Z→Zj}j∈J，Z上存在唯一個局部強(qiáng)連通導(dǎo)出的拓?fù)銽Z，使得它(即始結(jié)構(gòu))滿足(條件2)對于?LXFC-對象族(Y，{T}Y)及其任一映射g：Y→Z，g：(Y，TY)→(Z，TZ)是一個LXFC-態(tài)射的充分必要條件是fj°g：(Y，TY)→(Zj，Tj)是一個LXFC-態(tài)射(?j∈J)。

3 結(jié)論

1)粗糙集導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g局部強(qiáng)連通、每一個開的子空間的每個強(qiáng)連通分支均是開集、有一個由強(qiáng)連通性開集組成的并生成集具有等價性。

2)粗糙集導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g具有開遺傳性和連續(xù)不變性。

3)粗糙集導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g族具有直和性。

4)粗糙集導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射構(gòu)成范疇具有態(tài)射性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1] PAWLAK Z. Rough sets[J]. International journal of computer and information sciences， 1982，11：341-356.

[2] BISWAS R， NANDA S.Rough groups and rough subgroups[J].Bull Polish Acad Sci Math， 1994，42：251-254.

[3] IWINSKI J.Algebraic approach to rough sets[J]. Bull Polish Acad Sci Math， 1987，35：673-683.

[4] KUIOKI N， WANG P P. The lower and upper approximations in a fuzzy group[J]. Inform Sci， 1996，90：203-220.

[5] KUIOKI N. Rough ideals in semigroups[J].Inform Sci，1997，100：139-163.

[6] 于斂，程乾生.粗糙集和不可測集[J].科學(xué)通報，2000，45(7)：686-688.

[7] 陳德剛，張文修.粗糙集和拓?fù)淇臻g[J].西安交通大學(xué)學(xué)報，2001，35(12)：1 213-1 315

[8] 黃永艷，汪義瑞.預(yù)拓?fù)淇臻g的強(qiáng)連通性與局部強(qiáng)連通性[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報，2011，24(2)：175-179.

[9] 田蘇妹，汪義瑞，李生剛. 強(qiáng)連通空間和局部強(qiáng)連通空間的一些補充性質(zhì)[J].云南師范大學(xué)學(xué)報，2011，31(2)：44-47.

[10] 陳德剛.模糊粗糙集理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2016：25-65.

[11] 肖勁森，孫立民.改進(jìn)的粗糙集屬性重要度[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用，2017，53(3)：174-176.

[12] 張清華，薛玉斌，胡峰，等.粗糙集近似集不確定性研究[J]. 電子學(xué)報，2016， 44(7)：1 574-1 577.

[13] 譚安輝，李進(jìn)金，吳偉志.多粒度粗糙集和覆蓋粗糙集間的近似與約簡關(guān)系[J].模式識別與人工智能，2016，29(8)：691-696.

[14] 羅清君，劉明晨.FI代數(shù)上的一致拓?fù)淇臻g[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用，2017，53(1)：73-76.